И.Ф. Шишкин. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ

________________________________________________________________

Г л а в а 5

ОДНОКРАТНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ

5.1. ОДНОКРАТНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ПО ШКАЛЕ ПОРЯДКА. ТЕОРИЯ ИНДИКАТОРА

Однократное измерение по шкале порядка выполняется в последовательности,

приведенной на рис. 43.

Анализ априорной информации; определение вероятности правильного решения

Выполнение измерительной процедуры (сравнения размеров опытным путем)

Принятие решения

Представление результата измерения в форме решения с указанием его вероятности

Рис. 43.

Последовательность выполнения однократного измерения по шкале порядка

На основании анализа априорной информации устанавливается вероятность правильного решения Р. После этого выполняется основная измерительная процедура: сравнение между собой размеров Q = Qi и Qj . В зависимости от результата сравнения принимается решение относительно неравенства Q >< Qj . Результат измерения пред-

ставляет собой решение с указанием его вероятности (см. п. 4.3.1).

Иногда показателем качества результата измерения служит вероятность того, что оно является ошибочным. Если, например, известно, что при многократном выполнении таких же измерений ранее при Q < Qj в 20 % случаев принималось ошибочное решение Q ≥ Qj , то вероятность такой ошибки РI ≈ 0,2. Если в 10 % случаев при Q ≥ Qj принималось решение Q < Qj , то вероятность этой ошибки РII ≈ 0,1. Понятно, что чем больше вероятность ошибки при принятии решения, тем ниже качество результата измерения. При Q » Qj или Q « Qj вероятностями ошибок можно пренебречь. При Q ≥ Qj , Q ≤ Qj и Q ≈ Qj c ними нужно считаться. Таким образом, вероятности ошибок

100

Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

________________________________________________________________

зависят не только от априорной, но и от апостериорной информации – силы неравенств в выражении (6).

Разновидностью однократного измерения по шкале порядка служит контрольно-

измерительная операция, при которой случайный размер Q (например, размер какого-

нибудь серийно выпускаемого изделия при выборочном контроле) сравнивается с нормой. На основании решения опытным путем неравенства Q >< Qп , где Qп - некоторое пороговое значение случайного размера Q, связанное с нормой, изделие признается годным или бракуется. При этом возможны ошибочные решения с вероятностями ошибок как первого (Р1), так и второго (Р11) рода. Ошибкой I-го рода является признание годного изделия бракованным, а ошибкой II-го рода – пропуск брака, т.е. признание бракованного изделия годным.

Другой разновидностью однократного измерения по шкале порядка является обнаружение полезного сигнала на фоне случайных помех. Как уже отмечалось в п. 4.3.1, средства измерений, решающие задачу обнаружения, называются индикаторами. В этом случае Qп называется порогом обнаружения. На основании решения опытным путем неравенства Q >< Qп принимается одно из следующих решений:

если Q ≤ Qп , то Q представляет собой случайную помеху;

если Q > Qп , то в Q содержится полезный сигнал.

Особую сложность представляет обнаружение сигналов, мощность которых соизмерима, или даже меньше мощности помех. В этих условиях вероятность ошибочных решений очень велика. Поэтому в состав индикатора включают оптимальный (согласованный со спектром сигнала) селективный фильтр, выделяющий полезный сигнал на фоне помех. Структурная схема такого индикатора показана на рисунке 44.

Рис. 44.

Типовая структурная схема индикатора

Предположим, что индикатор предназначен для обнаружения прямоугольного импульса на фоне белого шума – случайных помех со средним значением, равным нулю и равномерным энергетическим спектром G(ω) = const. Амплитудный спектр прямоугольного импульса и энергетический спектр помехи, представляющей собой напряжение тепловых шумов на выходе оптимального фильтра, показаны на рисунке 45

101

И.Ф. Шишкин. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ

________________________________________________________________

(а и б, соответственно). Если амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтра К(ω) согласована со спектром входного сигнала и имеет вид, показанный на рисунке 45а, то подавление основных энергонесущих составляющих полезного сигнала происходит незначительно, в то время, как энергия помехи ослабляется существенно. В результате отношение сигнал / помеха, пропорциональное отношению заштрихованных площадей на рис. 45, заметно отличается на входе и выходе оптимального фильтра. Выигрыш получается тем более значительным, чем сложнее входной сигнал. В этом нетрудно убедиться, рассмотрев АЧХ фильтра, оптимального последовательности прямоугольных импульсов. Как показано на рис. 46, оптимальный фильтр, получивший название гребенчатого, отфильтровывает индивидуально каждую гармонику полезного сигнала. Энергия помехи в промежутках между резонансными частотами подавляется.

Рис.45.

