ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

19.2.3Условия существования предельных циклов для систем второго порядка

Врамках метода фазовой плоскости получены следующие результаты, имеющие важное значение при исследовании наличия предельных циклов у систем второго порядка [39]. К ним, в первую очередь, относятся теоремы Пуанкаре–Бендиксона.

Теорема 1 (А. Пуанкаре). Для произвольной замкнутой области фазовой плоскости

2 разница между числом находящихся внутри нее особых точек типа «узел» , «центр» , «фокус» N и особых точек типа «седло» S равна 1, т.е. индекс Пуанкаре IP = N − S = 1.

Теорема 2 ( первая теорема И. Бендиксона). Если для системы второго порядка

x˙1(t) = f1(x1, x2), x˙2(t) = f2(x1, x2)

функции f1(x1, x2), f2(x1, x2) имеют частные производные по x1, x2, то предельный цикл не

Теорема 3 ( вторая теорема Бендиксона). Если траектория автономной системы второго порядка находится внутри ограниченной области P и при этом не стремится к положению равновесия, то эта траектория является либо устойчивым предельным циклом,

либо стремится к нему.

Теорема 4 (А. Пуанкаре). Замкнутая траектория G автономной системы второго по-

19.3Метод гармонической линеаризации (гармонического баланса)

Метод гармонической линеаризации (по другой терминологии – гармонического баланса) относится к приближенным аналитическим методам исследования нелинейных систем. Этот метод имеет давнюю историю. Он восходит к работам Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова (1934), Л.С.Гольдфарба (1957), Р.Коченбургера (1950),

Е.П.Попова (1960). Метод широко используется в инженерной практике, применяется в теоретических исследованиях и продолжает развиваться.

2В том числе и предельного цикла.

3Точнее – орбитально асимптотически устойчивым, см. с. 178.

161

Метод гармонической линеаризации предназначен прежде всего для исследования периодических (автоколебательных) процессов в нелинейных системах, однако известно применение метода и для исследования колебательных переходных процессов, а также для

решения более широкого круга задач [11, 33, 39, 50].

19.3.1 Основные положения. «Свойство фильтра»

Рассмотрим замкнутую нелинейную систему с одним нелинейным блоком, уравнения которой имеют вид (см. также п. 18.6)

Здесь x(t) Rn – вектор состояния линейной части системы; σ(t) R – выход линейной части системы; ξ(t) R – поступающий на вход линейной части выход нелинейной части со статической характеристикой ϕ(·). 4 Первое из уравнений (19.2) задает линейную часть

системы. Ему соответствует передаточная функция

Wл(s) = C sIn − A)−1B = (19.2)

в котором коэффициенты операторных многочленов A(p), B(p) совпадают с коэффициентами многочленов A(s), B(s) передаточной функции (19.2).

Пусть в системе (19.3) имеет место периодический процесс с некоторой частотой Ω (и периодом T = 2π/Ω). Нас прежде всего будет интересовать определение характеристик

4Знак «минус» при входном процессе в первом уравнении взят для того, чтобы сохранить традиционное для классической теории линейных систем правило знаков в главной обратной связи системы.

5Заметим, что такая форма записи является, по существу, компактной записью дифференциального уравнения n-го порядка, полученного из (19.2).

162

этого процесса (амплитуды и частоты), а также анализ его устойчивости. Итак, полагаем, что σ(t) ≡ σ(t + T ). Тогда и ξ(t) ≡ ξ(t + T ).

Основное допущение, принятое в методе гармонической линеаризации, так называемая

гипотеза (свойство) фильтра, состоит в том, что для амплитудно-частотной характери-

т.е. коэффициент передачи линейной части системы на основной частоте значительно превосходит коэффициент передачи для высших частот. 6

Дальнейший план действий состоит в следующем. Предполагая гипотезу фильтра выполненной, заметим, что можно пренебречь составляющими процесса на выходе линейной части с высшими частотами 2Ω, 3Ω, . . . (ввиду малости для них коэффициента передачи) и считать, что на выходе линейной части имеется гармонический сигнал с частотой Ω. На выходе нелинейной части системы конечно появятся составляющие с высшими частотами (не высказывается предположений о фильтрующих свойствах нелинейного звена). Но из-за того что высшие гармоники не вызывают существенной реакции на выходе линейной части системы, можно не учитывать их влияния на динамику замкнутой системы. Следовательно, при исследовании замкнутой системы (19.2) можно приближенно считать, что как вход, так и выход нелинейного звена являются гармоническими колебаниями, 7 благодаря чему и выполняется (гармоническая) линеаризация нелинейности.

