ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

Лекция 4

4Преобразование базиса. Инвариантность передаточной функции

Как отмечено в п. 1 с. 7, вектор состояния может быть представлен неединственным об-

разом – произвольное взаимно-однозначное отображение пространства состояний X в себя

дает новый вектор, который также можно использовать в качестве состояния системы. Этот

вектор имеет другие значения компонент. Особенно распространено линейное невырожден-

ное преобразование с квадратной n×n-матрицей T, det T = 0. При таком преобразовании

говорят, что вектор состояния представлен в новом базисе, а соответствующее преобразо-

вание уравнений называют преобразованием базиса уравнений состояния. Вид уравнений

системы при этом изменяется, но остаются неизменными входо-выходные соотношения. В

частности, для стационарных линейных систем остается неизменной передаточная функ-

ция. Рассмотрим преобразование базиса более подробно.

Пусть T – невырожденная матрица порядка n, det T = 0, x(t) Rn – вектор состо-

яния системы. Определим вектор x˜(t) = T x(t). В силу невырожденности матрицы пре-

образования T, вектор x˜(t) определяется по x(t) взаимно-однозначно и можно записать

x(t) = T −1x˜(t). 1 Перепишем уравнения состояния (2.2) в преобразованном виде. Учитывая

˜ −1 ˜ ˜ −1

Обозначим матрицы A(t) = T A(t)T , B(t) = T B(t), C(t) = C(t)T . Отсюда получаем уравнения (4.1) в форме (2.2):

Уравнения (4.2) представляют собой уравнения состояния системы (2.2) в новом базисе.

Очевидно, что различных форм уравнений состояния может быть записано неограниченно много. 2

Здесь не рассмотрено преобразование с переменной во времени матрицей T = T (t). Матрица A(t) при

таком преобразования принимает вид ˜ ˙ −1

A(t) = T (t) + T (t)A(t) T (t).

31

Рассмотрим теперь стационарные реализуемые системы, заданные уравнениями

˜ ˜ ˜

где матрицы A, B , C определены выше. Вычислим передаточную функцию системы (4.4) по формуле (3.18) и выполним преобразования: 3

˜ ˜ − ˜ −1 ˜ −1 − −1 −1

W(s) = C sIn A B+D = CT sIn T AT T B+D = = C sIn −A −1T +D ≡ W(s).

Таким образом, передаточная функция системы после преобразования подобия с матрицей T не изменилась. Говорят, что передаточная функция инвариантна по отношению

к преобразованию базиса уравнений состояния. Заметим, что изменение базиса уравнений

состояния соответствует структурным преобразованиям систем, заданных передаточными функциями.

˜ −1

Матрицы A и A = T AT называются подобными. У них много общих свойств. В

I − ≡ I − ˜

частности, их характеристические многочлены совпадают: det(s n A) det(s n A), сле-

довательно, совпадают и собственные числа. Обратное, вообще говоря, не верно. Например,

являются подобными.

Аналогично тому как по координатам вектора состояния в новом базисе можно одно-

˜

значно получить его координаты в исходном базисе, можно по матрице A восстановить

−1 ˜

матрицу A = T AT.

Следует иметь в виду, что хотя преобразование подобия не изменяет передаточной функции, обратное, вообще говоря, не верно. Можно привести примеры, когда одной и той же передаточной функции отвечают уравнения состояния, которые не преобразуются друг в друга ни при какой невырожденной матрице T. Это явление связано с возможной вырожденностью системы и обсуждается ниже, в главе 15 с.104.

3 Использованы тождества (AB)−1 = B−1A−1, det(AB) = det A · det B, справедливые для квадратных невырожденных матриц.

32

Пример. Преобразование уравнений ИСЗ. Пусть исходные уравнения системы

В «развернутом» виде (относительно отдельных компонент вектора состояния) в результате преобразования получаем уравнения

Как видно, уравнения состояния (4.5) отличаются от исходных (2.15), однако при соответствующих начальных условиях данные системы будут иметь одинаковые реакции на входное воздействие – их передаточные функции совпадают. Заметим также, что не всегда компонентам вектора состояния удается приписать определенный физический смысл. Если компоненты вектора x(t) в исходном базисе сопоставлялись с фазовыми координатами – углом и угловой скоростью, то после преобразования трудно дать физическую интерпретацию полученным переменным состояния. Структурные схемы, соответствующие исходным (2.15) и преобразованным (4.5) уравнениям состояния, приведены на рис. 4.1

Рисунок 4.1 – Структурные схемы систем (2.15) (а) и (4.5) (б).

