2) Построение доверительного интервала для неизвестного генерального среднего в случае неизвестной дисперсии

Этот случай наиболее часто встречается на практике.

Утверждение 3!Случайная величинаподчиняется распределению Стьюдента с (n-1) степенью свободы.

По аналогии с предыдущим случаем получаем:

Утверждение 4!

(6)

Отсюда аналогично предыдущему справедливо

Теорема 2: Пусть оценивается генеральное среднее нормального распределения по выборке объемаn, причем параметрδтоже неизвестен. Пустьγ- уровень доверия, аα= 1 –γ, тогда доверительный интервал дается формулой:

(7)

где - выборочное среднее

- квантиль порядкараспределения Стьюдента с (n– 1) степенью свободы

Пример: При обследовании месторождения урана было взято сто проб объема 1кг и в каждой из них было оценено количество урана. По полученным данным вычислили= 2,7 гр и= 0,04. Необходимо по этим данным построить доверительный интервал для содержания металла в 1 кг руды в этом месторождении при уровне доверия 0,99

Решение:Дано:= 2,7;= 0,04; γ = 0,99; α = 0,01;n= 100

по таблице распределения Стьюдента находим: t_{99; 0,995}≈ 3,1

Отсюда получаем интервал: (2,7 – 3,1*; 2,7 + 3,1*) или (2,679; 2,72).

Можно ли считать, что этот интервал содержит неизвестное значение с вероятностью 0,99. Нет. Этот интервал или содержит неизвестное значение или не содержит.

Однако если бы эту процедуру с взятием проб и последующим вычислениями повторить много раз, то ≈ в 99 случаях из 100 интервал будет содержать неизвестное значение, а в одном случае не будет.

Замечание!(О применимости описанных методов)

Мы говорили, что этим методы применимы в случае нормального распределения, однако при больших объемах выборки их можно применять и для других любых распределений, а также в случае неизвестных распределений. При Vвыборке нескольких десятков и > приближение достаточно хорошее, что основывается на практическом опыте.

И последнее из (7)и(5)очевидно, чем больше объем выборкиn, тем меньше длина интервала, т. е. тем точнее оценка.

§4 Доверительные интервалы для дисперсии.

В этом § мы построим доверительные интервальные оценки для дисперсии нормальные распределения случайные величины в двух случаях:

а) генеральное среднее (а) известно

б) генеральное среднее не известно

1) а известно

для построения мы используем утверждение1.

Утверждение1:

Пусть, а исследуемая случайная величина подчиняется нормальному распределению, тогда:

Утверждение:Пусть- квантиль порядкаплотности χ²распределения сnстепенями свободы,- квантиль порядка тогда с, тогда справедливо равенство:

(2)

Доказательство сразу следует из рисунка (S₁=S₂=α/2)

Построим доверительный интервал для неизвестной дисперсии δ². Подставим(1) в(2)и получим:

перейдя к обратным величинам отсюда получим:

(3)

Пример 1:Пусть случайная величина подчиняется нормальному распределению с параметрами а, δ², причем δ²- не известно. И пусть дана выборкаx₁,x₂, …,x_n, тогда интервал при уровне доверияγдля неизвестной дисперсии имеет следующий вид:

(4)

, где α = 1 - γ

χ²_n- плотность распределения сn- степенями свободы

Доказательство:сразу следует из(3)и определения доверительного интервала §1.

Пример: Для определения точности весов, которые измеряется дисперсия, эталонную 1кг гирю взвесили 10 раз, по полученным данным вычислили= 0,016 грамм. Необходимо по этим данным построить доверительный интервал для дисперсии (измеряется точность) при уровне доверия 0,95

Решение:

α = 0,05

χ²_{10; 0,025}≈ 2,9

χ²_{10; 0,975}≈ 16,3

Отсюда и (4)сразу получается интервал:

Следствие!

Доверительный интервал стандартного распределения для δ сразу получается из (4)

(5)

2) а - не известно

Для его построения используем

Утверждение 3!

(6)

Совершенно аналогично предыдущему случаю выводится

теорема 2:

Пусть исследуется случайная величина подчиняется нормальному распределению и δ, а - не известны, тогда доверительный интервал для неизвестной дисперсии при уровне значимости γ дается равенство:

(7)

Следствие!

(8)

Пример:В лаборатории решили проверить точность омметра, измеряемую стандартное отклонение δ, для этого одно и то же сопротивление измерили этим прибором 10 раз, и по полученным данным вычислили= 0,04 (Ом²) при уровне доверия 0,95 для неизвестной точности δ.

Решение: по таблице находим:

χ²_{9; 0,025}≈ 2,8

χ²_{9; 0,975}≈ 16,25

из (8)получаем: