ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

предельного цикла следует решить уравнение g0 = ϕ(g0), что приводит к формуле

Рисунок 19.2 – Точечное отображение (а) и переходная характеристика колебательного звена (б).

Рисунок 19.3 – Функция последования h = ϕ(g).

У устойчивых колебательных звеньев параметр 0 < σ < 1, поэтому формула (19.12) приводит к конечным положительным значениям амплитуды колебаний на выходе системы (очевидно, что для предельного цикла Ax = maxt x(t) ≡ g0). Граничным является случай

σ = 1, соответствующий консервативному звену (ζ = 0). При этом положительная обратная

171

гармонического баланса получаем

Рисунок 19.4 – Амплитуда колебаний генератора и ошибка ее определения методом гармонического баланса.

Интересно сравнить полученный результат с точной формулой (19.12). Для этого следует установить связь между относительным коэффициентом демпфирования ζ колебательного звена и перерегулированием σ. Исходя из аналитического выражения для переходной

| |

мость, найдем абсолютную A = Ax − Ax и относительную δA = Ax ошибки (Ax вычис-

ляется по формуле (19.12), Ax – по формуле (19.13)). Результаты отражены на рис. 19.4, где показаны графики относительных (к величине коэффициента передачи ck) амплитуд колебаний Ax и Ax, а также график относительной ошибки формулы (19.13) в зависимости от параметра ζ. Из графиков видно, что при ζ < 0.5 относительная ошибка не превышает 10%, что является вполне удовлетворительной точностью определения характеристик системы с учетом погрешностей, неизбежно имеющихся в ее математической модели [9, 32]. Заметим, что относительная ошибка определения частоты колебаний Ω несколько больше. Как следует из точной и приближенной формул, при ζ = 0.5 эта ошибка составляет около 15%, а при ζ = 0.6 она равна 25%.

Рассмотренный пример показывает, что метод гармонического баланса может служить

173

достаточно надежным способом определения параметров предельных циклов, однако по-

лученные с его помощью результаты нуждаются в проверке (см. сноску 6 на с. 163). Если вернуться к рассмотренному примеру, то отношение амплитудно-частотных характеристик

линейной части системы на частотах Ω = 1 и 2Ω составляет при ζ = 0.2 величину 3.9,

T0

при ζ = 0.5 – 1.8, при ζ = 1.0 – 1.25 . Следовательно, гипотезу фильтра при ζ, близкой к

единице, нельзя считать выполненной.

174

Лекция 20

20 Метод функций Ляпунова

Метод функций А.М.Ляпунова (прямой, или второй метод Ляпунова) относится к точным аналитическим методам. Он является фундаментом теории нелинейных систем. Основы этого метода заложены А.М. Ляпуновым в 90-х годах XIX столетия. Имеется большое число публикаций по развитию результатов Ляпунова и еще большее – по применению метода Ляпунова в различных областях теории систем управления.

полагая, что f(0) = 0. Тогда точка x = 0 является особой точкой – состоянием равновесия

системы. Этому начальному состоянию соответствует тривиальное решение x(t) ≡ 0, которое называется невозмущенным движением (20.1). При x0 = 0 получаем возмущенное

движение. Ставится задача исследования устойчивости положения равновесия. На содержательном уровне она означает определение характера поведения возмущенного решения:

будет ли оно при возрастании t приближаться к состоянию равновесия или удаляться от него. Прежде чем дать точные формулировки, рассмотрим более общую задачу.

Выше принято, что f(0)=0. Насколько общим является это условие? Пусть, например, для некоторого x = 0 выполнено f(x )=0. Тогда состоянием равновесия является точка x ,

которой соответствует решение x(t) ≡ x . Чтобы свести задачу к указанной выше, сделаем

Аналогично, если требуется исследовать устойчивость движения по некоторой траектории x (t), являющейся решением неоднородного (в общем случае) уравнения x˙(t) =

175

Следовательно, рассмотренные задачи сводятся к исследованию невозмущенного движения уравнения (20.1) либо более общего неоднородного уравнения

x˙(t)=f x(t), t , f(0, t)=0.

Приведем некоторые определения [8, 10, 29, 33, 39].

Определение 1. Положение равновесия устойчиво (по Ляпунову) при t → ∞, если для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что для всех ||x0|| < δ справедливо неравенство

||x(t)|| < ε для всех t > 0.

Рисунок 20.1 – Устойчивость по Ляпунову.

Если через Sρ обозначить область ||x|| < ρ, то данное определение означает, что любая траектория, начинающаяся в Sδ, не достигнет Sε.

