Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

___________________________________________________________________________

4.5.4. Решение систем уравнений, содержащих результаты измерений

Наиболее общим случаем функционального преобразования результатов измерений является преобразование одной многомерной величины, изображаемой точкой с координатами А, В, С, ... в n-мерном пространстве в другую многомерную величину Q, изображаемую точкой с координатами Q1, Q2,…,Qm в m-мерном пространстве. Результаты измерений А, В, С, ... образуют одну систему случайных значений, а координаты Q1 ,Q2 ,..., Qm — другую, причем m ≤ n .

Многомерная интегральная функция распределения вероятности системы случайных значений F(Q1,Q2,...,Qm) в рассматриваемом случае представляет собой вероятность того, что

f1(A,B,C, ...) < Q1; f2(А,В,С,…) < Q2;

……………………

fm(A,B,C,…) < Qm .

Совокупность этих неравенств определяет некоторую область G в m-мерном пространстве, причем ни одно из неравенств не нарушается, если точки с координатами А, В, С, ... находятся в пределах этой области. Вероятность последнего

F(Q1,Q2 , … , Qm ) = ∫ …G… ∫ p (A,B,C,…) dA dB dC … .

Если результаты измерений независимы, то

F(Q1,Q2 , … , Qm) = ∫ …G… ∫ pA (A) pB (B) pC (C)…dA dB dC … .

Плотность вероятности системы случайных значений

На практике иногда представляет интерес вероятностно-статистическое описание каждого из значений Q1, Q2 ,…, Qm в отдельности. Эта задача решается путем интегрирования F (Q1,Q2 ,…, Qm ) по остальным переменным. В то же время, преобразование одной системы случайных значений (А, В, С, ...) в другую (Q1,Q2 ,…, Qm) может быть представлено совокупностью уравнений

f1 (А,В,С,...) = Q1; f2 (А,В,С,...) = Q2;

……………………

fm (A,B,C,…) = Qm ,

не предполагающей их совместного решения. Каждое из этих уравнений, называемых совокупными, решается методами, рассмотренными в п.п. 4.5.2, 4.5.3.

Если совокупные уравнения являются линейными, то преобразование одной системы случайных значений в другую может быть представлено в матричной форме, например,

93

И.Ф. Шишкин. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ

________________________________________________________________

где di j — коэффициенты в совокупных уравнениях.

Принципиально другим является случай, когда требуется определить значения Q1,Q2,… Qm , связанные со значениями А, В, С.... , определяемыми посредством измерений, системой линейных уравнений

f1 (Q1,Q2...Qm , А, В,...)= 0;

( )=f2 Q1,Q2...Qm , А, В,... 0;

...........................................

fn (Q1,Q2...Qm , А, В,...)= 0,

предполагающей их совместное решение. После подстановки в эти уравнения, называемые совместными, полученных экспериментально значений A, B , … , они принимают вид:

f1 (Q1,Q2 ,...,Qm ) = 0;

f (Q ,Q ,...,Q )= 0;

2 1 2 m

....................................

f1 (Q1,Q2 ,...,Qm )= 0,

где знак равенства носит уже чисто условный характер, так как коэффициенты, входящие в эти уравнения, выражены через результаты измерений, не равные в точности значениям А, В, ... . Поэтому эти уравнения называются условными. Идея их решения

методом наименьших квадратов принадлежит Гауссу.

Если в условные уравнения ввести поправки θi , обращающие их в строгие тождества и называемые в данном случае невязками, то метод наименьших квадратов будет

состоять в том, чтобы найти такие оценки Q1,Q2 ,…,Qm значений Q1, Q2 ,…, Qm, при которых сумма квадратов невязок была бы минимальной, т.е. в уравнениях

94

Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

___________________________________________________________________________

величины θi удовлетворяли бы условию

то требование минимизации суммы квадратов невязок можно записать следующим образом1:

n

Функция нескольких переменных ∑fi2 достигает минимума в точке, где все ее частные

i=1

производные равны нулю. Поэтому оценки интересующих нас значений находятся в результате решения системы уравнений

Обозначим коэффициенты при неизвестных в условных уравнениях через qi,j , а свободный член через li . Тогда последние уравнения можно будет представить в виде:

