ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

11.4Вычисление функции веса

Весовая (импульсная) функция w(t) обычно определяется, как реакция системы на

δ-образное входное воздействие при нулевых начальных условиях [8,11,29,33,42]. Эта функция имеет много разных применений при исследовании систем автоматического управления (САУ), и задача ее получения, например – численными методами, является актуальной. Очевидная трудность состоит в том, что δ-функция Дирака не может быть реализована на аналоговых или цифровых моделирующих установках. Рассмотрим решение этой задачи без введения δ-функций во входное воздействие.

Предварительно сделаем следующее замечание. Выходной процесс системы y(t), и тем

более его производные diyi , могут иметь разрывы при разрывном входном воздействии u(t). dt

Поэтому при определении w(t) указываются начальные условия до момента приложения

i = 0, . . . , n−1. Что касается состояния системы x(t), то, как следует из формулы (11.9), оно изменяется непрерывно, если u(t) не содержит разрывов второго рода. Действительно, тогда интеграл в правой части (11.9) обращается в нуль при равенстве верхнего и нижнего пределов интегрирования. Поэтому в интересующем нас случае x(0) = x(0−). При определении w(t) полагаем x0 = 0. Поскольку входное воздействие u(t) = δ(t) имеет раз-

рыв второго рода, значение x(0+) = lim x(t) будет отличаться от x0. Чтобы опреде-

лить x(0+), используем основное свойство δ-функций: для любой непрерывной при t = 0

y(t) = Cx(t) получим искомую весовую функцию в виде w(t) = CeAtB. Для несобственных систем w(t)=CeAtB+Dδ(t). 2

Заметим теперь, что полученное выражение для x(t) совпадает с собственным движением системы при начальном состоянии x0 = B. Значит, для вычисления весовой функции можно решить однородное уравнение x˙(t) = Ax(t) при начальном условии x0 = B и вычислить w(t) = Cx(t); иначе говоря, следует промоделировать исходную систему при нулевом входном воздействии и ненулевом начальном состоянии. Такой способ определения функ-

2 Здесь предполагалось, что входной процесс скалярный, u(t) R, следовательно, B – одностолбцовая матрица. Данный результат легко обобщается на векторный случай, в котором подстановкой i-го столбца матрицы B в найденное выражение для w(t) получим набор весовых функций wi(t) по каждому входу ui .

83

ции веса соответствует принятому в работах по теории дифференциальных уравнений подходу, согласно которому эта функция определяется как решение однородного уравнения

при соответствующих начальных условиях, а вид реакции системы на δ-функцию выводится в качестве следствия.

11.5Определение начального состояния по начальному значению выхода и его производных

Вряде случаев исходное описание системы имеет вид дифференциального уравнения n-го порядка:

для которого заданы начальные условия y(0−), y˙(0−), . . . , yn−1(0−). Требуется определить начальное значение x0 вектора состояния системы

эквивалентное данным начальным условиям с точки зрения реакции на входное воздействие.

Для простоты изложения будем считать, что u(t) ≡ 0 при t < 0 и что входное воздействие не содержит δ(t). С учетом этого, для t < 0 из (11.11) получим

y(0−)=Cx0, y˙(0−)=x˙(0)=CAx0 , . . . , yn−1(0−)=CAn−1x0.

Таким образом, нами найдена система n уравнений относительно n неизвестных компонент начального вектора x0

и вектор z = [y(0−), y˙(0−), . . . , yn−1(0−)]T . Тогда уравнение (11.12) принимает вид Qx0 =z,

откуда получаем x0 =Q−1z. Заметим, что задача имеет единственное решение, если матрица

84

Q невырожденная det Q = 0. Как будет показано ниже, в 15.3, данное условие означает

полную наблюдаемость системы (11.11). Это приводит к некоторым ограничениям в выборе базиса уравнений состояния. Например, если (11.11) имеет вид НКП (см. 6.2), то Q = In

при любых коэффициентах уравнения (11.10), следовательно, x0 =z.

Заметим, кроме того, что при нулевых начальных условиях y(0−) = 0, y˙(0−) = 0, . . . , yn−1(0−)=0 выполнено z =0 и, соответственно, x0 =0. Поэтому в распространенном случае расчета реакций системы (11.10), имеющей нулевые начальные условия, начальное состояние x0 также равно нулю (кроме рассмотренной в п. 11.4 реакции на δ(t)).

