ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

Как для внешних, так и для внутренних по отношению к предельному циклу G 8 имеются две взаимно исключающие возможности поведения вблизи G : все внутренние траектории, начинающиеся вблизи G «наматываются« на G, как спирали либо при t → ∞, либо при t →−∞. То же самое относится и ко внешним траекториям [36].

Если все внутренние и внешние траектории, начинающиеся вблизи G «наматываются» на G при t → ∞, то предельный цикл называется устойчивым. Соответственно, возможны

(вполне) неустойчивые и полуустойчивые предельные циклы.

Определение (А.А. Андронов, см. [36]). Устойчивый предельный цикл называется автоколебанием.

Таким образом, автоколебания представляют собой процесс, характерный исключительно для нелинейных систем. Практически можно считать, что такой процесс имеет место, когда состояние равновесия системы неустойчиво «в малом«, но система обладает диссипативностью, так что процессы при «больших» начальных отклонениях затухают. В качестве примера на рис. 18.2, б показан фазовый портрет автоколебательной системы

T 2x¨ + 2ξT x˙ + x = ku, u = c signx,˙ (T = 0.1 c, ξ = 0.25), являющейся упрощенной моделью генератора колебаний [36, 39]. Заметим, что предельный цикл является и сепаратрисой.

Нелинейным системам свойственны не только периодические собственные процессы. Возможны также квазипериодические режимы, соответствующие колебательным движениям с несоизмеримыми частотами. Более того, возможно возникновение хаотических колебательных процессов, имеющих непрерывный спектр частот и, следовательно, облада-

ющих свойствами, характерными для случайных процессов. Установившиеся хаотические процессы отличаются от предельных циклов и описываются притягивающими множества-

ми – аттракторами. Сведения о хаотических системах и методах их исследования можно найти в [8].

Наиболее общее из известных определений колебательных процессов, включающее как периодические, так и нерегулярные, хаотические, предложено В.А. Якубовичем в 1973 г. (см. [33, 38])

Определение. Решение x(t), σ(t) системы (18.7), (18.8) называется колебательным

(или колебательным по Якубовичу) по выходу σ, если выполнены следующие условия: 1)

||x(t)|| ≤ const; 2) Число изменений знака функции σ(t) бесконечно на t [0, ∞); 3) Число выходов σ(t) за пределы заданного интервала [−α, β], α > 0, β > 0, бесконечно на t [0, ∞).

8 Для простоты изложения сейчас рассматриваем случай фазовой плоскости, n= 2.

151

18.3.4 Состояния равновесия. Отрезки покоя

Обратимся теперь к состояниям равновесия нелинейных систем. Выше было отмечено, что такими состояниями являются особые точки, в которых вектор фазовой скорости v обращается в ноль. Для линейных стационарных систем x˙ (t) = Ax(t) выполнено v(x) = Ax,

поэтому множество состояний равновесия {x } – либо начало координат (при det A = 0), либо многообразие более высокой размерности, но всегда – некоторое линейное подпространство (аннулируемое подпространство N (A) матрицы A) пространства состояний,

{x }=N (A), N (A) X , см. сноску 3 на с. 67.

Для нелинейных систем особые точки определяются из уравнения (18.11), согласно которому состояния равновесия x должны удовлетворять нелинейному алгебраическому уравнению (точнее – системе уравнений относительно компонент xi вектора x ):

Отсюда видно, что в зависимости от правых частей уравнения (18.11), множество состояний равновесия {x } могут иметь сложную структуру. Это может быть совокупность изолированных точек либо отрезок прямой («отрезок покоя«), часть плоскости («пластинка покоя«,

«зона застоя«) и т.д.

Для иллюстрации на рис. 18.3 приведены примеры фазовых портретов систем с множеством изолированных состояний равновесия (а) и с отрезком покоя (б). 9

Рисунок 18.3 – Состояния равновесия нелинейных систем.

9 а – фазовый портрет системы x¨ + 0.5x˙ + 5 sin x = 0; б – системы x¨ + signx˙ + x = 0.

