16Вариационные принципы теории собственных колебаний. Основной вариационный принцип теории собственных колебаний

Будем исходить из интеграла действия при отсутствии внешних сил

(*)

Здесь произвольные фиксированные моменты времени, т.е.не варьируются.

Рассмотрим интеграл действия на множестве гармонических по времени движений

Получим выражения для и

Где имаксимальные по времени значения кинетической и потенциальной энергий

Подставляя выражения для ив (*), получим основной вариационный принцип теории собственных колебаний в виде

Из этого принципа вытекают еще три:

1. при условии

2. при условии

Эквивалентность этих принципов основному вариационному принципа вытекает из правила множителей Лагранжа в задачах на условный экстремум. Согласно этому методу достаточно рассмотреть вариацию функционалов

и

3. , гдедробь Релея,

Отсюда следует

вариационный принцип РелеяСреди форм движений истинными будут те, которые сообщают дроби Релея стационарное значение.

17Минимальное свойство низшей собственной частоты Теоремы сравнения

Задача на собственные значения

Рассмотрим дробь Релея

Этот функционал будем рассматривать на элементах , тогда и подавно. Так какположительно определенные операторы, то числитель и знаменатель в дроби Релея положительны и, следовательно, дробь Релея ограничена снизу. Это означает, что она (дробь Релея) имеет точную нижнюю грань.

Пусть точная нижняя грань функционала, т.е.

и пусть элемент, на котором достигается эта точная нижняя грань. Тогда, т.е. квадрат низшей собственной частоты, асоответствующая ей первая форма собственных колебаний.

Итак:

формула Релея.

Для формула Релея дает оценку сверху.

Пример: изгибные колебания стержня

+ граничные условия при

.

Теоремы сравнения

а) Пусть имеем две упругие системы и задачи на отыскание собственных частот

где симметричные, положительно определенные операторы и пусть

В этом случае говорят, что первая система более жесткая.

Тогда для всех собственных частот обеих систем справедливо неравенство

б) Аналогичная теорема справедлива и для систем с различной «инерционностью».

Пусть

В этом случае говорят, что первая система более инерционная.

Тогда

Докажем, например, теорему б)

Т.к. то. Это неравенство имеет место для всехи поэтому. Аналогично доказывается и теоремаа).

18Методы определения собственных частот и форм собственных колебаний. Классификация методов.

вполне непрерывный

Классификация методов

1. Точные и приближенные

Точные:метод разделения переменных, метод интегральных преобразований, метод ТФКП, методы теории потенциалов и т.д. Это методы математической физики.

Приближенные: метод последовательных приближений, метод малого параметра, вариационные методы, смешанные методы и т.д.

2. Аналитические и численные (деление условное)

Аналитические: метод малого параметра, метод последовательных приближений

Численные: методы дискретизации, метод сеток, МКЭ

3. Непрерывные и дискретные

Дискретные основаны на сведении распределенной системы к системе с конечным числом степеней свободы

Существуют комбинированные методы