33

Рассмотренный пример показывает, что значения переменных состояния могут соответствовать значениям некоторых физических переменных, но могут и представлять собой некоторые абстрактные величины. В этой связи возникает вопрос о размерностях переменных, входящих в уравнения состояния. Эти величины считаются безразмерными (вещественными) числами. При составлении математической модели системы и определении ее параметров, а также начальных условий, физическая размерность учитывается. Далее модель подвергается исследованиям (которые могут включать и операции преобразования базиса), имеющим абстрактный характер. Для интерпретации полученных результатов в терминах исходной задачи выполняется обратное преобразование.

34

Лекция 5

5Канонические формы уравнений состояния. Диагональная и жорданова формы

Ввиду того, что имеется множество эквивалентных (с точки зрения входо-выходных соотношений) способов представления уравнений состояния системы, можно выбрать из них «наилучшие» – наиболее удобные для использования в рассматриваемой задаче. Такие формы записи уравнений называются каноническими. Поскольку может быть много различных приложений, известно и много канонических форм. Рассмотрим некоторые, наиболее рас-

пространенные из них. Основное внимание будет уделяться системам с одним входом и выходом.

Пусть собственные числа матрицы A в (2.3) заданы и равны si, i=1, 2, . . . , n . Рассмотрим следующие случаи.

5.1Диагональная форма. Простые вещественные собственные числа

Пусть si – простые, т.е. si = sj при i = j, i, j =1, 2, . . . , n и, кроме того, они вещественные:

Imsi = 0. В этом случае 1 любую матрицу n×n можно привести с помощью некоторого невырожденного преобразования к диагональной матрице A=diag{s1, s2, . . . , sn} [8, 23, 51] или, более подробно, к матрице вида

Как нетрудно убедиться, множество {si} действительно образует спектр матрицы (5.1). Для этого найдем характеристическую матрицу sIn−A, которая тоже оказывается диагональной, sIn −A = diag{s− si}. Характеристический многочлен есть определитель данной матрицы, а для диагональной матрицы он равен произведению элементов главной диагонали [23].

1Следует иметь в виду, что отсутствие кратных собственных чисел является достаточным, а не необходимым условием возможности преобразования матрицы к виду (5.1) или (5.4). При выполнении некоторых условий такое преобразование выполнимо и при наличии кратных собственных чисел. Более подробно этот вопрос обсуждается в следующем п. 5.3 и в литературе по теории матриц (см., например, [8, 23, 29, 51]).

35

Такой базис удобен тем, что в нем уравнения системы распадаются на уравнения n

независимых подсистем первого порядка. Предполагая для простоты записи, что u(t)

R (m = 1), приведем соответствующие уравнения состояния «в развернутом виде», т.е. в

виде системы уравнений первого порядка относительно компонентов вектора x. Получим

x˙n(t) = snxn(t)+bnu(t).

Видно, что здесь xi(t) не зависят от xj (t) (при i = j). Следовательно, происходит декомпозиция системы – система высокого (n-го) порядка распадается на n независимых подсистем меньшего (первого) порядка. Вследствие этого упрощается расчет процессов в системе.

Посмотрим, какая структура системы соответствует такой форме матрицы A с точки зрения передаточных функций. Пусть l = m = 1 – система имеет один вход и один выход,

Таким образом, диагональная форма матрицы A соответствует системе, состоящей из параллельно соединенных подсистем первого порядка (апериодических или интегрирующих звеньев).

5.2Вещественная диагональная форма. Простые мнимые собственные числа

Более сложным случаем является наличие у матрицы A невещественных корней. 2 Как и выше, при простых собственных числах, матрица A также может быть приведена невырожденным преобразованием к диагональному виду (5.1), однако такая матрица будет

2 Поскольку рассматриваются уравнения с вещественными коэффициентами, мнимые корни характеристического многочлена будут комплексно-сопряженными, si,i+1 = αi ± jβi (j2 =−1), αi = Resi,i+1, βi =

|Imsi,i+1|.

36

содержать на диагонали мнимые элементы. Это неудобно для дальнейшего ее исполь-

зования. Для устранения указанной трудности используется квазидиагональная (блочно-

диагональная) форма [8, 23, 51]. При таком представлении мнимым корням si,i+1 = αi ± βij

характеристического многочлена соответствуют блоки (клетки) вида

Характеристический многочлен данной матрицы Ai(s) = (s−αi)2 +βi2 = s2 −2αis+αi2 +βi2.

