41Дисперсионное уравнение. Фазовая и групповая скорости.Типы дисперсий

Рассмотрим уравнение распространение колебаний

линейный дифференциальный оператор, некоторый полином от

Пусть это уравнение допускает решение в виде монохроматической бегущей волны

амплитуда. Понимается

волновое число.частота,фазовая скорость (скорость распространения точки с постоянной фазой,)

После подстановки в уравнение получим

Которое связывает волновое число с частотой. Это уравнение называется дисперсионным.

Например, в случае волнового уравнения дисперсионное уравнение

В общем случае из дисперсионного уравнения находим частоту как функцию волнового числа. Фазовая скорость волны при этом определяется как

Таким образом, волны с разными длинами могут распространятся с разными скоростями

Вследствие этого произвольное возмущение будет искажаться.

Явление расползания возмущений называется дисперсией. Поэтому кроме фазовой скорости вводят понятие групповой скорости. Для выяснения этого понятия рассмотрим волну, представляющую собой сумму двух гармонических волн с равными амплитудами, но разными частотами и

─ огибающая

Пакет из двух волн

Скорость распространения огибающей и есть групповая скорость

В случае произвольных волновых пакетов (группы волн) следует провести Фурье-анализ и получим тот же результат

С групповой скоростью переносится энергия волнового движения. Получим связь между фазовой и групповой скоростями.

Если , то- нормальная дисперсия

Если , то- аномальная дисперсия

Если , то- дисперсии нет

В неограниченной изотропной упругой среде все волны распространяются без дисперсии, т.к. и. Заметим, чтоине связаны со скоростью частиц среды. Волны переносят данное состояние от частицы к частице.

42Поверхностные волны Релея

(─ волны в изотропном упругом полупространстве)

Поверхность свободна от напряжений

Естественно искать решение динамических уравнений Ламе в виде решений, затухающих при , то есть

Опуская выкладки, сформулируем основные результаты.

Скорость распространения волн Релея

, гдекорень уравнения

Здесь

При

Вообще, для

Волны Релея распространяются без дисперсии

43Приложение к сейсмологии

Землетрясение – колебания земной поверхности вследствие высвобождения упругой энергии в какой-либо точке Земли.

В первую очередь доходят волны расширения с скоростью (P– волны), затем волны сдвига со скоростью(S– волны). После отражения от поверхности образуются релеевские волны; длины их больше, частоты выше, поэтому они более слабо демпфируются и очаг их распространения значительно больше, чем волн расширения (пример Румынское землетрясение, толчки которого ощущались в Москве).

44 Продольные волны и волны кручения в призматических стержнях.Элементарная и уточненная теории изгибных волн в стержнях.

Продольные волны в призматических стержнях

Элементарная теория стержней в рамках гипотез сопротивления материалов.

При

Дисперсии нет

Волны кручения в призматическом стержне

Если сечение круговое или кольцевое, то и- точная формула, так как в этом случае уравнение крутильных волн есть следствие уравнений теории упругости. Вообще всегдаи поэтому.

Дисперсии нет.