1Принцип Гамильтона-Остроградского для упругого тела.Вариационный вывод уравнений колебаний и естественных граничных условий для упругого тела Принцип Гамильтона – Остроградского для упругого тела

Сначала сформулируем этот принцип для систем с конечным числом степеней свободы, подчиненных голономным идеальным связям и загруженных консервативными силами:

Среди всех движений, совместимых со связями, достаточно близких к истинному и совпадающих с истинным в начальный и конечныймоменты времени, истинное движение сообщает интегралу действия

стационарное значение, т.е.

Этот принцип переносится и на распределенные системы, когда внешние силы обладают потенциалом.

кинетическая энергия системы;

потенциальная энергия упругой деформации;

потенциальная энергия внешних сил, равная работе внешних сил с обратным знаком.

Рассмотрим упругое тело, занимающее объем , загруженное по части поверхности, а на части поверхностизаданы перемещения точек поверхности.

объемная плотность упругого тела

─ нагрузка

компоненты вектора перемещений точек упругого тела

компоненты тензорного поля деформаций упругого тела

Будем считать, что перемещения и градиенты перемещений малы. Тогда компоненты тензора малых деформаций определятся формулами Коши

Материал – линейно-упругий, справедлив закон Гука

Кинетическая энергия

Потенциальная энергия упругой деформации

Здесь учтено, что.

Потенциальная энергия внешних сил

где объемные силы. Без ограничения общности

Запишем интеграл действия в виде

,

где

объемная плотностьлагранжиана

поверхностная плотностьлагранжиана

Функционал определен на функциях, имеющих необходимые производные и удовлетворяющие заданным условиям на поверхности, т.е. кинематическим граничным условиям.Вычислим вариацию квадратичного функционала

Здесь вариации по Гамильтону: малые; совместимые со связями, изохронные (переставимость операций дифференцирования и варьирования); в начале и в конце движенияравны нулю

,.,

Преобразуем интегралы с использованием формулы Гаусса – Остроградского

; в компонентах

Здесь учтено, что на .Выражение для вариации функционалапримет вид

Необходимое условие стационарности функционала . Тогда на основании основной леммы вариационного исчисления имеем уравнение Эйлера – Остроградского.

в объеме

Естественные граничные условия

на поверхности

2Динамические уравнения теории упругости.

Уравнение колебаний

в объеме

Естественные граничные условия

на поверхности

объемная плотностьлагранжиана

поверхностная плотностьлагранжиана

Учитывая выражения для объемной и поверхностной плотности лагранжиана и, получим динамические уравнения теории упругости

в объеме

на поверхности

на поверхности

+ начальные условия

объемные силы

В уравнении движения под знаком дифференцирования

В случае изотропного материала

где постоянные Ламе. Тогда для изотропного материала имеем

или

- уравнения Ламе для динамического случая. Естественные граничные условия

на

Векторная форма записи при и при

+ граничные и начальные условия.