Изгибные волны в призматических стержнях

(элементарная теория)

В рамках гипотез Бернулли – Эйлера.

Дисперсионное уравнение

Фазовая скорость

Групповая скорость

─ аномальная дисперсия

Огибающая обгоняет отдельные волны. радиус инерции сечения

При , т.е.и, но скорость распространения возмущений в неограниченных средах не может быть больше, чем. Получили бессмысленный вывод. Это объясняется тем, что элементарная теория справедлива при.

Изгибные волны в стержнях

(уточненная теория)

Уравнение Тимошенко

для прямоугольника

Получим дисперсионное уравнение

Обозначим

Получили два значения фазовой скорости и()

Исследуем эту формулу

Пусть - область применимости элементарной теории

соответствует элементарной теории

(при) ()

Имеет место дисперсия

Если Строго говоря, теория Тимошенко здесь не работает, т.к. задумана лишь как уточнение элементарной теории)

Теория Тимошенко дает хорошее приближение для первой серии волн.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

1Принцип Гамильтона-Остроградского для упругого тела. Вариационный вывод уравнений колебаний и естественных граничных условий для упругого тела.

2Динамические уравнения теории упругости.

3Вариационный вывод уравнений колебаний и естественных граничных условий для одномерных и двумерных систем.

4 Уравнение продольных, крутильных и изгибных колебаний стержней. 5Поправка Релея для случая продольных колебаний стержней. 6Уточненная теория изгибных колебаний стержней. Уравнения колебаний балки Тимошенко.

7Уравнения колебаний и естественные граничные условия колебаний пластин.

8Применение принципа Даламбера для вывода уравнений динамики упругих систем. Примеры: продольные и крутильные колебания стержней, изгибные колебания стержней и пластин.

9Общие свойства спектров собственных колебаний.

10Операторное уравнение для определения собственных частот и форм. 11Свойства упругого и инерционного операторов, иллюстрация этих свойств на примере изгибных колебаний стержней.

12Действительность частот собственных колебаний. Ортогональность собственных форм по потенциальной и кинетической энергии.

13Структура спектра частот собственных колебаний. Полнота системы форм собственных колебаний.

14Примеры дискретного, сплошного, полосового и комбинированного спектров.

15Энергетическое пространство упругого оператора. Энергетическая норма.

16Вариационные принципы теории собственных колебаний. 17Минимальное свойство низшей собственной частоты. Теоремы сравнения.

18Методы определения собственных частот и форм собственных колебаний. Классификация методов.

19Методы физической дискретизации (дискретизация масс). 20Вариационные методы определения собственных частот и форм колебаний.

21Метод Релея и некоторые оценки, вытекающие из него: формулы Данкерли и Саутвелла.

22 Вариационный метод Ритца.

23Методы Бубнова-Галеркина и коллокаций.

24Продольные, крутильные и изгибные колебания стержней постоянного поперечного сечения. Различные случаи опорного закрепления.

25 Балочные функции и их свойства.

26Метод начальных параметров в задаче об изгибных колебаниях стержней.

27Методы расчленения в теории собственных колебаний стержней (метод динамических податливостей, метод динамических жесткостей). 28Влияние осевых усилий на собственные изгибные колебания стержней. 29Влияние инерции вращения и деформаций поперечного сдвига на изгибные колебания стержней.

30Собственные колебания прямоугольных пластин. Граничные условия Навье.

31Плотность собственных частот пластин.

32Прямоугольная пластина с краевыми условиями Леви.

33Колебания круговых и кольцевых пластин.

34 Применение вариационных методов в задачах о собственных колебаниях пластин.

35Асимптотический метод Болотина для определения спектров собственных колебаний.

36Применение асимптотического метода к расчету прямоугольных пластин.

37Собственные колебания круговых цилиндрических оболочек. Граничные условия Навье.

38Осесимметричные и преимущественно изгибные колебания. 39Собственные колебания пологих оболочек.

40Волны в неограниченной упругой изотропной среде. Волны расширения и волны сдвига.

41Дисперсионное уравнение.Фазовая и групповая скорости.Типы дисперсий.

42Поверхностные волны Релея.

43Приложения к сейсмологии.

44 Продольные волны и волны кручения в призматических стержнях. Элементарная и уточненная теории изгибных волн в стержнях.