19.3.2 Коэффициенты гармонической линеаризации

Согласно сделанному выше предположению, как на входе, так и на выходе нелинейного звена имеются гармонические процессы одинаковой частоты Ω. Какой вывод можно сделать относительно свойств этого звена?

Рассмотрим следующие примеры.

Пример 1. Пусть σ(t) = A sin Ωt – гармонический процесс с амплитудой A = 0 и

частотой Ω. Предположим, что выходной процесс данного звена есть тоже гармоника частоты Ω, совпадающая по фазе со входным процессом, но имеющая амплитуду A1, т.е.

ξ(t) = A1 sin Ωt.

6 Как видно, данное свойство формулируется в нечетких терминах. Кроме того, для его проверки следует знать основную частоту, которая еще подлежит определению. Поэтому можно считать свойство фильтра a priori выполненным, а затем проводить анализ H(ω) для найденной основной частоты, см. также [50].

7 Возможно, что эти колебания несимметричные и содержат постоянную составляющую. Метод гармонической линеаризации применяется и для исследования таких процессов [11,33,39,50], однако для простоты изложения мы здесь считаем колебания симметричными.

163

8

Рассмотрим теперь «технику» вычисления коэффициентов гармонической линеаризации. Пусть по-прежнему

σ(t) = A sin Ωt. Представим периодический выходной процесс ξ(t) в виде ряда Фурье [11, 29, 33, 39]:

Согласно принятой гипотезе, ограничимся слагаемыми с частотой не выше частоты основной гармоники, т.е. примем ξ(t) ≈ A0 + A1 sin Ωt + B1 cos Ωt, где коэффициенты разложения Фурье определяются выражениями [29]

Вычисления по приведенным формулам достаточно просты, и для многих типовых нелинейных звеньев выполняются аналитически. Например, для релейного звена с характеристикой ϕ(σ) = c sign(σ) получается q(A) = πA4c , q (A) = 0.

Обратим внимание на то, что в данном методе в виде ряда представляется не нелинейная зависимость (как при обычной линеаризации по Тейлору), а процесс (функция от

8 Для звеньев с пассивной гистерезисной характеристикой q (A) < 0, поэтому линеаризованное звено, как правило, неминимально-фазовое.

165

времени), что позволяет учесть специфические автоколебательные свойства нелинейных систем.

Заметим, что при симметричных колебаниях и нечетной однозначной статической нелинейности ϕ(·), как видно из (19.7) q = 0, что упрощает дальнейший анализ.

Отметим также, что коэффициенты гармонической линеаризации можно получить и при наличии постоянной (медленно меняющейся) составляющей на выходе линейной части системы: σ(t) = σ0 +A sin Ωt. Это позволяет исследовать несимметричные колебания и влияние внешнего воздействия на систему (более подробные сведения приведены, например, в [39, 50]).

Обратимся теперь непосредственно к исследованию замкнутой системы (19.2).

19.3.3 Уравнение гармонического баланса

Рассмотрим уравнение замкнутой системы (19.2), записанное в виде (19.3). Прежде чем обратиться к исследованию предельных циклов в нелинейной (линеаризованной) системе, повторим приведенные в п. 3.4.1 с. 26, рассуждения о реакции линейной системы на гармоническое входное воздействие применительно к рассматриваемому случаю.

Пусть линейная стационарная система описывается дифференциальным уравнением, которое для компактности записи представим в операторной форме (см.(19.3)):

A(p)σ(t) = −B(p)ξ(t).

Найдем частное решение этого уравнения при ξ(t) = ξ0eλt для некоторого постоянного

λ C. Это решение будем искать в виде σ(t) = σ0eλt. Подстановкой выражений для

ξ(t), σ(t) в данное уравнение получим, что если имеет место нерезонансный случай, т.е.

