7Уравнения колебаний и естественные граничные условия колебаний пластин. Уравнение изгибных колебаний пластин

Выполняются классические гипотезы Кирхгофа – Лява теории пластин:

• Усилия в срединной плоскости отсутствуют;

• Существенные компоненты тензора деформаций

Закон Гука

цилиндрическая жесткость

Граничные условия на краю

радиус кривизны в некоторой точке контура

а) защемленный край

б) шарнирно опертый край

а) свободный край

8Применение принципа Даламбера для вывода уравнений динамики упругих систем

Обычный способ получения уравнений движения механических систем основан на применении принципа Даламбера. Если уравнения равновесия системы известны, то вводя в рассмотрение силы инерции и используя квазистатические соображения, легко получаются соответствующие уравнения движения.

Пример.

Если инерциальная система, то

массовые активные силы,даламберовы силы инерции

Продольные колебания стержней

Считаем, что , гдевнешняя

распределенная нагрузка, инерционная

нагрузка.

Изгибные колебания

Пластина

Принцип Даламбера прост, но преимущество принципа Гамильтона – Остроградского в том, что он дает возможность сведения трехмерной динамической задачи к двумерным и одномерным общим и единообразным методом; позволяет получить также динамические (естественные) граничные условия.

10Операторное уравнение для определения спектров

собственных колебаний (собственных частот и форм.)

Иллюстрацию свойств спектров собственных колебаний будем проводить на примере изгибных колебаний стержней, дифференциальное уравнение колебаний которых имеет вид

Граничные условия примем, например, следующими

Уравнению можно удовлетворить, если положить

где собственная частота (круговая) подлежит определению,начальная фаза,форма колебаний.

После подстановки получим

Это есть однородная краевая задача на собственные значения. Значения , при которых существует нетривиальное решение этой задачи, называются собственными частотами

а соответствующие им нетривиальные решения



собственные формы колебаний.

Дифференциальное выражение совместно с граничными условиями задает дифференциальный оператор, который переводит некоторое множество из одного пространства в другое.

Уравнение малых колебаний распределенных упругих систем можно записать в виде

где илинейные дифференциальные операторы по пространственным переменным,элемент некоторого функционального пространства при любом фиксированном. Как следует из принципа Гамильтона - Остроградского,градиент потенциальной энергии упругой деформации, инерционный оператор,градиент кинетической энергии, упругий оператор.

Полагая , получим задачу отыскания спектра колебаний в операторной форме

где скалярная, векторная или тензорная функция.

11Свойства дифференциальных операторов и (упругого и инерционного операторов)

Будем рассматривать эти операторы в гильбертовом пространстве функций , гденекоторая область из евклидова пространства. Например,при. Скалярное произведение и норма

Пусть область определения оператора,область определения оператора. Операторвсегда имеет более высокие производные по координатам, чем оператор. Поэтому

,

т.е. область определения оператора составляет подмножество.

1. Оператор , как всякий дифференциальный оператор, являетсянеограниченным.

Иллюстративный пример.

При оператор. Область определения этого оператора, имеющие непрерывные производные до 4-го порядка включительно и удовлетворяют граничным условиям

Для ограниченных операторов выполняется условие

Вычислим норму оператора ,

на множестве функций

Так как

,

то

при

2. Оператор являетсясимметричным, т.е.

Для примера ,.

Здесь внеинтегральные члены в силу граничных условий равны нулю.

3. Оператор являетсясамосопряженным, т.е. он симметричен и, кроме того, из тождества

где ификсированы, аследует, что, а

По другому: если сопряженный оператор имеет ту же область определенияина

4. Операторы иположительно определенные.

Симметричный оператор называется положительным, если дляимеет место неравенствопричемтогда и только тогда, когда.

Симметричный оператор называется положительно определенным, если длясправедливо неравенствогде, или по-другому

Если оператор положительный, но не положительно определенный, то это означает, что системе можно сообщить сколь угодно большое смещение по норме, затратив на это сколь угодно малую энергию.

Положительная определенность операторов иесть следствие положительной определенности потенциальной энергии упругой деформациии кинетической энергии.

12Действительность частот собственных колебаний.Ортогональность собственных форм по потенциальной и кинетической энергии.

Пусть квадрат собственной частоты, асоответствующая ей собственная форма колебаний

Умножим скалярно на

Так как и, то.