Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ
___________________________________________________________________________
2. Выполняя в (15) интегрирование сначала по В (при постоянном А), а затем по А (или в обратном порядке), получим:
∞ |
Q−A |
∞ |
Q−B |
F(Q)= ∫pA (A)d A ∫pB (B)d B = ∫pB (B)d B |
∫pA (A)d A. |
||
−∞ |
−∞ |
−∞ |
−∞ |
Отсюда плотность вероятности суммы двух независимых результатов измерений
pQ (Q)= dF(Q) |
= |
∞ pA (A)pB (Q − A)d A = |
∞ pB (B)pA (Q − B)d B. |
||||||||||
d Q |
|
|
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
3. Так как в рассматриваемом примере pB (B)≠ 0 лишь в промежутке (-1;1), то |
|||||||||||||
pQ (Q)= |
∞ |
pB (B)pA (Q − B)d B = |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
− |
(Q−B)2 |
|
||
∫ |
∫ |
2 |
|
2 π |
e |
2 |
d B. |
||||||
|
−∞ |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подстановкой В = Q + v ; dB = dv последний интеграл приводится к виду:
|
|
|
|
|
1 |
1−Q |
|
1 |
2 |
1 |
|
1 |
1−Q |
|
1 |
2 |
1 |
−(1+Q) |
|
1 |
2 |
|
p |
Q ( |
Q |
) |
= |
∫ |
e− |
2 v |
d v = |
|
∫ |
e− |
2v |
d v − |
∫ |
e− |
2 v |
|
d v . |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 π |
|
|
|
2 π |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 2 π −(1+Q) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
Отсюда
pQ (Q)= 12 L(1−Q)−L(−1−Q) = 12 L(1−Q)+ L(1+Q) ,
где L — функция Лапласа. График плотности вероятности композиции нормированного нормального и равномерного на интервале (-1,1) законов распределения вероятности независимых результатов измерений показан на рис.41.
Любые математические операции над результатами измерений связаны с преобразованиями их законов распределения вероятности. При сложных функциях большого числа результатов измерении, это сопряжено с преодолением значительных, техниче-
ских трудностей. Поэтому в таких случаях часто ограничиваются приближенными
вычислениями на уровне оценок числовых характеристик.
4.5.3. Приближенные вычисления
Пусть, например,
Q = f (A, B),
где A и B по-прежнему некоторые результаты измерений. Вводя в рассмотрение показания и поправки, можем написать:
A = X + θX ; B = Y + θY ; Q = Z + θZ ,
где поправки будем для простоты считать известными точно постоянными величинами,
а
X = X +δX ; Y = Y +δY ; Z = Z +δZ .
Тогда
Z + θZ +δZ = f (X + θY +δY ;Y + θY +δY ) . 89
И.Ф. Шишкин. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ
________________________________________________________________
Идея приближенных вычислений состоит в том, что сложную функцию представляют рядом, в котором ограничиваются первыми членами разложения.
В данном случае, считая поправки и случайные отклонения от средних значений малыми по сравнению с Х и Y, разложим функцию f в ряд Тейлора:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ f |
|
∂ f |
|
1 ∂2 f |
2 |
||
|
|
|
|
|
= f (X ,Y )+ |
|
|
||||||||||
Z + θZ + δZ |
|
(θX + δX )+ |
|
(θY + δY )+ |
|
|
(θX + δX ) |
||||||||||
∂X |
∂X |
2 ∂X 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
|||||
|
|
1 |
∂2 f |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
+ |
|
|
(θY + δY ) + ... |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
∂Y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Первые слагаемые в правой и левой частях этого выражения не зависят от поправок и случайных отклонений от средних значений. Поэтому
|
|
= f ( |
|
|
|
). |
(17) |
Z |
X,Y |
||||||
Вместо средних значений Х и Y могут быть использованы их оценки. Это позволит получить оценку Z , дисперсия которой будет минимальной, если из всех возможных оценок X и Y будут выбраны имеющие наименьшую дисперсию. Таковыми являются средние арифметические показаний средств измерений. Поэтому эффектив-
ная оценка Z получается в результате подстановки в формулу (17) средних ариф-
метических:
|
|
|
|
|
|
|
= f( |
|
|
|
) . |
|
|
|
(18) |
||
|
|
|
|
|
Z |
X |
,Y |
|
|
|
|||||||
Для определения поправки θz вычтем уравнение (17) из уравнения (16): |
|
||||||||||||||||