A(λ) = 0, где A(s) – многочлен от переменной s C, коэффициенты которого совпадают с соответствующими коэффициентами операторного многочлена A(p), функция σ(t) ука-

занного вида является решением, причем σ0 = −B(λ) ξ0. Окончательно, искомое решение

A(λ)

имеет вид σ(t) = −Wл(λ)ξ(t), где Wл(λ) = Wл(s) s=λ, Wл(s) – передаточная функция, соответствующая уравнению (19.3) (см. (19.2) и п. 3.4). Положим теперь λ = jΩ. Тогда

σ(t) = −W(jΩ)ξ(t), Wл(jΩ) – частотная передаточная функция рассматриваемой системы. Полученное выражение дает возможность найти реакцию на гармоническое входное воздействие в нерезонансном случае. Действительно, представив процесс ξ(t) = ξ0 cos Ωt как

166

ξ(t) = ξ20 ejΩt + e−jΩt , используя свойство суперпозиции, получим

σ(t) = −ξ20 Wл(jΩ)ejΩt + Wл(−jΩ)e−jΩt .

Представив теперь Wл(jΩ)=H(Ω)ejψ(Ω), где H(Ω)=abs(Wл(jΩ)) – амплитудночастотная, а

ψ(Ω) = arg(Wл(jΩ)) – фазочастотная характеристики линейной части системы, получим

σ(t)=−ξ20 H(Ω) ej(Ωt+ψ(Ω) +e−j(Ωt+ψ(Ω)) = −ξ0H(Ω) cos(Ωt + ψ(Ω).

Рассмотрим теперь замкнутую систему с линейной обратной связью, полагая ξ(t) = qσ(t). Полагая по-прежнему, что ξ(t) = ξ0ejΩt, ξ0 = 0, получим систему уравнений

σ(t) = −W(jΩ)ξ(t),

ξ(t) = qσ(t).

Подстановкой выражения для ξ(t) из первого уравнения во второе находим, что данные уравнения будут совместны для всех t, если справедливо выражение

которое является уравнением гармонического баланса для линейных систем. Итак, для существования незатухающих колебаний в автономной линейной системе с передаточной функцией Wл(s), замкнутой отрицательной обратной связью с коэффициентом q необходимо, чтобы при некотором значении ω = Ω амплитудно-фазовая характеристика «линейной части» системы Wл(jω) проходила на комплексной плоскости через точку (−q, 0). 9 Заметим, что выражение (19.8) не позволяет определить амплитуды колебаний ξ0, σ0 (так как условие баланса (19.8) не содержит этих величин). В этом проявляется отмеченное для линейных систем отсутствие изолированных замкнутых траекторий и, следовательно – автоколебаний. Разные начальные условия в таких системах приводят к разным амплитудам колебаний.

Обратимся теперь непосредственно к задаче исследования периодических режимов в нелинейной системе, предполагая, что вместо нелинейного звена взяты линеаризованные

9 Полученный результат полностью соответствует известному критерию устойчивости Найквиста линейных систем [11, 29, 33]. Заметим, что здесь не обсуждался вопрос об устойчивости замкнутой системы. Найденные условия есть необходимые условия существования незатухающих колебаний. В системе также имеются переходные составляющие, которые могут быть и расходящимися.

167

уравнения, полученные рассмотренным в предыдущем параграфе методом. Итак, будем считать, что система описывается уравнениями

в котором коэффициенты гармонической линеаризации q(A, Ω), q (A, Ω) определяются соотношениями (19.6), (19.7). Пусть опять ищется решение в предположении, что ξ(t) = ξ0ejΩt.

Из первого уравнения получаем σ(t) = ξ0Wл(jΩ)ejΩt, тогда

Найденное выражение является основным соотношением метода гармонической линеаризации и служит для определения параметров колебаний нелинейной системы. Важно отметить, что в условие гармонического баланса (19.10) входит и амплитуда колебаний. 10

Следовательно, оно нарушается при изменении амплитуды. Таким образом, метод гармонической линеаризации позволяет учесть возможность существования предельных циклов у нелинейных систем.

Уравнение (19.10) записано в комплексных величинах. Ему соответствует система из двух уравнений с вещественными коэффициентами. В этой системе имеются две неизвестные величины – параметры A и Ω. Следующим шагом использования метода является разрешение (19.10) относительно указанных переменных.

Уравнение (19.10) записывают в разной форме [11, 33, 39, 50].

