35Асимптотический метод в.В.Болотина для определения спектров собственных колебаний

Под асимптотическими методами обычно понимается большая группа приближенных методов, основанных на свойствах решений обыкновенных дифференциальных уравнений, проявляющихся либо при очень больших значениях некоторых параметров, либо очень малых значениях. Несмотря на указанные выше замечания, область применения асимптотических методов оказывается довольно широкой. Шире, чем это дается их математическим обоснованием. Асимптотические методы применяются обычно в области, где обычные методы дают неудовлетворительные результаты. Например, все вариационные методы, методы малого параметра и др. хорошо работают при определении низших частот. При определении высших частот объем вычислений значительно возрастает.

Основы асимптотических методов заложены Курантом, Вейлем и др. Один из асимптотических методов применительно к теории колебаний механических систем разработан академиком В.В.Болотиным – асимптотический метод Болотина.

Идея асимптотического метода

В некоторых случаях напряженно-деформированное состояние может быть разбито на два состояния: безмоментное и преимущественно изгибное состояние (типа краевого эффекта).

Например, цилиндрическая оболочка при действии внутреннего давления

приближенное решение

Слева , справа

Решения типа простой краевой эффект (Гольденвейзер, Новожилов – теория простого краевого эффекта)

Основная идея асимптотического метода Болотина – идея простого краевого эффекта. Рассмотрим стержень. Пусть характер изменяемости достаточно большой. Тогда во внутренней области решение будет , в

качестве которого можно использовать решение для для краевых условий Навье. При произвольных краевых условиях это решение не будет справедливо вблизи краев. Чтобы удовлетворить заданным граничным условиям, добавляется решение типа краевого эффекта у каждого края, так что у левого края условия будут удовлетворены, если , у правого ─. Причем решенияидолжны быть затухающими по мере удаления от краев во внутреннюю область.

Этот метод работает не всегда. В некоторых случаях краевой эффект вырождается. (Для стержней работает, для прямоугольных пластин работает)

порождающее решение

динамические краевые эффекты

Если краевые условия – условия Навье, то ,

И тогда

Если краевые условия произвольные, то . Подставим в уравнение выражение для

имеет корни,

соответствуют порождающему решению при

Вблизи левого конца

─ чтобы решение затухало при возрастании

Итак

Для правого конца

Удовлетворим граничным условиям

Левый конец

Уравнения для определения постоянных

Правый конец

Исключим

Это уравнение частот, полученное из условия склеивания (стыковки) решений слева и справа

─ асимптотическое значение частоты для высших форм колебаний.

Условие склеивания состоит в том, что фазовые постоянные решений, построенных справа и слева, должны отличатся на целое число , т.е. чтобы решения стыковались в фазе

невязка решений

Даже для первых форм асимптотическое выражение для частоты дает довольно точное значение.

Возникает вопрос, как оценить погрешность?

Погрешность определяется тем, насколько быстро затухают корректирующие решения, т.е. выражения ;. Зона протяженности краевого эффекта. Таким образом, зона краевого эффекта не превышает длины полуволны в форме колебаний.