|
|
∂f |
|
∂f |
|
|
1 ∂2 f |
2 |
1 ∂2 f |
2 |
|
||||||
θZ +δZ |
= |
|
(θX +δX )+ |
|
(θY +δY )+ |
|
|
|
|
(θX +δX ) + |
|
|
(θY +δY ) ... |
(19) |
|||
∂X |
∂Y |
2 ∂X 2 |
2 ∂Y 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
и усредним левую и правую части получившегося выражения:
|
∂f |
|
|
|
∂f |
|
|
|
1 ∂2 f |
|
|
|
|
|
|
|
1 ∂2 f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
θZ = |
|
θX + |
|
θY + |
2 |
|
(θX +δX ) |
|
+ |
2 |
|
|
(θX |
+δX ) +... = |
|
|
|||||||||||||||||
∂X |
∂Y |
∂X 2 |
|
∂Y 2 |
|
(20) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
∂f |
|
|
|
∂f |
|
|
|
1 ∂2 f |
|
|
|
|
1 ∂2 f |
|
|
|
|
1 ∂2 f |
|
|
|
1 ∂2 f |
|
|
||||||||
= |
θ |
|
+ |
θ |
|
+ |
θ |
2 |
+ |
θ |
2 |
+ |
σ |
2 |
+ |
σ |
2 |
+... |
|||||||||||||||
|
X |
|
Y |
|
|
X |
|
|
Y |
|
|
|
|
X |
|
|
Y |
||||||||||||||||
∂X |
∂Y |
2 ∂X 2 |
2 ∂Y |
2 |
2 ∂X 2 |
2 ∂Y 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Отсюда видно, что даже если θX = θY = 0 , то все равно может возникнуть необ-
ходимость во внесении поправки
|
1 |
∂2 f |
2 |
1 ∂2 f |
2 |
|
||
θZ ≈ |
|
|
σX + |
|
|
σY |
, |
|
2 |
∂X 2 |
2 ∂Y 2 |
||||||
|
|
|
|
|||||
если только ею нельзя пренебречь. Возникновение этой поправки на неточность
вычислений, объясняемое наличием квадратичных членов разложения, является важной особенностью приближенных вычислений на уровне оценок числовых характеристик.
Вычтем теперь уравнение (20) из уравнения (19), ограничившись линейными членами разложения. Получим:
δZ = ∂∂Xf δX + ∂∂Yf δY .
90
Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ
___________________________________________________________________________
Усреднение квадрата левой и правой частей этого выражения позволяет найти приближенное значение дисперсии результата функционального преобразования:
2 |
|
|
|
∂f |
2 |
2 |
|
∂f |
|
∂f |
|
∂f |
2 |
2 |
|
∂f 2 |
2 |
∂f 2 |
2 |
|
∂f |
|
∂f |
|
|
|||||
|
2 |
|
+ 2 |
|
(21) |
|||||||||||||||||||||||||
σZ |
= δZ |
= |
|
|
|
δX |
+ 2 |
|
|
|
δX δY + |
|
|
|
δY |
= |
|
|
σX + |
|
|
σY |
|
|
|
R, |
||||
|
|
∂X |
|
∂Y |
|
|
|
|
∂X ∂Y |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂X |
|
|
|
|
|
∂Y |
|
|
|
∂X |
|
∂Y |
|
|
|
|
|||||||||
где σX и σY — средние квадратические отклонения результатов измерений A и В; R
— смешанный центральный момент второго порядка совместного распределения случайных значений А и В.
Рис 42.
Варианты статистической связи между двумя случайными числами
Общее правило образования центральных моментов совместного распределения двух случайных чисел х и у:
|
= ∞∫ ∞∫ (x − x)r−k p(x, y)k d xd y, |
|
(x − x)r−k (y − y)k |
r > 0, |
|
|
−∞ −∞ |
|
где r — номер или порядок момента. Смешанный момент второгопорядка
R = (x − x)(y − y)=δxδy
называется корреляционным и служит мерой линейной статистической связи между двумя случайными числами, которая в отличие от функциональной указывает на то, что по какимто причинам случайные числа обнаруживают тенденцию к синхронному изменению, причем не обязательно в одном направлении. Например, увеличение случайных значений х сопровождается и некоторым увеличением (рис. 42, а, или наоборот уменьшением — рис. 42, б) случайных значений у. Обычно это бывает следствием влияния какого-то общего фактора, например, изменения температуры в помещении, где проводятся измерения, или падения напряжения в сети питания и т.п. В первом случае корреляционный момент больше нуля, и говорят о положительной корреляции между случайными числами, во втором — об отрицательной корреляции. Наконец, если в значениях, принимаемых случайными числами, не усматривается никакой статистической связи, их корреляционный момент равен нулю. Такие случайные числа считаются независимыми — рис. 42, в. Обратное ут-
верждение о том, что при R = 0 случайные числа или величины независимы, неверно. Только в частном случае,
когда случайные числа или величины подчиняются нормальному закону распределения вероятности, выполнение условия R = 0 означает их независимость.
