26Метод начальных параметров в задачах об изгибных колебаниях стержней

Этот метод берет свое начало от Коши. Возрожден был А.Н.Крыловым (1930). Называется метод Коши – Крылова.

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение го порядка

частных линейно независимых решений образуют фундаментальную систему

Определитель этой матрицы (Вронского) отличен от нуля

Если , гдеединичная матрица, то система решений называется нормальной фундаментальной системой. Еслинормальная фундаментальная система, то общее решение однородного уравнения можно записать в виде

где ─ начальные условия. Если уравнение неоднородное, то частное решение неоднородного уравнения можно найти по формуле Коши

,

где функция Грина (ядро Коши) для задачи Коши. Если уравнение с постоянными коэффициентами и нам известна фундаментальная система Коши, то функция, а частное решение

Окончательно общее решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид

В этом состоит математическая сторона метода. Применим метод к задачам об изгибных колебаниях стержней (А.Н.Крылов, Н.И.Безухов)

фундаментальная система решений, но она не является нормальной. Нормальную фундаментальную систему сформируем на основе функций Крылова

Обозначим , тои вообще: при дифференцировании номер функции Крылова понижается на единицу.

Таким образом, нормальная фундаментальная система решений уравнения собственных колебаний стержней

Решение для форм колебаний можно записать

где амплитудные значения прогиба, угла поворота, момента и поперечной силы в начальном сечении стержня.

Частное решение неоднородного уравнения

Метод начальных параметров удобен для определения част и форм многопролетных балок с кусочно-постоянной жесткостью.

Пример.

Учитывая выражения для функций Крылова, частотное уравнение получим в виде . Обозначим. Из первого уравнения получим. Для форм колебаний имеем

Матричная форма метода начальных параметров

Введем вектор .

При

Аналогично . Для

Уравнение частот получим из граничных условий на правом конце.

27Методы расчленения в теории собственных колебаний стержней (метод динамических податливостей, метод динамических жесткостей).

При исследовании колебаний сложных систем их удобно расчленить на отдельные более простые подсистемы. Расчленение можно осуществить либо устранением связей между ними (метод динамических податливостей), либо наоборот введением дополнительных связей (метод динамических жесткостей). Это динамические аналоги метода сил и метода перемещений в статике стержневых систем.

а) метод динамических податливостей

Решение ищется для одночастотного режима. Вспомогательная задача – основную систему загружают вибрационными силами с единичной амплитудой и решается задача о вынужденных колебаниях.

─ матрица динамических податливостей. трансцендентные функции

Условие существования ненулевого решения

─ уравнение частот. В строительной механике рассматриваются статические, а здесь гармонические воздействия на систему. Поэтому этот метод иногда называют методом гармонических коэффициентов влияния.

Пример.

Условие совместности деформаций

динамические податливости балки и массы с пружинами, т.е. амплитудные значения перемещений точек приложения силы под действием единичной гармонической силы.

Частотное уравнение

При

Динамическая податливость второй подсистемы

Частотное уравнение

б) метод динамических жесткостей

перемещения (угловые).

Решается задача о вынужденных колебаниях при кинематическом возбуждении.

амплитудные реакции по направлениюго обобщенного перемещения отго единичного гармонического воздействия,число стержней – число условий сопряжения

Матрица динамических жесткостей

Условия сопряжения обобщенных динамических сил – условия равновесия в узлах

Частотное уравнение

Реакции простых систем на единичные гармонические перемещения затабулированы.

Пример

Определить

Граничные условия

С учетом граничных условий

Изложенные методы являются точными.