Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
УП - теор. метрология ч.1- Шишкин 2008.pdf
Скачиваний:
119
Добавлен:
02.04.2015
Размер:
2.93 Mб
Скачать

Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

___________________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

QQ

 

 

 

 

 

 

 

p (Q)=

 

 

 

 

 

1

e 2SQ2

 

SQ

 

 

 

 

−∞

 

 

 

dQ ,

или функции распределения вероятности

Q0

F(Q0 )= p(Q)dQ ,

−∞

которые хотя и остаются случайными из-за случайного характера Q и SQ2 - оценок чи-

словых характеристик (среднего значения и дисперсии, соответственно), но служат хорошими аппроксимациями ступенчатых эмпрических зависимостей;

упрощённо - посредством перечисления оценок числовых характеристик соот-

ветствующего

(в данном случае нормального) закона распределения вероятности:

 

 

N( Q ; SQ2 ) или N( Q ; SQ) .

4.4. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ИЗМЕРЕНИЙ

Непосредственным откликом измерительного прибора на входное воздействие служит отклонение указателя отсчётного устройства на некоторый угол (см. рис. 31), изменение длины столба термометрической жидкости и тому подобные реакции средств измерений различных типов. Из-за влияния множества факторов, точный учёт которых невозможен, а результат непредсказуем, отклик является случайным. Между тем, в конечном счёте представляет интерес не случайный отклик на входное воздействие, а неслучайное значение измеряемой величины. Определение значения измеряемой величины по отклику средства измерений на входное воздействие называется обратной

задачей теории измерений.

Рис.31.

Схема измерения

67

Обратная задача решается в два этапа. На первом из них до начала измерений (a priori) устанавливается связь между откликом и входным воздействием. Для этого отметкам шка-

лы на выходе средства измерений придаются значения измеряемой величины на входе. Эта процедура представляет собой передачу средству измерений ин-

И.Ф. Шишкин. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ

________________________________________________________________

формации о размере единицы. Она называется градуировкой, и позволяет в дальнейшем по отклику судить о значении измеряемой величины.

На втором этапе после выполнения измерительной процедуры (a posteriori)

осуществляется переход от случайного результата измерения, полученного на вы-

ходе измерительного прибора, к неслучайному значению измеряемой величины на входе. Он состоит в отождествлении значения измеряемой величины с одной из характеристик положения результата измерения (обычно с его средним значением).

Градуировка

Градуировка выполняется в условиях, когда измеряемая величина либо не меняется, либо её изменением можно пренебречь, а время позволяет снимать показания после того, как указатель отсчётного устройства окончательно остановится на какойнибудь отметке шкалы.

Различают градуировку в отдельных точках диапазона измерений и построение непрерывной градуировочной характеристики.

Градуировка в отдельных точках диапазона измерений является наиболее про-

стой. Так например, при градуировке ртутного термометра в двух реперных точках (при температуре таяния льда и температуре кипения воды) получают по n значений длины ртутного столба в каждой точке. Затем в центрах рассеяния наносят отметки шкалы и присваивают этим отметкам значения 00 С и 1000 С, соответственно. Если длина ртутного столба прямо пропорциональна измеряемой температуре, то расстояние между полученными отметками шкалы можно разбить на 100 равных частей и получить термометрическую шкалу с ценой деления 10 С.

Построение градуировочной характеристики предполагает две возможности.

Первая из них заключается в том, что зависимость между входным воздействием и откликом на него известна (например, линейная, квадратичная, логарифмическая и т.п.), но неизвестны коэффициенты, входящие в соответствующее алгебраическое уравнение. Вторая возможность состоит в необходимости аппроксимации экспериментальных данных аналитической зависимостью.

Если вид градуировочной характеристики

X = f(Q)

известен, то задача состоит в том, чтобы в её представлении полиномом соответствующей степени

f(Q) = a0 + a1Q + a2Q2 + ... + amQm

найти такие значения коэффициентов а0, а1, а2, ... аm , при которых эта зависимость наилучшим образом соответствовала бы экспериментальным данным.

68

Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

___________________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 32 показаны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

некоторые

варианты

по-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

строения линейной градуи-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ровочной

характеристики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по

экспериментальным

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

данным, нанесённым кру-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

жочками. Вопрос о том,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

какой из вариантов лучше,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

должен решаться на основе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

какого-то критерия. Если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значения

входных воздей-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ствий Q1, Q2, ... , Qn извест-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ны точно, а отклики на них

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1, X2, ...

Xn

подчиняются

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нормальному

закону

рас-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пределения вероятности, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 32.

обычно используется

кри-

Построение линейной градуировочной характери-

терий наименьших квадра-

 

 

 

 

 

стики по экспериментальным данным

тов. Минимизируется сум-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ма

квадратов

отклонений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откликов по оси ординат от градуировочной характеристики:

n (X i a 0 a1Qi a 2 Qi2 −…− a m Qim )2 = min .

(13)

i=1

 

Коэффициенты а0, а1, а2, ... , аm , определяющие оптимальную по критерию наименьших квадратов градуировочную характеристику, находятся из условия равенства нулю производных от этой суммы по каждому коэффициенту.

Пример 35

При градуировке измерительного прибора с линейной градуировочной характеристикой получены следующие числовые значения экспериментальных данных:

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Qi

41

50

81

104

120

139

154

180

208

241

250

269

301

Xi

4

8

10

14

15

20

19

23

26

30

31

36

37

Найти методом наименьших квадратов аналитическое выражение для градуировочной характеристики и построить её графически.

Решение. 1. Линейная градуировочная характеристика описывается выражением: X = a0 + a1Q ,

где коэффициенты а0 и а1 методом наименьших квадратов находятся из условия:

13

(Xi a0 a1Qi )2 = min .

i=1

69

И.Ф. Шишкин. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ

________________________________________________________________

 

 

 

 

 

2. Вышеприведённая функция мини-

 

 

 

 

 

мальна в точке, где её производные по а0 и а1

 

 

 

 

 

равны нулю. Поэтому коэффициенты

а0 и а1

 

 

 

 

 

определяются в результате решения системы

 

 

 

 

 

уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

(X i a 0 a1Qi )= 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

(X i a 0 a1Qi )Qi = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Два уравнения с двумя неизвестны-

 

 

 

 

 

ми имеют единственное решение. Разделив

 

 

 

 

 

левую и правую части каждого уравнения на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13, и введя обозначения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

X i =

 

 

;

1

Qi =Q ;

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13 i=1

 

 

 

 

13 i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

13

 

 

 

 

Рис. 33.

 

 

1

Qi2

= Q2 ;

 

1

X i Qi

=

X Q

,

 

 

 

 

 

Градуировочная характеристика

 

13 i=1

 

 

 

 

 

13 i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в примере 35

получим выражения для коэффициентов а0 и а1 в форме, выходящей по своему значению за рамки частного примера:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q2

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

a

=

X

X Q

;

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q2 Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

=

 

X Q

 

Q

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q2

Q

 

 

 

 

 

4. В рассматриваемом случае а0 = 0,7;

а1 = 0,124, так что аналитическое выражение для градуи-

ровочной характеристики имеет вид:

X = 0,7 + 0,124 Q .

Графически она построена на рис. 33, где кружочками также нанесены экспериментальные данные.

Выражениями для а0 и а1 , полученными в рассмотренном примере, можно пользоваться при градуировке измерительных приборов с нелинейной градуировочной характеристикой.

Так, например, если она описывается зависимостью

X = a0 + aQ1 ,

70

Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

___________________________________________________________________________

то в формулы для коэффициентов а0 и а1 , полученные в примере 35, вместо Q следу-

ет подставлять Y = Q1 .

Точно так же, если

X = a0 + a1Q2 ,

то задача линеаризуется подстановкой Y = Q2.

Иногда для линеаризации может использоваться логарифмирование. Если, например,

X = aea1Q ,

то после логарифмирования по основанию натуральных логарифмов получается:

Y = a0 + a1Q ,

где Y = ln X ; a0 = ln a. Можно привести и другие примеры.

Пример 36

Линеаризовать выражение для градуировоч-

ной характеристики

a1 X = a e Q .

Ответ: Y = a0 + a1G, где Y = ln X ; a0 = ln a; G = Q-1 .

Пример 37

Линеаризовать выражение для градуировочной характеристики

X = a0ln Q. a1

Ответ: X = A0 + A1G, где A0 = - a0 lna1 ; A1 = a0 ; G = ln Q .

Рис.34.

Построение градуировочной характеристики, вид которой неизвестен

иногда называется задачей сглаживания.

Если вид градуировочной характеристики неизвестен, то возникает задача отыскания наилучшей аппроксимации экспериментальных данных, полученных при градуировке, аналитической зависимостью (см. рис. 34). Решение её методом наименьших квадратов отличается от решения предыдущей задачи только тем, что степень полинома

f(Q) = a0 + a1Q + a2Q2 + ...

неизвестна. Она устанавливается на основании требований к точности градуировки. После этого минимизируется выражение (13). Количество уравнений для определения коэффициентов а0, а1, а2, ... всегда равно числу неизвестных, так что задача имеет единственное решение. В специальной литературе она

71

И.Ф. Шишкин. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ

________________________________________________________________

Переход от результата измерения к значению измеряемой величины

Так как результат измерения является случайным, естественно возникает вопрос, какое из его значений совпадает со значением измеряемой величины? Подсказкой служит то, что оно должно быть неслучайным, и его размерность должна совпадать с размерностью измеряемой величины.