85

Лекция 12

12 Дискретные модели непрерывных систем

Важным следствием из формулы Коши являются алгоритмы преобразования моделей систем, заданных в виде дифференциальных уравнений, к разностным уравнениям. Это преобразование связано с задачей построения дискретных моделей непрерывных систем. Рассмотрим ее более подробно.

12.1Постановка задачи дискретизации

Пусть математическая модель системы имеет вид

Требуется получить эквивалентную систему разностных уравнений: 1

Эквивалентность систем понимается в том смысле, что при соответствующих начальных условиях их реакции на одно и то же входное воздействие совпадают. Более подробно, это означает, что при u[k] = u(tk), где tk = kT0, T0 = const – интервал квантования, или

период дискретности, выполнено y[k]=y(tk) – решения уравнений (12.1) и (12.2) совпадают при tk =kT0.

Перечислим ряд приложений, для которых решение этой задачи актуально.

1. Исследование импульсных систем. Импульсные системы фактически являются системами непрерывного действия, но в силу прерывания измерений сигнала импульсным элементом они ведут себя, как нестационарные с периодически изменяемым коэффициентом. Существенно упростить исследование таких систем можно, если представлять их

дискретными моделями, описывающими процессы относительно моментов «срабатывания» импульсного звена.

2. Исследование цифровых систем управления. Это приложение является одним из наиболее актуальных в связи с широким применением цифровых вычислительных устройств в САУ.

1 Здесь и далее при указании на значение функции дискретного аргумента k = 0, 1, . . . последний помещается в квадратные скобки. Значения одноименной функции вещественного аргумента t R, при записи которых использованы круглые скобки, могут быть, вообще говоря, другими.

86

В таких системах управляющая ЭВМ работает в режиме реального времени совместно с управляемой (непрерывной) системой. По принципу действия ЭВМ является устройством дискретного времени и процесс преобразования в ней сигнала описывается разностными уравнениями. Таким образом, имеется «гибридная» система, модель которой имеет вид ди- фференциально-разностных уравнений. Распространенным методом исследования таких систем является переход к единой форме описания как регулятора (закона управления), так и объекта в виде разностных уравнений. Таким образом, в данном случае требуется найти дискретную модель управляемого объекта.

3. Синтез цифровых систем управления по непрерывной модели. Данный

подход является в некотором смысле альтернативным предыдущему. В соответствии с ним система в целом рассматривается сначала как непрерывная и для нее известными мето-

дами теории непрерывных систем разрабатывается закон управления. Затем выполняется переход к описанию полученного закона разностными уравнениями для цифровой реали-

зации. После этого производится исследование синтезированной непрерывно-дискретной системы, которое позволяет установить, насколько существенным является квантование

процесса управления на динамику. Отметим, что при достаточно малом (по сравнению со временем t переходных процессов в замкнутой системе) интервале T0 это влияние обычно оказывается незначительным и такой подход оправдан. 2 Данный метод находит широкое применение в близкой задаче синтеза цифровых частотно-избирательных фильтров по аналоговому прототипу [15].

Обоснование и исследование применимости этого метода для широкого класса нелинейных систем дано в рамках так называемого «метода непрерывных моделей» [19].

4. Численное решение дифференциальных уравнений. При решении диф-

ференциальных уравнений на ЭВМ реализуется некоторая рекуррентная процедура. Эта процедура описывается соответствующим разностным уравнением, которое может рассмат-

риваться в качестве дискретной модели исходной непрерывной системы.

Следует отметить, что в общем случае поставленная выше задача не имеет точного решения. Это связано с тем, что при дискретизации входного процесса теряется информация о его значениях между узлами квантования. Следовательно, выход дискретной модели от этих значений зависеть не может, в то время как реакция исходной непрерывной системы, естественно, зависит от всех значений входного процесса. Поэтому в общем слу-

2 В цифровых системах управления непрерывными объектами рекомендуется выполнение соотношения T0 < 0.05t, так как в противном случае значения непрерывного процесса между «узлами» квантования могут существенно отличаться от рассчитанной дискретной последовательности. Другим ограничением на T0 является требование подавления возмущений и помех.

87

чае неизбежна алгоритмическая ошибка. Однако имеются ситуации, в которых дискретная модель, в принципе, может быть построена точно. Для этого требуется, чтобы значения процесса u(t) при tk−1 ≤ t < tk, tk = kT0 однозначно определялись последовательностью

{u(ti)} k−1. Из рассмотренных выше приложений это характерно для импульсных систем с

0

амплитудно-импульсной модуляцией первого рода, а также для цифровых систем управления, если в качестве входного процесса рассматривается управляющее воздействие от ЭВМ. Действительно, в последнем случае исходным является дискретный процесс u[k], который преобразуется в непрерывный входной сигнал u(t) с помощью экстраполятора. Поэтому, зная процесс u[k], можно однозначно восстановить u(t). Для других случаев характерна методическая ошибка. Ее значение будет тем меньше, чем медленнее изменяется входной процесс или чем меньше значение T0.

