![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 1. События.
- •§1 Логические основы т.В.
- •§2 Испытания, события, операции над событиями.
- •§3 Классическое определение вероятности.
- •§3 Примеры вероятностных пространств.
- •§4 Условные вероятности. Формула умножения событий.
- •§5 Независимые и зависимые события.
- •Независимость попарная и независимость в совокупности Определение попарной независимости
- •Определение независимости в совокупности.
- •§6 Формула полной вероятности и формула Байеса. Формула полной вероятности
- •Формула Байеса
- •Глава II
- •§1 Формула Бернулли
- •Формула Бернулли
- •§2 Предельные теоремы Бернулли
- •Формула Лапласа или интегральная формула Лапласа
- •Глава 3. Случайные величины.
- •§1 Определения и основные понятия.
- •§2 Дискретные случайные величины.
- •1. Распределение Бернулли
- •2. Биноминальное распределение
- •3. Распределение Пуассона
- •4. Геометрическое распределение
- •1. Равномерно распределение.
- •2. Показательное или экспоненциальное распределение:
- •3. Распределение Коши
- •4. Нормальное (Гауссово) распределение
- •1) Распределение Бернулли
- •§2 Специальные функции математической статистики.
- •1 Распределение Стьюдента
- •2 Распределение Карла Пирсона
- •Свойства случайной величин с симметричной (четной) плотностью распределения.
- •§3 Доверительные интервалы для генеральной средней нормального распределения
- •2) Построение доверительного интервала для неизвестного генерального среднего в случае неизвестной дисперсии
- •§4 Доверительные интервалы для дисперсии.
- •§5 Доверительный интервал для неизвестной вероятности успеха.
- •III Математическая статистика.
- •Глава I Оценки параметров.
- •§1 Основные понятия.
- •§2 Точечные оценки параметров.
- •Свойства оценок
- •Другие два важных свойства оценок состоятельность и эффективность.
- •§3 Методы построения точечных оценок параметров.
- •Метод максимального подобия построения оценок.
- •Оценка параметров нормального распределения.
- •Оценка параметров геометрического распределения.
- •Оценка параметров экспоненциального распределения.
- •Оценка параметров распределения Пуассона.
- •Метод Монте-Карло.
- •§1 Основные определения и понятия.
- •§2 Генерирование значений дискретных случайных величин.
- •§3 Генерирование случайных величин с непрерывным законом распределения (методы)
- •Генерирование случайной величины подчиняющейся нормальному распределению.
- •§4 Генерирование траекторий случайных процессов.
- •Генерирование траекторий непрерывных случайных величин.
- •I Марковские процессы с дискретным временем.
- •§1 Основные понятия.
- •Основное свойство матрицы перехода дискретной цепи Маркова.
- •§2 Предельные теоремы.
- •Глава III Проверка статистических гипотез.
- •§1 Основные понятия и терминологии.
- •§2 Проверка гипотез о значении генеральной средней нормально распределенных случайных величин.
- •1) Построение критерия для проверки h0 против h1 при известном δ
- •2) Построение критерия для проверки гипотезы h0 против h1, при δ - не известном.
- •1) Параметр a известен
- •2) Проверка гипотезы о значении дисперсии, когда генеральное среднее а не известно.
- •§4 Проверка гипотезы о значении генеральной доли.
- •§5 Проверка гипотеза о достоверности различий средних значений.
- •§6 Критерий к. Пирсона. Хи-квадрат для проверки гипотез о законе распределения.
- •2 Примеры использования критерия χ2.
- •3 Применение критерия χ-квадрат для исследования вопроса о зависимости ил независимости признаков.
§1 Определения и основные понятия.
До сих пор мы изучали события которые могут произойти или не произойти, однако мы встречаем также случайные величины (оценка на экзамене, время на дорогу до универа и т.д.).
В этой главе мы займёмся их изучением. Начнём с построения математической модели.
Определение 1. Пусть дан опыт или испытание с пространством элементарных исходов Ω, случайная величина ξ – это функция, определённая на элементах Ω и принимающая значения на множестве чисел R(это определение точно в случае конечного или счётного Ω, в других случаях оно нуждается в уточнении).
Действительно случайная величина – функция.
Действительно ξ может быть задана как функция на Ω, однако во многих случаях такое задание является громоздким и неудобным и используется задание случайной величины при помощи функции распределения. Такое задание позволяет решить большинство реальных задач.
Определение 2. Пусть ξ – случайная величина, её функция распределения определяется равенством:
(1)
Пункт 1: Основные свойства функции распределения
(2)
(3)
,x<y–
свойство монотонного возрастания (или
неубывания)
(4)
,
(4’)
,
(5)
(6)
,
т.е.
непрерывна слева.
Доказательство:
(2)– очевидно, т.к. F– это вероятность события, см (1).
(4’) доказывается просто:
- аналогично получается невозможное
событие.
Справедлива цепочка равенств:
- доказано
Докажем (6):
- доказано
Примеры:
Не
может - есть отрицательные значения
Не может - >1
Не может – есть убывание
- может
§2 Дискретные случайные величины.
Определение:Случайная величина называется дискретной, если она принимает конечное или счётное множество значений.
В противном случае величина называется непрерывной.
Дискретная случайная величина может быть задана рядом распределения.
Определение: Пусть дана дискретная случайная величина, принимающая значения x1,x2,..,xnеё ряд распределения – это множество пар:(x1,P1), (x2,P2) ,…,(xn,Pn), гдеPi=P(ξ=x).
Обычно ряд распределения задают в виде таблицы
Значение
Вероятность
Связь ряда распределения и функции распределения.
Утверждение:Пусть дана дискретная случайная величина ξ с рядом распределения:(x1,P1), (x2,P2) ,…,(xn,Pn), причёмx1<x2<…<xn, тогда справедливо равенство:
(1)
Идея доказательства:
Важнейшие дискретные случайные величины
Некоторые случайные величины хорошо описывают часто случающиеся реальные явления, поэтому их изучают специально.
Рассмотрим важнейшие дискретные случайные величины.
1. Распределение Бернулли
1) Значение 0,1
2) Параметр
3) Ряд распределения
Значение 0 1
Вероятность qp
q=1-p
4) Интерпритация – проводится 1 испытание, успех 1, неуспех – 0, вероятность успеха p
2. Биноминальное распределение
1) Значение 0,1,2,…,n
2) Параметры
n≥1,n– целое
3) ряд распределения даётся равенством:
(1)
k– натуральное
4) Интерпретация – проводится nиспытаний по схеме Бернулли.
Утверждение Формула (1) действительно задаёт ряд распределения.
Доказательство: должно выполняться 2 свойства:
все вероятности неотрицательны
сумма вероятностей =1
неотрицательность очевидна
докажем
,
см.(*)