10 Заметим, что, поскольку при выводе коэффициентов гармонической линеаризации использовалась амплитуда A процесса на выходе линейной части системы, то именно она определяется уравнением (19.10). Для определения амплитуд колебаний в других точках (например, на выходе системы, который может не

совпадать с выходом ее линейной части), следует учитывать частотные характеристики промежуточных звеньев.

168

Например, можно представить его в виде соотношения между многочленами в числи-

теле и знаменателе передаточной фукнции линейной части. Тогда оно принимает вид

A(jΩ) + ( q(A, Ω) + jq (A, Ω) B(jΩ) = 0 (19.11)

Если определить характеристический многочлен замкнутой системы как D(s) = A(s)+

В некоторых случаях удобнее рассматривать (19.10) как равенство двух параметрически заданных функций Wл(jω) и

1

−q(a, ω) + jq (a, ω). Такой способ удобен, когда коэффициенты гармонической линеа-

ризации не зависят явно от частоты. В этом случае строятся две параметрические кривые

1

– годограф линейной части системы от параметра ω и годограф функции −q(a) + jq (a)

– от параметра a. Точки их пересечения отвечают уравнению гармонического баланса. В этих точках определяются Ω = ω – по первой кривой и A = a – по второй кривой.

Следующим шагом является анализ устойчивости периодического режима. Данный анализ без строгого обоснования выполняется в рамках рассматриваемого метода с использованием отмеченных интерпретаций уравнения гармонического баланса с помощью критериев устойчивости линейных систем (амплитудно-фазового критерия Эрмита–Михайлова, критериев Найквиста, Гурвица). Достаточно подробные сведения приведены в литературе (см., например, [11, 29, 33, 39, 50]).

19.3.4 Пример. Исследование генератора колебаний

Рассмотрим упрощенную модель генератора незатухающих колебаний [36,39]. Модель пред-

ставляет собой колебательное звено с передаточной функцией W(s) = 2 2 k , за-

T0 s + 2ζT0s + 1

мкнутое положительной обратной связью по скорости через релейный элемент u = c signx˙

(рис. 19.1).

Обратимся вначале к описанному в п. 19.2.2 методу точечных отображений.

11 Амплитудно-фазовой характеристикой многочлена D(s) (кривой Эрмита–Михайлова) называется годограф функции D(jω) на комплексной плоскости при изменении ω от −∞ до +∞ [11, 33].

169

Рисунок 19.1 – Структурная схема генератора колебаний.

Для исследования системы используем каноническую форму фазовой переменной (см. с. 42), в которой переменные состояния связаны как функция и производная:

x1(t) = x(t), x2(t) = x˙ (t). Предполагая наличие в системе предельного цикла G, получим функцию последования. Для этого проведем из начала координат в сторону положительных значений x луч L (рис. 19.2,а, а также рис. 18.2,б на с. 150). Выберем начальную точку x L. Требуется получить координаты точки x L, в которой происходит следующее пересечение траектории и линии L. В выбранном базисе точкам на луче L соответствуют нулевые значения x,˙ в верхней полуплоскости x˙ > 0, следовательно u = c; в нижней полуплоскости x˙ < 0 и u = −c. Поэтому чтобы получить функцию последования надо рассмотреть переходную характеристику колебательного звена при начальных условиях x(0) = g, x˙(0) = 0 и x(0) = g , x˙(0) = 0 (рис. 19.2,б). Как известно [11,33], эта характеристика стремится к установившемуся значению x∞ = limt→∞ x(t) = ku, где k – коэффициент передачи, u – величина входного воздействия (в рассматриваемом случае u = ±c, поэтому

x−∞ = −ck, x+∞ = ck). Если известно перерегулирование σ, 12 то, как нетрудно убедиться,

при произвольном x(0) и x˙(0) = 0 выполнено maxt x(t) = x∞ + σ x∞ − x(0) . Применяя эту формулу дважды (при x∞ = −ck, x(0) = g и x∞ = ck, x(0) = g ), находим g = −(1+ck)−σg, h = ck +σ(ck −g ) = ck(1+σ)2 +σ2g. Следовательно, функция последования ϕ(g) в рассматриваемом примере линейная и имеет ϕ(g) = ck(1 + σ)2 + σ2g. Для определения амплитуды

170