Независимость попарная и независимость в совокупности Определение попарной независимости

Пусть даны события А₁, А₂, … , А_n,они называются попарно независимыми, если для любой пары собитийA_i A_j (I,j=1..n,i≠j)выполняется равенство:

(3)

т.е. любая пара из nнезвисима.

Если это неравенство нарушется хотя бы для одной пары, то они попарно зависимы.

Определение независимости в совокупности.

Пусть даны события А₁, А₂, … , А_n,они называются независимыми в совокупности, если для любогоиАi1, Ai2,…,Aik приi1≠i2≠…≠ikвыполняется равенство:

(4)

Если это неравенство нарушается хотя бы для одного подмножества событий, то они зависимы в совокупности.

Рассмотрим пример:

Пусть монету подбрасывают 2 раза. Рассмотрим события:

А1 – первый раз выпал герб

А2 – второй раз выпал герб

А3 – число гербов равно числу цифр

Проверим, будут ли они попарно независимы

,,

Выпишем вероятности:

Проверим 3):

- выполняется

- выполняется

- выполняется

Значит события А₁,А₂,А₃попарно независимы.

Проверим, будут ли они независимы в совокупности: надо проверить 4) для всех пар и для всех троек событий.

уже проверялось и они выполнились

Осталось проверить для k=3, т.е. дляА₁А₂А₃

- совокупности зависимы.

Таким образом мы видим, что события А₁,А₂,А₃попарно независимы, но зависимы в совокупности, значит эти понятия не эквивалентны.

§6 Формула полной вероятности и формула Байеса. Формула полной вероятности

Пусть дано собятие А и собятие Н₁,Н₂,…,Н_n,причём выполняется следующее свойство:

(*) 1)

(**) 2) приi≠ j, i,j=1,2,…,n(Н₁,Н₂,…,Н_n, - образуют полную группу попарно несовместных событий)

Справедливо следующее утверждение:

(1)

Формула полной вероятности

Доказательство:

Теорема доказана.

Замечание: Часто события Н₁,Н₂,…,Н_n,называют гипотезами.

Замечание: Формула полной вероятности справедлива для счётного числа слагаемых.

Замечание: Формула полной вероятности справедлива при выполнении наиболее слабых условий.

1’) Н₁,Н₂,…,Н_n,- вместо 1)

Доказать самостоятельно

Пример: На заводе три цеха выпускающие одинаковые телевизоры

1 и 2 – одинаково

3 – в 2 раза больше чем 1ый

В 1-м цехе 1% брака

Во 2-м цехе – 2% брака

В 3-м цехе – 0% брака

Затем телевизоры проверяются.

Найти вероятность того, что случайно выбранный телевизор окажется небракован.

Решение: введём три дополнительные гипотезы:

Н₁– 1-й цех

Н₂– 2-й цех

Н₃– 3-й цех

А – вероятность того, что случайно взятый телевизор небракован.

Пример: один студент выучил 20 вопросов из 30. на экзамене дают 1 вопрос (каждый билет содержит 1 вопрос). Каким лучше ему идти сдавать экзамен, т.е. когда больше вероятность вытянуть верный билет.

Решение:

А – вытянул выученный билет если идёт 1-м

Б - -||- 2-м

Найдём вероятность события Б.

Введём две гипотезы: Н1 – 1-й студент взял выученный «нашим» студентом билет

Н2 - 1-й студент взял невыученный «нашим» билет

Замечание:

Ответ: вероятность вытащить выученный билет первым или вторым одинакова.

Формула Байеса

Пусть выполняются все условия Пункта 1, тогда справедливо равенство:

(2)

Hj– одно из событий из множества гипотезН₁,Н₂,…,Н_n.

Доказательство:

Теорема доказана

Формула Байеса играет важную роль во многих технических приложениях и до сих пор её применение вызывает споры среди исследователей.

Задача 1:В учреждении два бухгалтера: главный и старший. Каждый из них составляет половину ведомости на зарплату, причём, главбух ошибается 1 раз на 1000, а старший 1 раз на 100 ведомостей. При выдаче зарплаты оказалось, что ведомость составлена с ошибкой, найти вероятность того, что её заполнил старший бухгалтер.

Решение:

А– ведомость (случайная) содержит ошибку

H₁– ведомость заполнил главный бухгалтер

H₂– ведомость заполнил старший бухгалтер

Подставляем в (2):

Найдём также вероятность, что ведомость составил главный бухгалтер

Задача 2:

В письменном столе 6 ящиков. Известно, что с вероятностью 0,9 ключ от сейфа находится в одном из ящиков. Некто в поисках ключа просмотрел 5 ящиков и ключ не нашёл. Найти вероятность того, что он найдёт его в 6-м ящике.

Решение:

А – ключ не найден в первых 5-ти ящиках

Введём следующие события:

Н₁– ключ в 1-м ящике

Н₂– ключ в 2-м ящике

Н₃– ключ в 3-м ящике

Н₄– ключ в 4-м ящике

Н₅– ключ в 5-м ящике

Н₆– ключ в 6-м ящике

Н₇– ключ в другом столе

Дома: найти вероятность «вытащить» выученный билет при условии что студент идёт 3-им и 4-м.