Перейдем к изложению некоторых результатов. Описанный ниже метод применим для различных способов экстраполяции процесса u(t). Остановимся на простейшем и наиболее

распространенном случае использования экстраполятора нулевого порядка («фиксатора»), для которого

12.2Формулы перехода к разностным уравнениям

Рассмотрим задачу вычисления матриц P, Q, C , D в (12.2) по заданным матрицам

A, B, C, D в (12.1), исходя из сформулированного в п. 12.1 требования эквивалентно-

сти указанных систем по отношению к входному процессу u(t). Для простоты изложения ограничимся кусочно-постоянными процессами вида (12.3). В классической теории управления известно решение этой задачи с использованием аппарата передаточных функций и z-преобразования [11, 33, 42]. В соответствии с ним передаточная функция дискретной

ной функции исходной непрерывной системы. Рассмотрим решение аналогичной задачи на основе метода пространства состояний.

Используя формулу Коши (11.9), проинтегрируем уравнение (12.1) на интервале

[tk, tk+1], полагая на нем u(t) ≡ u(tk) при x0 =x(tk). Получим

' tk+1

x(tk+1)=eA(tk+1−tk )x(tk)+ eA(tk+1−τ)Bu(τ)dτ =

tk

88

*' tk+1 +

=eAT0 x(tk)+ eA(tk+1−τ)dτ · Bu(tk).

tk

Для вычисления интеграла введем новую переменную θ = tk+1 − τ. Тогда τ = tk+1 −θ

' tk+1 ' T0

и eA(tk+1−τ)dτ = eAτ dτ. Полагая вначале матрицу A невырожденной (det A = 0),

tk 0

Согласно уравнению выхода в (12.1), y(tk) = Cx(tk)+Du(tk). Сопоставим найденным для моментов tk значениям непрерывного процесса значения переменных дискретной модели: x[k] = x(tk), u[k] = u(tk), y[k] = y(tk). Сравнивая уравнение (12.2) с полученным выраже-

Когда выполнен переход к (12.2), можно получить передаточную функцию дискретной системы по приведенной в главе 3 формуле:

Этот результат совпадает с указанным выше соотношением для WD(z), полученном на основе изображения переходной функции, но он основан на использовании матричных операций и уравнений состояния. Широкое применение излагаемого в настоящем параграфе метода обусловлено наличием достаточно эффективных вычислительных алгоритмов и их программной реализации.

При выводе формулы (12.5) для матрицы Q сделано предположение о невырожденности матрицы A, которое является сильно ограничивающим. Прежде чем обсудить пути преодоления возникающих при этом трудностей, рассмотрим некоторые методы вычисления матричной экспоненты.

89

Лекция 13

13 Методы вычисления матричной экспоненты

Как видно из предыдущих параграфов, матричная функция eAt находит широкое применение при решении различных задач теории систем; следовательно, необходимо располагать достаточно эффективными алгоритмами ее вычисления. С некоторой условностью, методы вычисления матричной экспоненты можно разбить на точные и приближенные. Точные методы предполагают получение точных выражений для матричной экспоненты через скалярные аналитические функции. Приближенные методы основаны на ее аппроксимации и содержат алгоритмическую ошибку (значение которой зависит от способа аппроксимации

ипараметров алгоритма).

13.1Точные методы

Аналитическое выражение для матричной экспоненты eAt через скалярные элементарные функции может быть получено достаточно просто, если исходная матрица A имеет каноническую форму Жордана, т.е. система (12.1) представлена в собственном базисе. Не приводя эти формулы в общем виде, рассмотрим несколько важных частных случаев (см., например, [4, 22]).

1. Матрица A диагональная с вещественными собственными значениями.

Пусть A = diag{s1, s2, . . . , sn}, Imsi = 0, i = 1, . . . n. Непосредственным вычислением

суммы ряда (11.5) получаем, что eAt = diag{es1t, es2t, . . . , esnt}, где esit – скалярные экспоненты.

2.Матрица A блочно-диагональная с мнимыми собственными значениями.

−1. Применяя опять формулу (11.5), убеждаемся, что справедливо выражение

90