§1 Определения и основные понятия.

До сих пор мы изучали события которые могут произойти или не произойти, однако мы встречаем также случайные величины (оценка на экзамене, время на дорогу до универа и т.д.).

В этой главе мы займёмся их изучением. Начнём с построения математической модели.

Определение 1. Пусть дан опыт или испытание с пространством элементарных исходов Ω, случайная величина ξ – это функция, определённая на элементах Ω и принимающая значения на множестве чисел R(это определение точно в случае конечного или счётного Ω, в других случаях оно нуждается в уточнении).

Действительно случайная величина – функция.

Действительно ξ может быть задана как функция на Ω, однако во многих случаях такое задание является громоздким и неудобным и используется задание случайной величины при помощи функции распределения. Такое задание позволяет решить большинство реальных задач.

Определение 2. Пусть ξ – случайная величина, её функция распределения определяется равенством:

(1)

Пункт 1: Основные свойства функции распределения

(2)

(3) ,x<y– свойство монотонного возрастания (или неубывания)

(4) ,

(4’) ,

(5)

(6) , т.е.непрерывна слева.

Доказательство:

(2)– очевидно, т.к. F– это вероятность события, см (1).

(4’) доказывается просто:

- аналогично получается невозможное событие.

Справедлива цепочка равенств:

- доказано

Докажем (6):

- доказано

Примеры:

Не может - есть отрицательные значения

Не может - >1

Не может – есть убывание

- может

§2 Дискретные случайные величины.

Определение:Случайная величина называется дискретной, если она принимает конечное или счётное множество значений.

В противном случае величина называется непрерывной.

Дискретная случайная величина может быть задана рядом распределения.

Определение: Пусть дана дискретная случайная величина, принимающая значения x₁,x₂,..,x_nеё ряд распределения – это множество пар:(x₁,P₁), (x₂,P₂) ,…,(x_n,P_n), гдеP_i=P(ξ=x).

Обычно ряд распределения задают в виде таблицы

Значение

Вероятность

Связь ряда распределения и функции распределения.

Утверждение:Пусть дана дискретная случайная величина ξ с рядом распределения:(x₁,P₁), (x₂,P₂) ,…,(x_n,P_n), причёмx₁<x₂<…<x_n, тогда справедливо равенство:

(1)

Идея доказательства:

Важнейшие дискретные случайные величины

Некоторые случайные величины хорошо описывают часто случающиеся реальные явления, поэтому их изучают специально.

Рассмотрим важнейшие дискретные случайные величины.

1. Распределение Бернулли

1) Значение 0,1

2) Параметр

3) Ряд распределения

Значение 0 1

Вероятность qp

q=1-p

4) Интерпритация – проводится 1 испытание, успех 1, неуспех – 0, вероятность успеха p

2. Биноминальное распределение

1) Значение 0,1,2,…,n

2) Параметры n≥1,n– целое

3) ряд распределения даётся равенством:

(1)

k– натуральное

4) Интерпретация – проводится nиспытаний по схеме Бернулли.

Утверждение Формула (1) действительно задаёт ряд распределения.

Доказательство: должно выполняться 2 свойства:

1. все вероятности неотрицательны

2. сумма вероятностей =1

1. неотрицательность очевидна

2. докажем

, см.(*)