- •Федеральное агентство по образованию
- •1. Двойные интегралы
- •1.1. Задача об объеме цилиндрического бруса
- •1.2.Определение двойного интеграла
- •1.3. Свойства двойного интеграла
- •1.4. Сведение двойного интеграла к повторному интегралу
- •1.5. Вычисление двойных интегралов
- •1.5.1. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.5.2. Замена переменных в двойных интегралах
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.6. Приложения двойных интегралов к геометрии и механике
- •1.6.1.Вычисление площадей плоских фигур
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.6.2. Вычисление объемов тел
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.6.3. Вычисление площадей поверхностей
- •Решение
- •Решение
- •1.6.4. Некоторые приложения двойных интегралов к механике
- •Решение
- •Решение
- •2.2. Определение тройного интеграла
- •2.3. Свойства тройного интеграла
- •2.4. Вычисление тройных интегралов
- •2.4.1. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •2.4.2. Замена переменных в тройных интегралах
- •2.5. Приложения тройных интегралов
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Литература
- •Содержание
- •214013 Г. Смоленск, Энергетический проезд, 1
Решение
Криволинейный четырехугольник (D) изображен на рисунке 1.20. Обозначим новые переменные черезu иv. В системе координатuOv по условию задачи прямоугольник(Q) должен быть ограничен некоторыми прямыми, параллельными координатным осям,u = u1,u = u2,v = v1,v = v2. Из уравнений заданных линий
xy= 1,x–y= –1,
xy= 2,x–y= 1
видно, что при xy=u,x – y = v получится требуемое преобразование. Прямоугольник (Q) будет ограничен прямымиu= 1,u= 2,v= –1,v= 1 (рис. 1.21).
Рисунок. 1.20 Рисунок. 1.21
1.6. Приложения двойных интегралов к геометрии и механике
1.6.1.Вычисление площадей плоских фигур
ПРИМЕР 1.Вычислить площадь фигуры, лежащей в первом квадранте, ограниченной окружностьюx2 +y2 = 2ax, параболойy2= 2axи прямойx= 2a.
Решение
Прежде всего, необходимо данную фигуру изобразить на рисунке (рис.1.22).
Рисунок. 1.22
Для вычисления площади воспользуемся формулой: .
Из рисунка видно, что внешние пределы интегрирования удобнее выбрать по x, так как в противном случае фигуру пришлось бы разбивать на три части и соответственно вычислять три интеграла.
Постоянными пределами будут 0 и 2a. Снизу фигура ограничена верхней полуокружностью, уравнение которой. Следовательно,- нижний предел интегрирования. Сверху фигура ограничена верхней ветвью параболы, уравнение которой. Следовательно,- верхний предел интегрирования. Таким образом, получим:
ПРИМЕР 2.Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
()
Решение
В данном случае, для того, чтобы представить на рисунке (рис.1.23) данную плоскую фигуру, необходимо предварительно провести исследование ее контура по заданному уравнению. Контур задан уравнением шестой степени относительно x иy.
В первую очередь отметим, что уравнение не меняется при замене yна-y, и потому кривая симметрична относительно оси абсцисс. Кроме того, из уравнения видно, чтоx≥ 0, и потому кривая расположена справа от оси ординат.
Рисунок. 1.23
Дальнейшее исследование методами дифференциального исчисления в данном случае весьма затруднительно, поэтому перейдем к полярным координатам, положив . Подставляя в (), получим:, или.
По этому уравнению видно, что каждому значению угла φ следует одно значение радиуса ρ. Кроме того, наибольшее значение ρ = 2 достигается при φ = 0, наименьшее – ρ = 0 при , т.е. при изменении φ от 0 довеличина ρ монотонно убывает от значения 2 до 0. Это дает возможность установить форму части кривой, расположенной в первой четверти. В силу симметричности кривой выясняется тем самым форма и всей кривой () (см. рис.1.22).
После того как выяснена форма заданной плоской фигуры и сделан чертеж, можно приступить к нахождению площади фигуры. Симметричность фигуры относительно оси Ox позволяет ограничиться вычислением площади ее части, лежащей в первой четверти. Получим1:
S== 2= 2= 4=
= .
ПРИМЕР 3.Вычислить площадь параболического сегмента, ограниченного параболойи осьюOx.
Решение
Введем новые координаты, положив
, .
Тогда в системе координат uOvуравнение параболы примет обычный вид:u2=v(рис.1.24).
Рисунок. 1.24
Оси абсцисс (y= 0) в старой системе координат будет соответствовать в новой системе координат прямаяu=v.
Найдем якобиан преобразования:
.
При вычислении интеграла возьмем постоянные пределы интегрирования по u. Тогда переменными пределами поvбудут:u2– нижний,u– верхний. Таким образом, получим:
S======
= =