- •1Принцип Гамильтона-Остроградского для упругого тела.Вариационный вывод уравнений колебаний и естественных граничных условий для упругого тела Принцип Гамильтона – Остроградского для упругого тела
- •2Динамические уравнения теории упругости.
- •3Вариационный вывод уравнений колебаний и естественных граничных условий для одномерных и двумерных систем.
- •6Уточненная теория изгибных колебаний стержней. Уравнения балки Тимошенко
- •7Уравнения колебаний и естественные граничные условия колебаний пластин. Уравнение изгибных колебаний пластин
- •8Применение принципа Даламбера для вывода уравнений динамики упругих систем
- •Продольные колебания стержней
- •Пластина
- •10Операторное уравнение для определения спектров
- •Ортогональность форм собственных колебаний
- •13Структура спектра частот собственных колебаний. Полнота системы форм собственных колебаний
- •15Энергетическое пространство упругого оператора. Энергетическая норма. Энергетическое пространство положительно определенного оператора
- •16Вариационные принципы теории собственных колебаний. Основной вариационный принцип теории собственных колебаний
- •17Минимальное свойство низшей собственной частоты Теоремы сравнения
- •Теоремы сравнения
- •Классификация методов
- •19 Методы физической дискретизации(Дискретизация масс)
- •20Вариационные методы определения собственных частот и форм колебаний. Вариационная формулировка задачи
- •21Метод Релея и некоторые оценки, вытекающие из него: формулы Данкерли и Саутвелла Формула Релея
- •Некоторые оценки, вытекающие из формулы Релея. Формулы Данкерли и Саутвелла
- •22Вариационный метод Ритца
- •23Метод БубноваГалеркина
- •24Продольные, крутильные и изгибные колебания стержней постоянного поперечного сечения. Продольные колебания стержней постоянного поперечного сечения
- •Изгибные колебания стержней постоянного поперечного сечения
- •26Метод начальных параметров в задачах об изгибных колебаниях стержней
- •Матричная форма метода начальных параметров
- •27Методы расчленения в теории собственных колебаний стержней (метод динамических податливостей, метод динамических жесткостей).
- •28Влияние осевых усилий на собственные изгибные колебания стержней
- •29Влияние инерции вращения и деформаций поперечного сдвига на изгибные колебания стержней
- •30Собственные колебания прямоугольных пластин.Граничные условия Навье. Уравнения и граничные условия
- •Собственные колебания прямоугольной пластины с краевыми условиями Навье
- •31Плотность собственных частот пластин
- •32Прямоугольная пластина краевыми условиями Леви
- •33Колебания круговых и кольцевых пластин
- •Круговые пластины
- •34Применение вариационных методов в задачах о собственных колебаниях пластин
- •35Асимптотический метод в.В.Болотина для определения спектров собственных колебаний
- •Идея асимптотического метода
- •36Применение асимптотического метода к расчету прямоугольных пластин
- •37Собственные колебания круговых цилиндрических оболочек.
- •38Осесимметричные и преимущественно изгибные колебания. Осесимметричные колебания цилиндрических оболочек
- •39Собственные колебания пологих оболочек. Уравнения и граничные условия
- •40Волны в неограниченной упругой изотропной среде. Волны расширения и волны сдвига.
- •41Дисперсионное уравнение. Фазовая и групповая скорости.Типы дисперсий
- •42Поверхностные волны Релея
- •43Приложение к сейсмологии
- •44 Продольные волны и волны кручения в призматических стержнях.Элементарная и уточненная теории изгибных волн в стержнях.
- •Волны кручения в призматическом стержне
- •Изгибные волны в призматических стержнях
- •Изгибные волны в стержнях
28Влияние осевых усилий на собственные изгибные колебания стержней
при сжатии
Уравнение для определения собственных частот и форм
Если граничные условия произвольные, то составляется характеристическое уравнение и т.д. Если граничные условия – шарнирное опирание, то можно принять
Граничные условия удовлетворяются автоматически. Удовлетворим уравнению
Если , то
ая Эйлерова сила
Приложение сжимающих усилий снижает частоту собственных колебаний, растягивающих – повышает. При , когданаступление нейтрального равновесия.
Пусть (растягивающее усилие). Тогда
Если , то(штриховые линии на рисунке). Стержень превращается в струну. Так как, то
Для стержня , для струны(пренебрегаем изгибом) и положивполучим. Для других граничных условий факт неучета первого слагаемого для струны сохраняется.
29Влияние инерции вращения и деформаций поперечного сдвига на изгибные колебания стержней
Рассмотрим балку Тимошенко
Пусть стержень оперт по концам
, гдеугол сдвига
Одно из уравнений Тимошенко
Так как на концах стержня ускорения и перемещения равны нулю, то здесьи тогдаи граничные условия записываются как обычно
Эти граничные условия позволяют искать решение в виде
Подставим в уравнение
Это – биквадратное уравнение, которое дает два значения для собственных частот (напомним, что исходные уравнения содержат две независимые функции и.)
Формы колебаний будут определятся следующим образом
Отличаются значениями числовых коэффициентов
Эти соотношения характеризуют форму колебаний. Одна частота соответствует преимущественно изгибным колебаниям, вторая – преимущественно сдвиговым.
Обозначим или, гдерадиус инерции. Частотасоответствует частотам колебаний балки Бернулли.
Величина одна из скоростей распространения упругих волн.
Введем также . Здесьтакже одна из скоростей распространения упругих волн.
С учетом этих обозначений перепишем частотное уравнение
Если стержень достаточно тонкий, то . Тогда получим, что, т.е.очень высокая частота, а частота изгибных колебаний будет совпадать со значением, полученным по классической теории. Покажем это
Если предположить, что искомая частота низкая, то . Если частота высокая, то пренебрегаем последним слагаемым и.
Обычно принимают
Если , то можно пользоваться классической теорией.
30Собственные колебания прямоугольных пластин.Граничные условия Навье. Уравнения и граничные условия
Тонкая пластина толщиной совершает изгибные колебания.
На контуре имеем граничные условия. Например,.
Предположим, что часть контура параллельна координатной линии
Край
Опирание:
Переходя к
Заделка:
Свободный край:
Для
Собственные колебания прямоугольной пластины с краевыми условиями Навье
,
граничные условия
это наиболее простой случай. Решение представим в виде
Подставим в уравнение
Обозначим (удлинение пластины). Решение для
Этим частотам соответствуют формы колебаний
Упорядочим частоты по возрастанию .
Если , то рассматриваемая форма характеризуется одной полуволной в одном направлении и одной в другом направлении
Среди собственных частот могут быть кратные. Пример: квадратная пластина
Здесь и любая комбинация второй и третьей форм есть новая форма колебаний, соответствующая той же частоте.