23Метод БубноваГалеркина

Исходим из уравнения собственных колебаний упругой системы

(*)

уравнение с дифференциальными операторами. Умножим уравнение на тестовую функцию и интегрируем по области. В результате получим

Для ,некоторое тестовое пространство. Если, например,содержит всефункции, то уравнение (*) удовлетворяется в классическом смысле, т.е. в каждой точке. Дискретная форма тестового пространстваприводит к методу каллокаций.

Решение уравнения (*) ищем в виде

, (**)

где должны удовлетворять всем граничным условиям. Согласно методу БубноваГалеркина результат подстановки (**) в левую часть (*)

должен быть ортогонален ко всем координатным функциям, т.е.

или

где

Если в методе Ритца координатные (базисные функции) удовлетворяют всем граничным условиям, то , т.е. равно энергетическому произведению, например для стержня

То разрешающая система метода БубноваГалеркина совпадает с разрешающей системой метода Ритца.

24Продольные, крутильные и изгибные колебания стержней постоянного поперечного сечения. Продольные колебания стержней постоянного поперечного сечения

, (для крутильных колебаний)

а)

Граничные условия: . Изчастотное уравнение

б)

Граничные условия: .

Из частотное уравнение

в)

Граничные условия: .

Из частотное уравнение

При собственная частота равна

Другие граничные условия

б)

Граничные условия: .

, гр. условия для:

0
1/2	1.0769	3.6435	6.5789	9.6295
1	0.9604	3.4348	6.4373	9.4258
	0

Случай

Первая частота мала, мало

Изгибные колебания стержней постоянного поперечного сечения

В рамках гипотез Бернулли – Эйлера и без учета инерции вращения и энергии поперечных сдвигов уравнение для форм собственных колебаний имеет вид

Если

Стержень, опертый по концам

Граничные условия

Уравнению и граничным условиям удовлетворяют функции

Стержень, защемленный по концам

Граничные условия:

Удовлетворяя граничным условиям, получим систему однородных уравнений

Частотное уравнение

Обозначим и перепишем частотное уравнение

Трансцендентное уравнение имеет бесконечное счетное множество корней

Частоты выше, чем у шарнирно опертой балки

Определим формы колебаний

Из первого уравнения имеем

Пусть . тогда

или

25Балочные (фундаментальные) функции

Подобным образом можно найти собственные частоты и формы изгибных колебаний стержней при других опорных закреплениях. Формы собственных колебаний стержней постоянного поперечного сечения называются балочными функциями.

Основные свойства балочных функций

а) Ортогональность

Это свойство вытекает из ранее доказанных общих свойств форм собственных колебаний. Однако проверим

Умножаем скалярно и вычтем одно из другого, интегрируем по частям

равно нулю при любых сочетаниях краевых условий.

б) Квадрат нормы балочной функции выражается через значения функции и ее производных в концевых точках

в) Системы балочных функцийполны в соответствующих пространствах. Любая функцияможет быть разложена в равномерно сходящийся ряд

Балочные функции широко используются в задачах динамики и устойчивости стержней, пластин и оболочек.