- •Федеральное агентство по образованию
- •1. Двойные интегралы
- •1.1. Задача об объеме цилиндрического бруса
- •1.2.Определение двойного интеграла
- •1.3. Свойства двойного интеграла
- •1.4. Сведение двойного интеграла к повторному интегралу
- •1.5. Вычисление двойных интегралов
- •1.5.1. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.5.2. Замена переменных в двойных интегралах
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.6. Приложения двойных интегралов к геометрии и механике
- •1.6.1.Вычисление площадей плоских фигур
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.6.2. Вычисление объемов тел
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.6.3. Вычисление площадей поверхностей
- •Решение
- •Решение
- •1.6.4. Некоторые приложения двойных интегралов к механике
- •Решение
- •Решение
- •2.2. Определение тройного интеграла
- •2.3. Свойства тройного интеграла
- •2.4. Вычисление тройных интегралов
- •2.4.1. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •2.4.2. Замена переменных в тройных интегралах
- •2.5. Приложения тройных интегралов
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Литература
- •Содержание
- •214013 Г. Смоленск, Энергетический проезд, 1
1.6.2. Вычисление объемов тел
ПРИМЕР 1. Вычислить объем прямого бруса, ограниченного сверху параболоидоми имеющего основанием квадрат, ограниченный в плоскостипрямымиx= ±1,y= ±1.
Решение
Прежде всего, делаем чертеж (рис.1.24). В данном случае подынтегральной функцией будет . Она всюду положительна на указанном квадрате.
Рисунок. 1.24
Так как основанием бруса служит прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям OxиOy, то пределы интегрирования по обеим переменным постоянны. По формуле (1.2*)
получим:
V====
= =–= 13.
Замечание. Задачу вычисления интеграла можно упростить, используя симметричность бруса относительно координатных плоскостейи, т.е. записав
.
ПРИМЕР 2.Вычислить объем шара, ограниченного сферой
.
Решение
В силу симметричности данного шара относительно координатных плоскостей, очевидно, достаточно ограничиться вычислением объема его восьмой части, расположенной в первой октанте (рис. 1.25).
Рисунок. 1.25
Подынтегральной функцией будет (корень берем с положительным знаком потому, что рассматриваемая часть шара расположена над плоскостьюxOy).
Чтобы установить пределы интегрирования в формуле (1.2*), необходимо сначала установить область интегрирования. Она ограничена пересечением плоскостиxOyс поверхностью шара. Чтобы получить это пересечение, положим в уравнении поверхности шараz= 0.
Полученная окружность и будет контуром области задания функции.
При нашем упрощении задачи областью интегрирования будет часть круга, расположенная в первой четверти плоскости xOy. Взяв постоянные пределы интегрирования поx (0 ≤x≤R), получим пределы поy: 0 – нижний,- верхний. По формуле (6) будем иметь:
.
Для вычисления внутреннего интеграла сделаем подстановку. Тогда и
(пока xпостоянная!). Следовательно,, откуда
ЗАМЕЧАНИЕ. Можно было воспользоваться и переходом к полярной системе координат.
ПРИМЕР 3.Вычислить объем тела, ограниченного снизу плоскостью xOy, сверху плоскостью, с боков цилиндрической поверхностьюи плоскостью.
Рисунок. 1.26
Решение
Данное тело изображено на рисунке 1.26. Подынтегральная функция . Область интегрирования (D) ограничена прямойи параболой. При определении пределов интегрирования пользуемся уже известным приемом. Получими по формуле (1.2*)
V===
= ==
= =.
ПРИМЕР 4.Оси двух круговых цилиндров с одинаковыми поперечными сечениями пересекаются под прямым углом. Вычислить объем общей части этих цилиндров.
Решение
Обозначим радиус поперечного сечения каждого из цилиндров через r. Выберем прямоугольную систему координат в пространстве таким образом, чтобы оси цилиндров совпадали с осямиOyиOz. Тогда уравнения цилиндрических поверхностей будут иметь вид:- цилиндрическая поверхность с осью симметрииOy,- цилиндрическая поверхность с осью симметрииOz. На рисунке (1.27) отмечена одна восьмая часть тела, получаемого указанным сечением двух цилиндрических тел.
Рисунок. 1.27
Подынтегральной функцией будет, очевидно, разрешенное относительно yуравнение поверхности цилиндра с осью симметрииOy, т.е.. Проектируя ее часть, отрезанную второй поверхностью и содержащуюся в первом октанте, получим область интегрирования при вычислении объема выделенной на рисунке части тела. Ею будет часть круга, расположенная в первой четверти плоскостиxOy. Если поxвзять постоянные пределы (), то поy будут пределами: 0 - нижний предел, а- верхний. Тогда
= ==r3–=.
Следовательно,
ПРИМЕР 5.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями