38Осесимметричные и преимущественно изгибные колебания. Осесимметричные колебания цилиндрических оболочек

Если , то, казалось бы,. Но на самом деле это не так, потому чтодля осесимметричной деформации просто не зависят от. Если, то второе уравнение перепишется как

Учитывая, что , получим

Волновое уравнение крутильных колебаний. Представим . После подстановки в уравнение получим

Обозначим . Первое и третье уравнение перепишутся для осесимметричной деформации так

Эта система описывает продольно-поперечные колебания. Система разделяется, если .

частота продольных колебаний

частота поперечных колебаний

Если оболочка достаточно длинная и тонкая, то . Поэтому приближенно можно записать

Преимущественно поперечные колебания происходят, когда тангенциальными силами можно пренебречь. Проинтегрируем в этом случае 1-е уравнение и подставим 1-ую производную во второе уравнение. В результате получим

39Собственные колебания пологих оболочек. Уравнения и граничные условия

Рассмотрим тонкую упругую оболочку постоянной толщины, отнесенную к ортогональной криволинейной системе координат

Гипотезы классической теории оболочек

1. Гипотезы Кирхгофа – Лява;

2. Перемещения и деформации малы;

3. Материал линейно упругий

Уравнения колебаний могут быть получены из вариационного принципа Гамильтона – Остроградского. Можно использовать принцип Даламбера, только необходимо поставить в соответствие гипотезы, относящиеся к деформированию оболочки, и гипотезы об учете инерционных членов.

Перемещения

Инерционные члены: нормальные и тангенциальные

Если рассматривают преимущественно изгибные колебания, то членами пренебрегают.

Запишем уравнения из принципа Даламбера

, где для собственных колебаний,

Если , то знаки уиразличны.

Граничные условия на :

На каждом краю по 4 условия в общем случае. Количество граничных условий зависит от вида оператора. Для преимущественно изгибных колебаний по 2 условия.

Выпишем эти условия для альтернативного случая. Край

Заделка	Свободный край
	из соотношений Балабуха - Новожилова

Уравнения колебаний пологих оболочек

(1)

(2)

В уравнении (1) нет членов типа . Получены они из общих уравнений равновесия и принципа Даламбера. Затем отброшены лишние инерционные члены, введена функция усилий.

40Волны в неограниченной упругой изотропной среде. Волны расширения и волны сдвига.

Под волной будем понимать процесс распространения колебаний. Волновые решения необходимы для понимания картины динамического поведения упругого тела.

Волны расширения и волны сдвига

Рассматривается неограниченная однородная изотропная упругая среда.

Уравнение колебаний упругой среды (уравнения Ламе)

или в векторной форме

компоненты вектора перемещений

Рассмотрим частный случай: так называемую плоскую волну ,. Тогда уравнения разделяются

Имеем три волновых уравнения типа

Решение этого уравнения имеет вид

где илюбые гладкие функции,скорость распространения волны.

Итак

Плоская упругая волна представляет собой две независимо распространяющиеся волны. В первой из них перемещение совпадает с направлением распространения самой волны. Эта волна называется продольной и скорость ее распространения равна. В другой волне смещения точек лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Такая волна называется поперечной, скорость ее распространения равна. Выразим скорости распространения волн через технические упругие постоянные

Отношение скоростейне зависит оти.

При

Свойства поперечной и продольной волн

Для поперечной волны имели

, т.е. объемная деформация равна нулю. Однако

т.е. поперечная волна сопровождается «вращением» элемента. По этой причине эти волны еще называют так: поперечные – волны сдвига – вихревые – эквиволюминальные (равнообъемные).

Для продольной волны

, т.е. распространение такой волны сопровождается объемной деформацией. Однако

Эти волны называют дилатационные продольные – волны расширения – безвихревые (не совсем точное название, поскольку безвихревые движения, вообще говоря, сопровождаются и деформациями сдвига)

Разделение упругой волны на две независимо распространяющиеся части можно провести и в общем случае произвольной (неплоской) волны.

Теорема Гельмгольца: Произвольное векторное поле может быть представлено в виде суммы безвихревого и вихревого полей.

То есть, скалярный потенциал

векторный потенциал

Подставляя это разложение в уравнения Ламе, получим

в сейсмикеP─волны (первичные)

в сейсмикеS─волны (вторичные)