З а м е ч а н и е 1 . В приведенном определении Sδ, Sε – сферические области (в заданной нормой || · || метрике). Их можно считать произвольными замкнутыми ограниченными областями Sδ Sε, Sδ = {0} (рис. 20.1).

З а м е ч а н и е 2 . Фактически такой вид устойчивости означает непрерывную зависимость решений от начальных условий, равномерную по t [10, 36].

З а м е ч а н и е 3 . Про устойчивость по Ляпунову иногда говорят, что это «устойчивость в малом» . Область Sδ, обеспечивающая заданные ограниченные отклонения от состояния равновесия, может иметь малые размеры. Важно, что она ненулевая. В качестве примера, можно рассмотреть «обращенный маятник» с сухим трением. Имеется конечная (пусть небольшая) область начальных состояний, в котором его вертикальное положение устойчиво.

176

Рисунок 20.3 – Неустойчивость по Ляпунову. траектории к устойчивости множеств.

Например, для исследования автоколебательных систем и движущихся по замкнутым траекториям объектов, вводится понятие орбитальной устойчивости. Для него используется расстояние ρ(x, G) между точкой x и множеством G, определяемое, как

ρ(x, G) = infxz G ||x−xz||.

Определение 5. Траектория G орбитально устойчива, если для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что для всех x0 таких, что ρ(x0, G) < δ, справедливо неравенство

ρ(x(t), G) < ε для всех t > 0.

Аналогично, можно дать и определения асимптотической орбитальной устойчивости, глобальной асимптотической орбитальной устойчивости и т.д. В данном определении рассматривается близость решения к процессу, как к некоторому множеству точек. Поэтому расстояния между точками возмущенного и невозмущенного движений в каждый данный момент времени могут оказаться больш´ими, но траектории остаются близкими (рис. 20.4).

Будем предполагать, что решения уравнения (20.1) определены на бесконечном интервале времени 0 ≤ t < +∞. Траектории, продолженные на весь этот интервал, называются

целыми траекториями. Заметим, что движение изображающей точки, начинающееся в положении равновесия, или на замкнутой траектории, будет оставаться там для всех моментов времени. Соответствующие множества точек образуют инвариантные множества в пространстве состояний [8, 18, 39].

Определение 6. Инвариантным множеством M называется множество {x} точек таких, что из x(t0) M для некоторого t0 следует, что x(t) M для всех −∞ < t < +∞.

Если это множество включает все возможные значения x(t0), для которых выполнено

178

Рисунок 20.4 – Орбитальная асимптотическая устойчивость. указанное условие, то оно называется наибольшим инвариантным множеством.

Имеется следующее определение устойчивости инвариантного множества, обобщающее понятия орбитальной устойчивости и устойчивости положения равновесия [16, 41].

Определение 7. Инвариантное множество M устойчиво (относительно системы (20.1)), если для всех ε > 0 можно указать такое δ > 0, что для всех x0 таких, что

ρ(x0, M) < δ выполнено ρ(x, M) < ε для всех t > 0.

Аналогично дается и определение асимптотической устойчивости инвариантного множества.

Устойчивость множеств относится к классу свойств частичной устойчивости систем.

Другим подобным свойством является устойчивость по отношению к функции. Рассмотрим систему с выходом

где x Rn, ξ Rnu , nu ≤ n, f(x) и h(x) – непрерывные вектор-функции. Пусть система (20.2) имеет равновесие x = x (общий случай сводится к этому заменой координат и рассмотрением уравнений возмущенного движения).

Определение 8. Решение x = x системы (20.2) называется устойчивым по отношению к функции h(x), если для любого ε > 0 найдется δ(ε) > 0, такое, что для всех начальных значений x0, удовлетворяющих условию |x0 − x | < δ решение x(t) с начальным

179

условием x(0) = x0 определено при всех t ≥ 0 и выполняется неравенство

Если решение x = x устойчиво по отношению к h(x) и, кроме того, выполняется условие аттрактивности

Если решение x = x устойчиво по отношению к функции h(x), все решения системы (20.2) определены при всех t ≥ 0 и условие аттрактивности (20.5) выполняется для любых начальных условий x0, то решение x = x (и система (20.2)) называется глобально

асимптотически устойчивой по отношению к функции h(x).

Очевидно, при nu = n и h(x) = x определение 8 совпадает со стандартными определениями устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Сам А.М. Ляпунов занимался исследованиями именно этого частного случая. В 1957 г. В.В. Румянцев сформулировал критерии устойчивости по отношению к части переменных, соответствующей случаю x = col{y, z}, h(x) = y. Отметим, что устойчивость по отношению к функции h(x)

не сводится к устойчивости множества {x: h(x) = h(x )}, как показывает следующий пример.

Рассмотрим функцию выхода

180