152

18.3.5 Неединственность решений. Пересечение траекторий

Как известно из теории дифференциальных уравнений [10], уравнение (18.11) имеет решение, притом единственное, при выполнении так называемого условия Липшица, согласно которому для всех x , x X существует константа (константа Липшица) L > 0 (L < ∞) не зависящая от x , x , что имеет место

Это утверждение является одной из теорем о существовании и единственности решений нормальной системы дифференциальных уравнений (18.11) [10,36]. Условие Липшица означает, что функция f(x) не должна изменяться в любой области пространства X быстрее некоторой линейной функции с константой, не зависящей от выбора области.

Для линейных систем условие (18.13), очевидно, выполнено, что позволило в п. 10.1 сформулировать общие свойства фазовых портретов таких систем. Для нелинейных систем условие Липшица может быть нарушено. Например, система может содержать «разрывную» (релейную) нелинейность. Тогда в окрестности точек разрыва правые части уравнения (18.11) растут неограниченно быстро. Другим примером являются квадратичные, кубичные нелинейности, произведения переменных состояния в f(x) и т.д. 10

В зависимости от вида функции f(x) для нелинейных систем возможны разные процессы, вызванные нарушением указанного условия. Например, возможно слияние различных фазовых траекторий в одну. Такой вид поведения свойствен, прежде всего системам

с разрывными нелинейностями. Например, в оптимальных по быстродействию системах во многих случаях все траектории сливаются в одну, проходящую через заданную точ-

ку [33]. В системах с релейно-логическим управлением также возможен предельный цикл, состоящий из участков фазовых кривых, на который изображающая точка попадает из

различных начальных условий за конечное время (см. рис. 18.4, a). Характерно также появление скользящих режимов, при которых разные траектории попадают через конечное

время на некоторую поверхность (не являющуюся, вообще говоря, решением (18.11)). Как частный случай движение по некоторой траектории может за конечное время привести к состоянию равновесия системы. Это означает, что переходный процесс в непрерывной нелинейной системе может иметь конечную длительность, что исключено для стационарных

10 Иногда используется так называемое локальное условие Липшица (в отличие от глобального (18.13)), согласно которому константа L должна «обслуживать» лишь некоторую ограниченную область пространства состояний [19]. Тогда, например для f(x) = x2, выполнено локальное условие Липшица, а для f(x) = sign(x) в окрестности точки 0 оно не выполнено. Глобальное условие Липшица (18.13) не выполнено в обоих случаях.

153

непрерывных линейных систем.

Заметим, что для таких систем теряется возможность определить развитие процесса в прошлом по его текущему состоянию. Ранее динамические детерминированные системы были определены как системы, у которых по начальному состоянию и входному процессу можно однозначно определить будущее поведение. Отмеченное выше свойство не противоречит данному определению, так как последнее относится к будущему, а не к прошлому развитию процесса. Рассмотрим теперь следующий пример.

Пусть система описывается уравнением первого порядка

x˙ (t)=sign(x(t)) |x(t)|, x(0)=x0.

Положим x0 = 0. Очевидно, уравнение имеет тривиальное решение x1(t) ≡ 0. Кроме того,

есть решения данного уравнения при указанном начальном условии.

Заметим, что в данном примере условие Липшица нарушено в окрестности начала координат.

Следовательно, нелинейность уравнений системы может привести к сложности в определении самого понятия ее состояния. Конечно, при технической реализации такой системы или ее моделировании развитие процесса пойдет по конкретной траектории, однако полученное решение будет сильно зависеть от начальных условий, погрешностей, возмущений. Здесь мы обращаем внимание на возникающие теоретические затруднения.

18.3.6 Скользящие режимы

Важным классом нелинейных систем с разрывной правой частью являются системы, для которых свойственно существование скользящих режимов – движения изображающей точки по поверхности разрыва, вызванное тем, что векторы фазовой скорости направлены относительно этой поверхности в противоположные области. В результате изображающая точка движется по поверхности разрыва, причем вектор фазовой скорости не может быть определен по уравнениям системы ни для одной из областей.

Возникновение скользящего режима на кривой, заданной уравнением σ(x) = 0, показано на рис. 18.4, б. Как видно из рисунка, векторы фазовой скорости вблизи границы разрыва направлены в противоположные области. Это приводит к тому, что изображающая точка за конечное время попадает на кривую σ(x) = 0 и далее движется по ней. Здесь также наблюдается пересечение различных фазовых траекторий.

