Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ
________________________________________________________________
Количество измерительной информации по К.Э. Шеннону определяется как разность между априорной Н0 и апостериорной Н энтропиями источника сообщения. Источником сообщения (информации) в измерительных задачах служит размер. В результате измерения по шкале порядка он может оказаться меньше, либо больше или равным другому размеру (в частном случае - норме). Если перед измерением оба решения равновероятны, то, казалось бы,
H0 = log22 = 1; H = 0,
и такое измерение дает один бит измерительной информации (см. рис. 81).
Рис. 81.
Энтропия источника сообщения с вероятностями состояний Р1 и Р2
Однако это противоречит третьей аксиоме метрологии, согласно которой любое решение измерительной задачи является случайным. Следовательно, измерение по шкале порядка даёт меньше бита измерительной информации. При неравновероятных исходах априорная энтропия Н0 < 1, и количество измерительной информации I = Н0 - Н получается ещё меньшим. Как отмечалось в п.3.2.1, шкалы порядка являются наименее информативными из всех измерительных шкал.
При измерениях по градуированным шкалам количество измерительной информации определяется по формуле (5). Чем меньше априорная энтропия, тем меньше ко-
181
И.Ф. Шишкин. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ
________________________________________________________________
личество измерительной информации. При Н0 = 0 измерение невозможно. Это первая аксиома метрологии.
Показатели качества измерительной информации зависят от формы ее пред-
ставления. Если измерительная информация представлена в форме результата измерения, то номенклатура показателей качества рассмотрена в п.п.7.1, 7.2. Если же она представляется в окончательном виде в форме, удобной для восприятия человеком, то важнейшим показателем качества измерительной информации является ее достоверность.
Достоверность
Показатель качества, характеризующий степень уверенности в том, что значение измеренной величины находится в указанном интервале.
Количественной характеристикой (мерой) достоверности могут быть довери-
тельная вероятность (см. рис. 52, 72) или уровень доверия (рис. 54). Косвенно она мо-
жет характеризоваться коэффициентом охвата (см. вариант 7 в п. 5.2). Важно подчеркнуть, что при одном и том же результате измерения можно обеспечить любую достоверность измерительной информации. Следовательно, достоверность не относится к числу показателей качества результата измерения. Она не рассчитывается a posteriori, а задается в виде основного требования к качеству измерительной информации.
Достоверность измерительной информации - главное условие единства измерений.
Очень часто информация, полученная в результате измерений, используется при проведении расчетов, вычислений, имеющих большое научное, инженерное, хозяйственное значение. При этом нередко не уделяется должного внимания тому, что результаты таких расчетов и вычислений, получаемые путем формальных математических преобразований, не являются абсолютно достоверными и требуют указания вероятности, с которой могут принимать те или иные значения.
Пример 62. По данным примера 39 определить числовое значение длины окружности ℓ с радиусом r .
Решение. 1. |
Aˆ |
= 2 π |
r |
= 25,7; |
Sℓ = 2 π Sr = 4,4. |
|
|||
2. Стандартное отклонение среднего арифметического значения длины окружности |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
S |
ˆ |
= Sℓ / n = 0,44. |
|
|
|
|
|
|
r |
|
A |
|
|
3. Среднее арифметическое |
ста значений r подчиняется нормальному закону распределения |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
вероятности, форма которого не меняется при линейном преобразовании A = 2 πr . Поэтому,
ℓ = 24,8 . . . 26,6 с доверительной вероятностью 0,95.
182
Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ
________________________________________________________________
Пример 63. Определить площадь круга, распределение вероятности числовых значений радиуса которого представлено табл. 10.
Решение. Распределение вероятности числовых значений площади круга s = πr2 получаем, используя табл. 10:
s Р
28,3 0,2
50,3 0,5
78,5 0,3
Оценки числовых характеристик теоретической модели этого распределения вероятности
s = 54,4; SS= 17,7.
Стандартное отклонение среднего арифметического значения площади круга
S ˆ |
= 1,8. |
s |
|
Оставляя открытым вопрос о законе распределения вероятности ˆ , на основании неравенства s
П.Л. Чебышева можно утверждать, что с вероятностью, больше чем 0,9 ,
s |
- 3,2 S ˆ ≤ s ≤ |
s |
+ 3,2 S ˆ . |
|
s |
|
s |
Отсюда,
s = 48,7 . . . 60,1 с вероятностью не менее 0,9 .