1 Eсли условные уравнения неравноценны, то каждое из них берется со своим весом gi . В этом случае

Веса условных уравнений выбираются обратно пропорциональными их дисперсиям, но так, чтобы

n

∑gi =1.

i=1

95

И.Ф. Шишкин. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ

________________________________________________________________

Раскрыв в них скобки, получим систему так называемых нормальных уравнений:

которая будет более обозримой, если суммирование по i обозначить квадратными скобками. При таком обозначении, введенном Гауссом,

Число нормальных уравнений равно числу неизвестных, так что эта система имеет обычное решение:

где главный определитель (детерминант) системы

а определители D1, D2, …, Dm получаются из главного определителя D путем замены столбца, составленного из коэффициентов при неизвестном Q j столбцом, составленным из свободных членов, например,

96

Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

___________________________________________________________________________

Стандартные отклонения оценок Q1,Q2 ,…,Qm выражаются через невязки и коэффициенты в условных уравнениях следующим образом:

где Djj — миноры (алгебраические дополнения) элементов [q1q1] , [q2q2] , … , [qmqm] главного определителя системы D, т.е. определители (m-1)-го порядка, получающиеся путем вычеркивания в главном определителе j-и строки и j-го столбца.

Пределы, в которых находятся значения Q1, Q2, …, Qm , определяют либо исходя из того, что Q1,Q2 ,…,Qm подчиняются закону распределения вероятности Стьюдента

(вместо n на рис. 73 используется в этом случае значение n - m), либо с помощью неравенства П.Л. Чебышева (см. рис.52).

Пример 50. В соответствии со 2-м, 4-м и 9-м вариантами, представленными в табл. 14, при четырех взвешиваниях были получены следующие значения: mб = 3,98 кг; тТ = 0,9 кг; mб – тT = 3,12 кг; mб + тТ = 4,96 кг. Определить mб и mT методом наименьших квадратов.

Решение. 1. Для числовых значений исходная система условных уравнений имеет вид:

f1 = mб −3,98 = 0;f2 = mT −0,9 = 0;

f3 = mб −mT −3,12 = 0;f4 = mб + mT −4,96 = 0.

2. Если эти условные уравнения равноценные, то, вводя невязки и переходя к оценкам, которые нужно будет найти из условия минимизации суммы квадратов невязок, получим:

mˆ б −3,98 +θ1 = 0;mˆ T −0,9 +θ2 = 0;

mˆ б −mˆ T −3,12 +θ4 = 0;mˆ б + mˆ T −4,96 +θ4 = 0.

3. Суммирование произведений каждой функции fi, на ее производную по первой переменной ( mб ) дает

(mˆ б −3,98) 1+ 0 +(mˆ б − mˆ T −3,12) 1+(mˆ б + mˆ T − 4,96) 1 = 0 ;

по второй (mˆ T )−

0 +(mˆ T −0,9) 1−(mˆ б − mˆ T −3,12) 1+(mˆ б + mˆ T − 4,96) 1 = 0 .

97

И.Ф. Шишкин. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ

________________________________________________________________

Таким образом, система нормальных уравнений имеет вид:

3mˆ б +0 =12, 06 ;0 +3mˆ T = 2, 74 .

4. Каждое из полученных нормальных уравнений дает значение одной из искомых оценок, но, следуя общей схеме расчетов, напишем

5. При таких значениях оценок невязки

θ1 = −0,04; θ2 = −0,01; θ3 = 0,01; θ4 = 0,03,

а сумма их квадратов

4

∑θi2 = 0, 0016 +0, 0001+0, 0001+0, 0009 = 0, 0027.

i=1

6.Стандартное отклонение первой оценки

второй –

7. Рассмотрим теперь случай, когда заранее известно, что точность взвешивания тары пример-

но в 1,6 раза выше, чем консервированного продукта брутто:

σ2mб ≈ 2,5σ2mT .

Ценность второго условного уравнения тогда больше, чем первого. Если учитывать ценность условных уравнений весовыми коэффициентами, обратно пропорциональными их дисперсиям, то

g1 = 0,2; g2 = 0,5; g3 = 0,15; g4 = 0,15 ,

так как дисперсии третьего и четвертого условных уравнений равны сумме двух первых, а сумма всех весовых коэффициентов должна равняться единице.

98