ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

Конспект лекций

Б. Р. АНДРИЕВСКИЙ

Балтийский государственный технический университет (БГТУ) «Военмех» Кафедра И3

Санкт-Петербург

2008

СОДЕРЖАНИЕ

2.3.2Угловое движение искусственного спутника Земли. . . . . . . . . . . 18

6.1Управляемое каноническое представление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.2Наблюдаемое каноническое представление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2

7Преобразование уравнений состояния к каноническому виду. Преобразо-

8.1О возможности преобразования матрицы к форме Фробениуса . . . . . . . . 50

8.2Управляемое каноническое представление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9.1Управляемое каноническое представление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

10.1Определения и основные свойства фазовых траекторий и фазовых портретов 64

10.2Поле фазовых скоростей. Классификация особых точек . . . . . . . . . . . . 66

10.2.1Вектор фазовой скорости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

10.2.2 Состояния равновесия системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

10.2.3 Декомпозиция пространства состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10.3Виды фазовых портретов для систем второго порядка . . . . . . . . . . . . . 71

3

11.4 Вычисление функции веса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

11.5Определение начального состояния по начальному значению выхода и его производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

12.1Постановка задачи дискретизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

12.2Формулы перехода к разностным уравнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

14.3Экспоненциальные импульсы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

14.4Треугольные импульсы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

14.5Подстановочные формулы для вычисления передаточной функции дискретной модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

16.2.1Наблюдатель полного порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

16.2.2Наблюдатели пониженного порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

16.3 Оценивание возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4

17.2Модальное управление по состоянию объекта . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

17.3Модальное управление по выходу объекта. Теорема разделения . . . . . . . . 127

17.4 Терминальное управление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

17.5Примеры систем модального и терминального управления . . . . . . 134

17.5.1Стабилизация углового движения ИСЗ с компенсацией возмущений . 134

17.5.2Возбуждение колебаний в цепочке осцилляторов . . . . . . . . . . . . 135

18.3Особенности процессов в нелинейных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

18.3.1Принцип суперпозиции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

18.3.2Сепаратрисные поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

18.3.3Предельные циклы. Автоколебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

19.2.1Метод фазовой плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

19.2.2Метод точечных отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

19.2.3Условия существования предельных циклов для систем второго порядка161

19.3Метод гармонической линеаризации (гармонического баланса) . . . . . . . . 161

19.3.1Основные положения. «Свойство фильтра» . . . . . . . . . . . . . . . 162

19.3.2Коэффициенты гармонической линеаризации . . . . . . . . . . . . . . 163

19.3.3Уравнение гармонического баланса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5

22 Исследование скользящих режимов. Метод эквивалентного управления 203

22.1Понятие о скользящих режимах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

22.2Определение движения в скользящем режиме . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

22.3Методы определения движения в скользящем режиме . . . . . . . . . . . . . 206

6

Лекция 1

1Динамические и статические системы. Понятие состояния динамических систем

Любая система, в том числе и система управления, состоит из совокупности подсистем

(звеньев). Звенья могут различаться по характеру реакций на входное воздействие. С этой

точки зрения все звенья могут быть разделены на статические (безынерционные) и дина-

мические (инерционные) . Рассмотрим отличительные особенности в поведении и математическом описании систем одного и другого типов.

Статические системы 1 обладают мгновенной реакцией на входное воздействие. Более

существенным свойством таких систем является то, что их реакция на входное воздействие не зависит от предыстории, от поведения системы в прошлом, а также от предыдущих

значений входа.

Математически это можно описать следующим образом.

Обозначим через u(t), y(t) вход и выход системы в момент t. У статической системы для

каждого t выход y(t) можно определить однозначно по значению u(t) в тот же момент вре-

мени. Для этой цели служит статическая характеристика y = f(u) или y = f(u, t) (для

нестационарных систем). В соответствии с ней получаем y(t) = f(u(t)). Никакой другой

дополнительной информации не требуется. 2

Иначе обстоит дело с динамическими системами. Их особенностью является то, что

для определения y(t) недостаточно информации об u(t) в тот же момент времени. Выход-

ной сигнал зависит также от предыстории изменения входа и, кроме того, совокупности

некоторых величин, называемых начальным состоянием системы. Рассмотрим понятие со-

стояния более подробно.

Понятие состояния системы (звена) является одним из базовых понятий теории динамических систем, поэтому оно определяется не через другие понятия, а аксиоматически

– перечислением совокупности присущих ему свойств [8, 20, 21]. Рассмотрим некоторые из них.

Как отмечено выше, выход динамической системы определяется однозначно, если заданы предыстория изменения входного процесса на некотором промежутке и, кроме того, некоторая совокупность величин, относящаяся к началу данного промежутка – начальное

1В дальнейшем термины система, подсистема и звено обычно будут использоваться как синонимы, так как их математические модели однотипны.

2Статической характеристикой в общем случае называют зависимость между входом и выходом системы в установившемся режиме (по истечении времени переходных процессов). Можно сказать, что у

безынерционных систем (звеньев) этот режим наступает немедленно.

7

состояние системы. Символически это будем записывать так: 3

y(t1) = S(x(t0); u[t0,t1]).

