ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

Лекция 2

2Уравнения состояния линейных систем. Линеаризация уравнений состояния

2.1Линейные системы

Если функции f(·), g(·) линейны по x, u, то уравнения состояния (1.1) могут быть записаны

в виде [8, 20]

Такие системы называются непрерывными линейными системами. 6 Здесь, как и выше,

x(t) Rn, y(t) Rl, u(t) Rm, а матрицы-функции A(t), B(t), C(t), D(t) имеют размеры

n×n, n×m, l×n, l×m соответственно.

Определение 1. Если D(t) ≡ 0, то то система (2.2) называется собственной (строго

реализуемой). В противном случае система называется несобственной. 7

Уравнения состояния (2.2) реализуемых непрерывных систем иллюстрируются струк-

турной схемой, приведенной на рис. 2.2.

Определение 2. Если матрицы A(t), B(t), C(t), D(t) постоянны (не зависят от времени

t), то система (2.2) называется стационарной, в противном случае – нестационарной.

Вид процессов в стационарных системах не зависит от того, какой момент времени

рассматривается как начальный. Поэтому для них можно считать t0 = 0.

Поскольку ниже основное внимание уделяется стационарным собственным системам, запишем соответствующие уравнения состояния:

Аналогично могут быть записаны уравнения состояния реализуемых дискретных си-

6 Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, согласно которому реакция системы на линейную комбинацию (суперпозицию) воздействий совпадает с той же линейной комбинацией реакций на

каждое воздействие в отдельности.

7Такое название связано с тем, что операция «чистого» дифференцирования нереализуема практически

исвязана с трудностями при математическом описании. Введение нереализуемых звеньев в математическую модель системы оправдано в тех случаях, когда реально присутствующие постоянные времени прене-

брежимо малы в рассматриваемом диапазоне частот. Это дает возможность уменьшить порядок уравнений системы.

11

A[k], B[k], C[k], D[k] имеют размеры n×n, n×m, l×n, l×m.

З а м е ч а н и е . Иногда уравнения состояния записывают более подробно, выделяя в

них, кроме управления, внешние возмущения ϕ(t), а также разделяя выходной сигнал на

управляемый yc(t) и измеряемый ym(t) выходы. Тогда уравнения (2.3) принимают вид

x˙ (t) = Ax(t) + Buu(t) + Bϕϕ(t), yc(t) = Ccx(t), ym(t) = Cmx(t).

Внекоторых случаях подобная детализация оказывается удобной и будет использоваться ниже.

2.2Линеаризация уравнений состояния

Вреальных системах всегда присутствуют нелинейные зависимости, обусловленные, например, такими свойствами физических звеньев, как насыщение, люфт, нечувствительность,

12

кулоново («сухое») трение и так далее. Эти эффекты приводят к нелинейности системы в целом. Исследование системы можно существенно упростить путем линеаризации ее модели, т.е. приближенной заменой уравнений вида (1.1) уравнениями (2.2) (или, для дискретных процессов, – использованием (2.5) вместо (2.4)).

Рассмотрим процесс линеаризации в общем виде. Пусть динамика системы описывается

Введем некоторые произвольно изменяющиеся по времени ("опорные") функции x (t)

Rn и u (t) Rm. Найдем линейную часть разложения функций f(·), g(·) в окрестности x (t), u (t) в ряд Тейлора. 8 В результате получим

x˙ (t) = A(t)Δx(t) + B(t)Δu(t) + f (t) − x˙ (t) + O2,

y(t) = C(t)Δx(t) + D(t)Δu(t) + O2,

где

8 Для осуществимости этой операции требуется дифференцируемость функций f(·), g(·) по x, u в окрестности x (t), u (t).

13

матрицы-функции размеров n×n, n×m, l×n, l×m (соответственно), f (t) = f(x (t), u (t), t).

При достаточно малых отклонениях x(t), u(t) от опорных траекторий x (t), u (t) малы-

ми величинами более высокого порядка можно пренебречь.

Конкретный вид линеаризованной модели зависит от выбора опорного движения

x (t), u (t). Основной интерес представляют следующие частные случаи [8, 9, 14, 22, 32]:

– в качестве опорного выбирается некоторое невозмущенное движение, когда x (t), u (t)

удовлетворяют исходному уравнению (2.7).

–в качестве опорного движения выбираются неизменные во времени состояние системы

ивходной процесс, т.е. считается, что x˙ (t) ≡ 0, u˙ (t) ≡ 0, x (t) ≡ x , u˙ (t) ≡ u (t). Тогда линеаризованная модель имеет вид

Заметим, что в приведенных выше соотношениях в качестве u(t), u (t) можно рассматривать не только внешние воздействия на систему, но и ее параметры. Тогда модель, полученная в результате линеаризации, позволяет приближенно судить о чувствительности решений системы к отклонению параметров от расчетных значений, причем эти отклонения представляются в виде аддитивных возмущений (так как они являются компонентами "расширенного"входного процесса u(t)).