На практике вместо смешанного центрального момента второго порядка может быть вычислена лишь его оценка
R = |
|
∑(xi − x)(yi − y)= |
|
∑xi yi − x y . |
|||
ˆ |
1 |
n |
ˆ |
ˆ |
1 |
n |
ˆ ˆ |
|
n |
i=1 |
|
|
n |
i=1 |
|
Переходя в выражениях (20) и (21) к оценкам, получим:
91
И.Ф. Шишкин. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ
________________________________________________________________
θZ
SZ2
SZ
= |
∂f |
θ |
|
+ |
|
∂f |
|
θ |
|
|
+ |
1 |
|
∂2 f |
θ2 |
+ |
|
1 ∂2 f |
θ2 |
+ |
1 ∂2 f |
S 2 |
+ |
1 ∂2 f |
S 2 |
+... ; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
∂X |
|
|
|
|
|
|
|
2 ∂X 2 |
|
2 ∂Y 2 |
2 ∂X 2 |
2 ∂Y 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
X |
|
|
∂Y |
Y |
|
|
X |
|
|
Y |
|
X |
|
Y |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
∂f |
2 |
|
2 |
|
|
|
∂f 2 |
|
2 |
|
|
∂f ∂f ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
S |
|
+ |
|
|
|
|
S |
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂X ∂Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
∂X |
|
|
|
X |
|
|
|
∂Y |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
∂f |
|
|
|
2 |
|
|
|
∂f |
|
|
2 |
|
|
∂f ∂f |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
+ |
|
|
|
S |
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂X |
|
|
|
|
∂X ∂Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
∂Y |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
где частные производные называются функциями влияния. В случае большого числа независимых результатов измерений
|
SZ = |
∂f |
|
|
SX |
|
2 |
|
|
∂f |
|
SY |
|
2 |
(22) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+... . |
||||||||
|
∂X |
∂Y |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 48. Найти стандартное отклонение площади квадрата в примере 46 по формуле (22). |
||||||||||||||||||||
Решение. Так как s = r1 · r2 |
, |
d s |
= r2 ; |
|
|
d s |
= r1. Используя вместо |
|
||||||||||||
dr1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dr2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 и r2 их средние арифметические значения |
|
1 = |
r2 |
= |
|
, получим |
|
|||||||||||||
r |
r |
|
||||||||||||||||||
|
SS = |
ˆ 2 |
|
2 |
|
|
ˆ 2 |
2 |
|
|
|
ˆ |
|
2. |
|
|||||
|
r |
Sr + r |
Sr |
= r Sr |
|
|
||||||||||||||
Числовые значения r и Sr2 вычислены в примере 39. Подставляя их, найдем
SS = 4,1 ,
что соответствует ранее полученному результату.
Пример 49. Решить пример 40 методом приближенных вычислений на уровне оценок числовых характеристик.
Решение. 1. Согласно выражению (18),
|
|
|
|
ˆ |
2 |
= |
|
4,1 |
2 |
= 16,8. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Поправка на неточность этого значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∂2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
θ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
= Sr |
= 0,5 , |
|
|||
|
|
2 |
|
|
∂r |
2 |
|
|
Sr |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
откуда окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ2 |
=16,8 + 0,5 =17,3 , |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|||||||||||||||
что соответствует результату, полученному в примере 40. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. По формуле (22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
2 = |
|
∂r 2 |
S |
2 |
= |
|
|
4r |
2 |
S |
2 |
= 2rS |
|
= 5,77, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|||||||||||||
r |
|
|
∂r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где расхождение в последнем знаке с результатом, полученным в примере 40, свидетельствует о приближенном характере вычислений.
92