Сформулированным требованиям в равной мере удовлетворяют все характери-

стики положения: среднее значение, мода и медиана. Сделать более конкретный вы-

бор из них на основе научной аргументации невозможно. По сложившейся практике со значением измеряемой величины Q отождествляется среднее значение результата изме-

рения Q . Такое положение не является чем-то особенным или из ряда вон выходящим.

В теории вероятности, например, существует принцип практической уверенности,

согласно которому можно быть практически уверенным в том, что маловероятное событие при однократном испытании не произойдёт. Этот принцип не доказывается математически; он подтверждается всем опытом человечества. Точно так же в метрологии можно быть практически уверенным в том, что среднее значение результата изме-

рения Q в большинстве случаев соответствует значению измеряемой величины Q. Это подтверждается всем многовековым опытом практических измерений.

Сказанное позволяет перейти от любого из случайных значений результата измерения на выходе измерительного прибора к неслучайному значению измеряемой

величины Q ≡ Q на его входе.

Если, например, результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности, то любое его случайное значение Qi удалено от среднего

значения Q не более чем

на ±3σQ с вероятностью 0,997; на ±2,6σQ с вероятностью 0,99; на ±2σQ с вероятностью 0,95; на ±σQ с вероятностью 0,68

(см. табл. 9). Следовательно, можно утверждать и обратное: неслучайное значение Q ≡ Q удалено от любого случайного значения результата измерения Qi не более чем

на ±3σQ с вероятностью 0,997; на ±2,6σQ с вероятностью 0,99; на ±2σQ с вероятностью 0,95; на ±σQ с вероятностью 0,68.

72

Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

___________________________________________________________________________

Таким образом, всегда можно указать доверительный интервал, в пределах которого находится значение измеряемой величины с соответствующей доверительной вероят-

ностью.

Пример 38

Результат измерения расстояния подчиняется нормальному закону распределения вероятности с дисперсией 10-4 м2 (априорная информация). Чему равно расстояние L, если при его измерении получено значение L = 24,12 м ?

Решение. Полученный результат является случайным. На самом деле расстояние L равно

(24,09 ... 24,15) м с вероятностью Р = 0,997;

(24,10 ... 24,14) м с вероятностью Р = 0,95;

(24,11 ... 24,13) м с вероятностью Р = 0,68.

Если неизвестно, какому закону распределения вероятности подчиняется результат измерения, то вероятность того, что любое его случайное значение Qi ока-

жется за пределами доверительного интервала [ Q - tσQ; Q + tσQ]

 

 

 

Q

Q

 

P{ Qi -

 

> tσQ } = p (Q)dQ + p (Q) dQ .

Q

 

 

 

 

−∞

 

Q

 

 

 

 

Q

Введём в рассмотрение функцию

1

ξ(Q) = 0

1

при

Q <

Q

 

- tσQ ;

при

 

- tσQ Q

 

+ tσQ ;

Q

Q

при

Q >

 

+ tσQ ,

Q

график которой показан на рис. 35. Это позволит перейти к более компактной записи:

P{ Qi - Q > tσQ } = ξ(Q)p(Q)dQ.

−∞

73

И.Ф. Шишкин. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ

________________________________________________________________

Рис.35.

К выводу неравенства П. Л. Чебышева

Результат интегрирования не уменьшится, если функцию ξ(Q) заменить пока-

Q Q 2

занной на рис. 35 пунктиром квадратичной функцией , которая при всех Q не

tσQ

меньше ξ(Q). Тогда

 

 

1

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

P{ Qi - Q > tσQ }

(Q )2

−∞

(Q Q)

p (Q)dQ =

 

,

t2

а вероятность того, что отдельное значение результата измерения Qi при любом законе распределения вероятности не отличается от среднего значения Q больше, чем на половину доверительного интервала [ Q - tσQ ; Q + tσQ] ,

P{Q - tσQ Qi Q + tσQ } 1 - t12 .

Эта формула называется неравенством П.Л. Чебышева. Она устанавливает нижнюю границу вероятности того, что случайное значение результата измерения Qi не окажется за пределами доверительного интервала. При всех обстоятельствах оно удалено от

среднего значения Q не более чем

на ±3σQ с вероятностью 0,889; на ±2,6σQ с вероятностью 0,85; на ±2σQ с вероятностью 0,75; на ±σQ с вероятностью 0.

74

Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

___________________________________________________________________________

Следовательно, можно утверждать и обратное: неслучайное значение измеряемой величины Q ≡ Q удалено от любого случайного значения результата измерения Qi при любом законе распределения его вероятности не более чем

на ±3σQ с вероятностью 0,889; на ±2,6σQ с вероятностью 0,85; на ±2σQ с вероятностью 0,75; на ±σQ с вероятностью 0.

При неизвестном законе распределения вероятности результата измерения значение измеряемой величины на основании неравенства П.Л. Чебышева устанавливается с максимальной неопределённостью.

Уменьшить эту неопределённость можно только выяснив, какому закону распределения вероятности подчиняется результат измерения.

75