§2 Проверка гипотез о значении генеральной средней нормально распределенных случайных величин.

В этом § мы будем рассматривать следующую задачу: дана случайная величина ξ с законом распределения N(a,δ), т.к.M_ξ=a, тоaназывается генеральное среднее. Дано некоторое конкретное числоa₀и требуется проверить гипотезуH₀= {a=a₀} против альтернативной гипотезыH₁= {a≠a₀}.

Мы рассматриваем 2 случая:

1) δ- известно

2) δ- неизвестно

В первом случае гипотеза H₀- простая, а во втором - сложная.

1) Построение критерия для проверки h0 против h1 при известном δ

Мы знаем, что случайная величина:

(1)подчиняется стандартному нормальному распределению.

Если гипотеза H₀выполнена, то:

(1)

В §3.2 было доказано, что

(2)

Или отсюда:

(3)

Из (3)мы сразу получаем статистический критерий для проверкиH₀противH₁:

(4)Еслито принимаемH₀, в противном случае гипотезуH₀отвергаем в пользуH₁.

Из этого критерия мы видим, что если выборочное среднее близко кa₀, то естественно, что гипотезаH₀правдоподобна, если жесильно отклоняется отH₀, то естественно, чтоH₀малоправдоподобная.

Из (2)=>, что уровень значимости критерия равен α, т.к. вероятность

Здесь, как и раньше - квантиль нормального распределения.

Пример.

Из многолетних наблюдений известно, что рост выпускника школы ≈ 181,3 см (N(a,δ)), а δ = 8 см. При медицинском обследовании группы старшеклассников из 20 человек, употребляющих алкоголь с 12 лет, оказалось, что их рост ≈ 195 см. Надо проверить по этим данным гипотезу об отсутствии влияния употребления алкоголя на рост.

Сформулируем более точно: H₀ = {a= 181,3},H₁= {a≠ 181,3}

(поясним:что если взять любую группу из 20 человек, то рост обязательно будет отличаться от 181,3 и надо понять является ли это отклонение случайным или нет)

Решение:зафиксируем уровень значимости 0,05, найдем по таблице:U_0,975≈ 1,96, используем(4):

делаем вывод, что употребление алкоголя влияет (с 12 лет).

2) Построение критерия для проверки гипотезы h0 против h1, при δ - не известном.

В §2.3 было приведено утверждение:(распределение Стьюдента). Отсюда аналогично предыдущему случаю получаем критерий для проверки гипотезыH₀противH₁,a≠a₀, при уровне значимостиα.

(5)Если, то гипотезаH₀принимается, в противном случае – отвергается,

где - квантиль распределения Стьюдента с (n- 1) степенью свободы порядка

Пример: при традиционном откорме через три недели поросенок весит 23,2 кг. Для проверки новой схемы откорма, по которой откармливаем случайно отобранные 10 поросят и через три недели определили вес каждого, по этим данным определилиx= 25,= 0.8;

надо проверить критерий, влияние новой схемы на вес.

H₀= {a= 23,2},H₁= {a≠ 23,2}, т.е.

мы предполагаем, что влияние новой схемы отсутствует - это H₀, аH₁- влияние имеется.

По таблице находим: t_{9; 0,975}≈ 2,3. Подставляем в(5):

т.к. 6,9 > 2,3, то

гипотеза H₀отвергается в пользуH₁и можно сделать вывод о преимуществе новой схемы откорма.

§3

В этом параграфе мы рассмотрим сначала задачу проверки гипотезы:

H₀= {δ²=δ₀²}

против альтернативной гипотезы:

H₀= {δ²≠δ₀²}

δ²- дисперсия неизвестная

δ₀²- конкретное число

Мы будем считать, что случайная величина подчиняется нормальному распределению:

мы рассмотрим два случая: генеральное среднее, или параметр а нормального распределения, известно; не известно.