Таким образом, состояние системы – это некоторый параметр, позволяющий сделать однозначным определение ее выхода по входу.

Различные начальные состояния приводят, вообще говоря, к различной реакции на одно и то же входное воздействие. В приведенном выше уравнении S – некоторый оператор, преобразующий одну функцию в другую. 4

Состояние системы должно удовлетворять четырем аксиомам (условиям) совместности [20]. Рассмотрим две наиболее важные из них.

Аксиома 1. Выход y(t) для всех t ≥ t0 определяется однозначно, если заданы x(t0) и u[t0,t1] (см. рис. 1.1, а).

Рисунок 1.1 – Аксиомы совместности.

Таким образом, состояние системы в данный момент времени содержит всю память о прошлом, существенную для развития процесса в будущем. Если фиксировать начальное состояние, то будущее от прошлого не зависит; все, что нужно знать от прошлого для определения процесса в будущем, содержится в состоянии на данный момент времени. Таким образом, для определения будущего поведения системы не имеет значения то, как

3Через u[t0,t1] обозначено сужение функции u(·) на промежуток [t0, t1].

4Такая запись похожа на описание динамики систем передаточными функциями. Разница состоит в том, что передаточные функции используются для описания только линейных систем и позволяют определить реакцию лишь для нулевых начальных условий.

8

она пришла в данное состояние, – по начальному состоянию и входу процесс определяется однозначно.

Аксиома 2. Если траекторию системы разбить на ряд участков, то можно рассматривать движение на каждом из них как новую траекторию при соответствующем начальном

состоянии (см. рис. 1.1, б).

Пусть t0 < t1 < t2. Тогда y(t2) = S(x(t0); u[t0,t2]). С другой стороны, при любых

x(t0), u[t0,t1] можно определить состояние x(t1) таким образом, что y(t2) = S(x(t1); u[t1,t2]).

Из этой аксиомы следует, что состояние динамической системы должно изменяться во времени соответствующим образом (в зависимости от входного процесса и начального

состояния).

Определение. Множество X = {x} возможных значений состояния системы называ-

ется пространством состояний (данной системы). 5

Часто можно рассматривать в качестве пространства состояний n-мерное линейное вещественное пространство, X = Rn. Тогда состояние x(t) есть n-мерный вещественный вектор – вектор состояния, или фазовый вектор. Компоненты этого вектора обычно будем обозначать через xi(t), или, если возможны совпадения в обозначениях – через x(i)(t), т.е.

Такая запись в общем случае означает, что x есть вектор-столбец, составленный из расположенных в столбец компонент векторов xi, i = 1, 2, . . . , n . Иногда, как будет видно из контекста, индекс используется для обозначения различных одноименных векторов.

Заметим, что такой вид пространства состояний не исчерпывает всех возможных ситуаций. Например, пространство состояний конечных автоматов состоит из конечного числа точек. С другой стороны, для многих систем нельзя указать конечное значение n размерности пространства X . К таким системам относятся различные распределенные объекты, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных,

5 Используется также термин «фазовое пространство».

9

объекты с запаздыванием и так далее. В этой книге рассматриваются только конечномерные динамические системы. Однако и для конечномерных систем не обязательно X = Rn.

Например, для простейшей механической системы – маятника – одной из переменных состояния является угол поворота относительно точки подвеса. Но в множестве возможных значений угловой переменной точки 0 рад. и 2π рад. совпадают. Следовательно, это множество не может быть линейным пространством, его геометрическим образом является не прямая, а окружность. Строгое рассмотрение таких систем требует привлечения понятия многообразия и выходит за рамки этой книги. Тем не менее многие свойства систем с угловыми координатами можно изучать, не используя аксиом линейного пространства. Поэтому, если не оговорено противное, мы будем считать, что X = Rn.

Из определения понятия состояния следует, что если x – состояние системы, μ(·) – некоторое взаимно однозначное отображение пространства X в себя (μ : X −→ X ), то x˜ = μ(x)

также можно рассматривать как состояние данной системы [8, 20]. Таким образом, состояние определяется неединственным образом, а с точностью до взаимно однозначного преобразования (которых может быть сколь угодно много). В частности, если X = Rn, а T –

некоторая невырожденная матрица порядка n (det T = 0), то вектор x˜ = T x также может

быть использован для описания состояния системы. Такой переход называется преобразованием базиса в пространстве состояний. Это преобразование не нарушает входо-выходных соотношений в описании системы.

Конкретизируем вид уравнений состояния. Рассмотрим так называемые конечномерные дифференциальные (непрерывные) системы. Уравнения состояния таких систем могут быть

Первое из этих уравнений – (собственно) уравнение состояния, или эволюционное уравнение, описывает изменение состояния системы во времени t R в зависимости от начальных условий в момент t0 и входного воздействия u(t). Второе уравнение – уравнение выхода, устанавливает связь между текущими значениями состояния и входа, с одной стороны, и

выхода y(t) – с другой. Фактически вся динамика системы сосредоточена в первом уравнении, а второе является статическим соотношением.

Переменные, входящие в уравнения (1.1), считаются векторными: x(t) Rn, y(t)

Rl, u(t) Rm, f(·), g(·) – вектор-функции от векторных аргументов соответствующих размерностей.

10