Продолжение примера 43. Стандартное отклонение среднего арифметического значения полупериметра
Sr1 +r2 = Sr1 n+r2 = 0,1.
Среднее арифметическое полупериметра прямоугольника как сумма средних арифметических больших массивов экспериментальных данных подчиняется нормальному закону распределения вероятности. Таким образом,
r1 + r2 = 8,0…8,4 с вероятностью 0,95.
Пример 64. Решить пример 44, используя результаты многократных измерений:
ˆ |
|
|
|
Sm2 |
б |
|
|
|
−3 |
|
|
mб = 4,0 |
кг; |
S ˆ |
= |
|
|
=1,9 |
10 |
|
|
кг =1,9 г; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
mб |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
Sm2 |
Т |
|
|
|
|
−3 |
|
mT = 0,9 |
кг; |
S ˆ |
= |
|
|
|
=1,3 |
10 |
|
кг =1,3 г. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
mT |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
183
И.Ф. Шишкин. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ
________________________________________________________________
Решение. 1. |
ˆ ˆ ˆ |
кг. |
mн = mб − mТ = 3,1 |
2. S ˆ = |
S 2ˆ |
+ S 2ˆ |
= 3,7 +1,7 = 2,3 г . |
mн |
mб |
mТ |
|
ˆ н как разность средних арифметических значений больших массивов экспериментальных
3. m
данных подчиняется нормальному закону распределения вероятности. На этом основании,
mн = (3095…3105) г с вероятностью 0,95.
Продолжение примера 45. В расчетах с использованием ситуационных моделей вероятностностатистические закономерности не выполняются. Достоверность результата вычислений обеспечивается выбором коэффициента охвата (см. продолжение примера 15 в п.5.2). В данном случае
mн = (3368…3432) г при коэффициенте охвата, равном 2,
или
mн = (3352…3448) г при коэффициенте охвата, равном 3.
Пример 65. С какой скоростью должно вращаться тело в примере 3, чтобы центробежная сила равнялась 2Н? Результаты измерения массы тела и радиуса окружности (в метрах) приведены в табл. 13
и 10.
Решение. 1. На основании решения примера 1
|
|
|
|
|
|
|
|
v = |
|
rF |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Согласно формуле (18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
4,1 2 |
|
|
|
|
||||
|
|
ˆ |
|
|
r F |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
v |
= |
|
|
ˆ |
= |
|
0,9 |
|
= 3,02 м/с . |
||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поправка, компенсирующая неточность вычисления этого значения, |
|||||||||||||||||
|
1 |
F |
2 |
|
|
1 |
|
|
ˆ |
|
2 |
|
|
3 |
ˆ |
2 |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r F |
||||||||
θv = − |
|
|
Sr |
− |
|
|
|
|
|
SF |
+ |
|
|
Sm = − 0,01 м/с, |
|||
8 |
ˆ ˆ3 |
8 |
ˆ |
|
3 |
8 |
ˆ 5 |
||||||||||
|
mr |
|
|
|
|
m F |
|
|
|
|
|
m |
|
||||
так как Sr2 = 0,5 м2; SF2 = 0; Sm2 = 1,7·10- 4 кг2 . Следовательно,
v = 3, 01 м/с.
184
Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ
________________________________________________________________
3. По формуле (22)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
= |
1 |
F |
S |
2 + |
1 |
r |
S |
|
2 + |
1 |
r F |
S |
2 |
= 0,26 м/c. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
v |
|
4 mr |
r |
|
4 m F |
|
F |
|
4 m 3 |
|
m |
|
|||
4. Стандартное отклонение v
S ˆ |
= 2,6·10 - 2 |
м/с. |
v |
|
|
Поскольку закон распределения вероятности v неизвестен, то на основании неравенства П.Л. Чебышева
v = (2,9 ... 3,1) м /с с вероятностью не менее 0,9.
Продолжение примера 50. При равноточных измерениях на основании неравенства П.Л. Че-
бышева
mб = ( 3,96...4,08 ) кг; mT = ( 0,85...0,97 ) кг с вероятностью не менее 0,9.
При неравноточных измерениях на основании неравенства П.Л.Чебышева
mб = ( 3,93...4,09 ) кг; mT = ( 0,86...0,94 ) кг с вероятностью не менее 0,9.
185