Пример. Линеаризация модели маятника

Для иллюстрации рассмотрим линеаризацию уравнений свободного движения математического маятника массой m и длиной l. Влиянием сил трения будем пренебрегать. Для вектора состояния x(t) = [ϕ(t), ϕ˙(t)]T , где ϕ – угол поворота маятника, получим систему уравнений

14

Здесь J = ml2− момент инерции маятника, g− ускорение свободного падения. Нулевому значению угла ϕ соответствует положение маятника «вертикально вниз». Маятник (2.10) имеет два состояния равновесия: x10 = 0 и x20 = [π, 0]T . 9 Линеаризация (2.10) в окрестности этих состояний приводит к уравнениям вида (2.3) с матрицей

где знак «минус» соответствует нижнему, а знак «плюс» – верхнему состояниям равновесия (т.е. точкам x10 и x20. )

Рассмотрим теперь в качестве опорной траектории процесс x (t), у которого x1(t) =

Уравнения (2.11) представляют собой систему линейных неоднородных нестационарных

уравнений и дают более точное приближение к колебательному процессу в исходной нели-

15

силы источника в якорной цепи e(t). Внутренним сопротивлением источника пренебрегаем. Входными воздействиями считаем e(t) и приведенный момент нагрузки на валу двигателя

M(t). Выходами системы считаем угол поворота ротора α(t) и ток в якорной обмотке i(t). Динамику системы можно описать следующими уравнениями [11, 33]:

Здесь обозначены: L, R – индуктивность и активное сопротивление якорной цепи, J – приведенный момент инерции ротора, Ce, CM – постоянные, зависящие от конструктивных параметров двигателя и величины потока возбуждения.

В данном примере n = 3, m = l = 2. Введем вектор состояния так, чтобы его компонен-

2.3.2Угловое движение искусственного спутника Земли.

Рассмотрим упрощенную модель углового движения искусственного спутника Земли (ИСЗ) относительно продольной оси [12], рис. 2.4.

Обозначим через γ(t), ωx(t) – угол и угловую скорость крена ИСЗ; Jx – момент инерции ИСЗ относительно продольной оси x; Mx(t) – управляющий момент относительно этой оси,

развиваемый, например, реактивными двигателями. Запишем уравнение динамики вращательного движения и кинематическое соотношение, связывающее угол и угловую скорость.

Для данной системы n = 2, m = 1. Естественным образом можно определить вектор состояния, сопоставив его компонентам значения угла и угловой скорости: x(t) = [γ(t), ωx(t)]T .

18

Рисунок 2.4 – Искусственный спутник Земли.

Снова получаем уравнения вида (2.3), в которых матрицы

Вид матрицы C определяется тем, какие переменные измеряются или относительно каких из них формулируется цель управления. Например, если измеряется только угол крена, то l = 1 и C = [1, 0]. Если измеряются обе переменные, то l = 2, C = I2 . 10

Как видно из приведенных примеров, несмотря на то что вектор состояния принадлежит некоторому абстрактному пространству X , его компоненты могут отождествляться с

числовыми значениями конкретных физических переменных, представленных в выбранной системе единиц.

10 Здесь и далее через In обозначена единичная матрица порядка n. Иногда индекс n в записи будет опускаться.

19

Лекция 3

3Передаточные функции и их определение по уравнениям состояния

3.1Передаточные функции линейных систем

Рассмотрим линейную стационарную систему непрерывного времени

либо дискретную линейную стационарную систему

называется передаточной функцией системы (3.16) (или (3.17)) от входа u к выходу y.

Заметим, что W(λ) является матричной функцией размера l×m от комплексного аргумента. В литературе по теории регулирования обычно принято для непрерывных систем аргумент передаточной функции обозначать через s или p, а для дискретных систем – через

z [8, 11, 22, 29, 33, 38, 42].

Передаточные функции часто используются в различных задачах исследования динамических (в первую очередь – линейных и стационарных) систем. Применение этих функций для получения частотных характеристик будет показано в следующем параграфе. Чтобы сделать данное определение менее формальным и показать, как можно ввести передаточные функции в других ситуациях, используем для вывода выражения (3.18) преобразование Лапласа 11 [11,29,33,38,39,42]. Для этого при нулевых начальных условиях x0 =0 пе-

X(s)=(sIn −A)−1 BU(s) и Y (s)= C (sIn −A)−1 B+D U(s).

11 Изображением по Лапласу X(s) вектор-функции x(t) называется функция комплексной переменной

s, заданная как L x(t) = ∞ e−stx(t)dt.

0

20