Корни этого многочлена si,i+1 =αi ± jβi совпадают с заданными. Окончательно матрица A

имеет следующую блочную структуру (определенную с точностью до порядка следования блоков):

Вещественным корням s1, . . . , sq характеристического многочлена соответствуют блоки размера 1×1, мнимым корням sq+2i−1,q+2i = αi ± jβi, i = 1, 2, . . . , r соответствуют блоки размера 2×2 вида (5.3).

Вычисляя характеристический многочлен матрицы (5.4), аналогично п. 5.1 с. 35, получим

Таким образом, матрица A имеет заданные собственные числа si. Если снова записать уравнения состояния для каждой компоненты вектора x, то убеждаемся, что система «рас-

падается» на q + r независимых подсистем первого и второго порядков. При m = l = 1

37

передаточная функция системы принимает вид

Следовательно, такой форме уравнений состояния соответствует разложение передаточной функции системы на слагаемые первого и второго порядков, что иллюстрируется рис. 5.1.

3

Рисунок 5.1 – Структурная схема, соответствующая жордановой форме (5.4).

Рассмотренные выше канонические формы матрицы A (5.1) и (5.4) представляют собой частные случаи так называемой вещественной формы Жордана. Такая форма может быть получена, если характеристический многочлен матрицы A не имеет кратных корней. Ниже приведен общий вид вещественной жордановой формы при наличии у матрицы A кратных собственных чисел (см. сноску 1 на с. 35).

3 Здесь (и далее в пособии) структурные схемы линейных систем содержат представление уравнений звеньев (подсистем) в виде их передаточных функций. Иногда, чтобы подчеркнуть отличие между реальными

процессами и их изображениями в комплексной области [29,33,42], на структурных схемах используют специальные обозначения для операторов дифференцирования и сдвига вперед [33]. Мы этого делать не будем,

рассматривая передаточную функцию просто как компактную форму записи соответствующих уравнений.

38

5.3Общий случай. Вещественная форма Жордана

Пусть матрица A порядка n имеет кратные собственные числа: s1 – кратности l1, s2 –

к диагональной или блочно-диагональной форме (5.1), (5.4). Однако известен более общий блочно-диагональный канонический вид матрицы A, который может быть получен и для кратных собственных чисел при любой исходной матрице [8, 23, 29, 51]. В этой форме матрица A имеет следующую блочную структуру: 4

где Ji, i=1, 2, . . . , r – клетки (ящики) Жордана, имеющие вид:

Блочно-диагональная форма матрицы A вида (5.6) называется вещественной (обобщен-

ной) жордановой матрицей. Из теории матриц (см. [23, 51]) известна следующая теорема.

4 В этом случае также говорят, что матрица A представлена в собственном базисе.

39

Теорема. Всякая квадратная матрица над полем вещественных чисел подобна некоторой обобщенной жордановой матрице, которая определяется однозначно с точностью до

порядка расположения клеток на главной диагонали.

Размер каждой клетки Ji вида (5.7) может быть от 1×1 до lj×lj, а размеры клеток Ji

вида (5.8) – от 2×2 до 2lj ×2lj, (где j – кратность корня sj ). Следовательно, в случае простых корней клетки, отвечающие вещественным собственным числам имеют порядок один: Ji =

образом, приведенная в п. 5.2 с. 37, форма (5.4) следует из (5.6) как частный случай.

Существенно, что размер клеток Жордана в общем случае не совпадает с кратностью корня. Одному и тому же значению si может отвечать несколько клеток разного размера.

чисел s1,2 = 0. Обе матрицы записаны в канонической жордановой форме, но матрица A1

совпадает с клеткой 2×2, а матрица A2 содержит две клетки J1 = J2 = 0 размера 1×1. Как отмечено выше, данные матрицы не могут быть преобразованы одна к другой никаким невырожденным преобразованием, т.е. они не являются подобными. В этом проявляется общее свойство матриц, согласно которому каноническая форма Жордана определяется единственным образом с точностью до порядка следования клеток [23, 51].

Вычисление передаточной функции системы с одним входом и одним выходом, представленной уравнениями с матрицей (5.6), дает следующий результат. Передаточная функ-

ция W(s), как и для случая простых собственных чисел, имеет вид (5.5), где соответствующие слагаемые равны

в которых многочлены Bi(s), Dj(s) имеют степени li −1 и 2lj −1 соответственно. Алгоритм определения размеров клеток Жордана для матриц с кратными собственны-

ми числами связан с выполнением следующих действий [8, 23, 51]:

– составление характеристической матрицы sIn−A и приведение ее к каноническому

40