Прохождение полезного сигнала (а) и белого шума (б) через фильтр, оптимальный для прямоугольного импульса

Кроме того, фазочастотная характеристика (ФЧХ) оптимального фильтра такова, что в определенный момент времени t0 все гармоники полезного сигнала на выходе складываются в фазе. Достигается это благодаря тому, что фаза каждой гармоники задерживается на угол ψ(ω), равный в момент времени t0 фазе этой гармоники на входе. Тогда фаза каждой гармоники на выходе фильтра в момент времени t0

Θ(ω) = ωt0 + φ(ω) + ψ(ω) = ωt0 + φ(ω) – ωt0 – φ(ω) = 0,

гармоники складываются в фазе, образуя выброс, и максимизируется отношение пико

102

Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

________________________________________________________________

вой мощности сигнала к эффективной мощности помехи, ибо начальные фазы составляющих помехи случайны, и на выходе фильтра их фазы не совпадают.

Рис.46.

АЧХ гребенчатого фильтра, оптимального последовательности прямоугольных импульсов

Оптимальный фильтр искажает, конечно, форму входного сигнала, но для решения задачи обнаружения это не имеет значения.

После максимизации отношения сигнал / помеха можно с большей уверенностью приступать к решению вопроса о том, является ли мгновенное значение напряжения на выходе индикатора помехой, или совокупностью помехи и полезного сигнала. Рассмотрим решение этого вопроса на примере обнаружения сигнала на фоне нормальных случайных помех при непрерывном отсчете. Это означает наличие следующей априорной информации: мгновенное значение напряжения u на выходе индикатора при отсутствии полезного сигнала подчиняется нормальному закону распределения вероят-

103

И.Ф. Шишкин. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ

________________________________________________________________

При наличии полезного сигнала uc плотность вероятности совокупности сигнала и помехи на выходе индикатора

где u = uc . Графики этих зависимостей, а также соответствующие функции распределения вероятности Fп(u) и Fсп(u) приведены на рис. 47.

Рис. 47.

Вероятностно-статистические закономерности при обнаружении сигнала на фоне нормальных случайных помех

Решение о наличии полезного сигнала принимается по правилу:

при и ≤ U сигнала нет;

при и > U сигнал есть,

104

Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

________________________________________________________________

где U - некоторое пороговое значение напряжения. При этом опять-таки возможны ошибки двоякого рода. Ошибка I рода состоит в том, что при и ≤ U принимается решение «сигнал есть», в то время как его нет. В радиолокации, где впервые стала применяться теория статистических решений, такая ошибка называется «ложной тревогой». Вероятность этой ошибки при условии, что сигнала нет, т.е. условная вероятность ошибки I рода

Ошибка II рода состоит в том, что при и > U принимается решение «сигнала нет», в то время как он есть. В теории обнаружения такая ошибка называется «пропуском сигнала», а в радиолокации - «пропуском цели». Вероятность этой ошибки при условии, что сигнал есть, т.е. условная вероятность ошибки II рода

Понятно, что вероятности ошибок желательно минимизировать. Однако, как вид-

но на рис. 47, увеличение порогового значения напряжения U, приводящее к уменьшению α, увеличивает β, и наоборот. Следовательно, выбор значения U должен быть оптимальным, удовлетворяющим противоречивым требованиям.

При дефиците априорной информации, когда о сигнале, который нужно обнаружить, ничего не известно, требования к β не могут быть сформулированы. В таком случае можно обеспечить лишь заданные требования к α. Для этого порог обнаружения U рассчитывается по формуле

где L - интеграл вероятности (функция Лапласа). С помощью таблицы (например, табл. 9) находится аргумент функции Лапласа и при известной из априорной информации мощности помех устанавливается значение U.

Пример 51. При испытании объекта на электромагнитную совместимость контролируется его излучение на фиксированной частоте. Если объект удовлетворяет предъявляемым требованиям, то мгновенное значение напряжения на выходе индикатора (напряжение «шума») подчиняется нормальному закону с плотностью вероятности (23) и σu2 = 2,25 B2 . Если объект не удовлетворяет предъявляемым тре-

бованиям, то мгновенное значение напряжения на выходе индикатора подчиняется нормальному закону с плотностью вероятности (24). Рассчитать пороговое значение напряжения на выходе индикатора, обеспечивающее условную вероятность ошибки I рода α = 0,1.

И.Ф. Шишкин. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ

________________________________________________________________

2.По таблице 9 находим: U =1,3

σu

3.Окончательно: U = 1,95 В.

4.Правило принятия решения формулируется следующим образом:

при u ≤ 1,95 В объект удовлетворяет предъявляемым требованиям;

при u > 1,95 В объект не удовлетворяет предъявляемым требованиям.

При этом условная вероятность ошибки I рода составляет 0,1.

Весьма поучительным является другой пример использования теории статистических решений при однократном измерении.

Пример 52. Определить цену деления ∆ шкалы отсчетного устройства измерительного прибора, если его показание X подчиняется нормальному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением σX.

Рис. 48. К определению цены деления шкалы

106

Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

________________________________________________________________

Решение. Пусть решение принимается с округлением до ближайшей отметки шкалы. В нор-