19 Методы физической дискретизации(Дискретизация масс)

Методы архаичны, но до сих пор используются в инженерной практике.

Дискретизация масс

Распределенная масса системы заменяется дискретной. Система остается распределенной по упругости.

Используем принцип Даламбера, принцип суперпозиции

элементы матрицы податливостей (матрицы единичных перемещений)

Для собственных колебаний решение ищем в виде

После подстановки имеем систему линейных уравнений

Или в матричной форме

Это стандартная алгебраическая проблема на собственные значения. Ее решение

собственные формы

Этот метод можно интерпретировать как метод численного решения интегрального уравнения собственных колебаний

Дискретный аналог

Основная трудность в реализации метода построение матрицы.

20Вариационные методы определения собственных частот и форм колебаний. Вариационная формулировка задачи

Рассмотрим квадратичный функционал

,

Т.е. собственные формы и частоты являются стационарными точками функционала .

Для примера изгибных колебаний стержня

Покажем, что

Итак, задача сводится к отысканию стационарных точек функционала

Возникает вопрос, на каком классе функций искать стационарные точки? Известно, что решения дифференциального уравнения собственных колебаний должны удовлетворять условию , должны быть четыре раза дифференцируемы и, кроме того, удовлетворять всем граничным условиям. Точкаявляется стационарной для. Однако видно, чтоне содержит четвертых производных. Они исчезли при интегрировании по частям. Это означает, чтоможно определить на функциях, у которых вторая производная интегрируема с квадратом

Эти функции принадлежат энергетическому пространству, т.е. эти функции имеют конечную энергетическую норму и удовлетворяют по крайней мерекинематическимграничным условиям.

1)Метод Релея

2)Метод Ритца

3)Метод Бубнова-Галеркина

21Метод Релея и некоторые оценки, вытекающие из него: формулы Данкерли и Саутвелла Формула Релея

Для изгибных колебаний стержней

Если есть, например, дополнительные сосредоточенные массы, то

Минимум реализуется на первая собственная форма. При любой другойформула Релея дает оценку сверху для основной частоты.

Некоторые оценки, вытекающие из формулы Релея. Формулы Данкерли и Саутвелла

Предположим, что упругая система распадается по кинетической энергии на парциальных систем

Пример

Тогда уравнение для определения собственных частот и форм можно записать в виде

градиент составляющей кинетической энергии. Для выше приведенного примера

Пусть первая собственная форма колебаний. Тогда

или

Обозначим квадрат парциальной частоты. Тогдаи окончательно получим формулу Данкерли

Аналогично, если упругая система распадается на парциальных систем по потенциальной энергии, т.е.

В этом случае справедлива формула Саутвелла

22Вариационный метод Ритца

В соответствии с вариационным принципом отыскание собственных частот и форм эквивалентно отысканию стационарных точек функционала

в пространстве, т.е.

Классический метод Ритца состоит в замене в вариационной задаче пространства конечномерным подпространством или, точнее, последовательностью конечномерных подпространств. Пустьпространство, натянутое на координатные или базисные функции. Решение, сообщающее стационарное значение функционалу, ищем в виде

Система координатных (базисных) функций должна удовлетворять следующим условиям:

1. Каждая из них должна принадлежать энергетическому пространству , в частности иметь конечную энергетическую норму (), удовлетворять, по крайней мере, кинематическим граничным условиям, иметь обобщенные производные до порядка оператора С включительно.

2. Взятые в любом числе они должны быть линейно независимыми.

3. Система координатных функций должна быть полной в.

Тогда

где

Например, изгибные колебания стержней

Вместо функционала получим

Относительно коэффициентов получим систему уравнений

В матричной форме

 обобщенная алгебраическая проблема собственных значений

илигде

Если , тоформула РелеяРитца. Если подставить вместоиих выражения, то получим просто формулу Релея.

Если членов разложения достаточно много, то для основной частоты получим хорошее приближение; для высших частот грубая оценка, но более точная, чем по формуле Релея.