154

Рисунок 18.4 – Пересекающиеся траектории и скользящий режим

Возникает задача определения движения системы по указанной поверхности, другими словами – определения решения уравнения (18.11), если функция f(x) претерпевает разрыв (по x) в каждый момент времени. Известен ряд подходов к решению этой задачи (см. [17, 46]). Некоторые из них будут рассмотрены в п. 22

18.3.7 Влияние внешних воздействий

Для нелинейных нестационарных систем, систем подверженных внешним воздействиям, характер поведения становится еще более сложным. Как отмечено выше, в нелинейном случае отсутствует свойство разделения, поэтому как устойчивость, так и качество процессов в таких системах следует изучать, вообще говоря, с учетом одновременно как начальных условий, так и внешних воздействий.

При внешних воздействиях могут возникать такие явления, как подавление и возбуждение автоколебаний (в зависимости от входного процесса), принудительная синхронизация

колебаний, режим биений, явление скачкообразного и параметрического резонанса, возникновение хаотических процессов и т.д. [11, 32, 33].

Актуальным является вопрос изучения влияния нелинейных звеньев на свойства системы, для которой в основном применимо линейное описание. Здесь могут быть самые разнообразные ситуации. Остановимся лишь на некоторых.

При наличии нечувствительности датчиков систем управления прежде всего падает точность системы. Кроме того, для статически неустойчивых объектов управления из-за

155

вызванного нечувствительностью уменьшения коэффициента передачи при малых отклонениях состояние равновесия становится неустойчивым. Это может привести к автоколебательному (или даже расходящемуся) процессу [50]. Аналогичное влияние оказывает квантование сигналов по уровню в системах с цифровыми регуляторами [11, 33].

Влияние насыщения аналогично уменьшению коэффициента усиления для сигналов большой амплитуды. Если для абсолютно устойчивых систем это приводит к потере точности, то для условно устойчивых систем насыщение может привести к неустойчивости. Кроме того, при насыщении сигнала управления доля демпфирующих составляющих в управляющем воздействии уменьшается, что также может привести к нежелательным с точки зрения устойчивости системы явлениям [50].

Релейные (разрывные) характеристики при малых отклонениях входного сигнала проявляют себя как звенья с большим коэффициентом усиления. Это приводит к повышению точности, однако может вызвать нежелательные автоколебания или нарушение устойчивости системы [33, 39, 46, 48].

156

Лекция 19

19 Методы исследования нелинейных систем

19.1Задачи и методы теории нелинейных систем

Имеются две основные задачи теории нелинейных систем управления.

Первая основная задача – анализ. Анализ состоит в исследовании известной математической модели системы с целью определения ее свойств и установления зависимости этих свойств от параметров системы. Различают следующие задачи анализа.

Анализ при фиксированных параметрах. При исследовании свободного движения системы устанавливается разбиение пространства состояний на траектории. Выясняются существование и устойчивость установившихся режимов (к которым относятся состояния

равновесия, предельные циклы), выясняются области притяжения этих режимов. Производится оценка качества переходных процессов.

Выполняется исследование характера вынужденных режимов при влиянии на систему

внешних воздействий. Здесь требуется учитывать виды и уровни воздействий, возникающих в процессе эксплуатации системы.

Анализ при различных параметрах. Рассматривается класс нелинейных систем одинаковой структуры, но обладающих различными параметрами {μ1, μ2, . . . , μk}. Точка в

пространстве параметров {μ} отвечает конкретной системе из данного класса. Пространство параметров разбивается на области с топологически эквивалентными фазовыми порт-

ретами. Границы этих областей называются бифуркационными поверхностями, построение которых и входит во вторую задачу анализа.

Вторая основная задача – синтез. Синтез заключается в определении закона управления, обеспечивающего требуемое (например, оптимальное, в каком-либо смысле) качество

работы системы. Синтез может выполняться при заданной или свободной структуре регулятора.

Синтез при заданной структуре регулятора. Вид закона управления считается заданным, задача состоит в параметрическом синтезе, т.е. в определении параметров ре-

гулятора, обеспечивающих наилучшее значение заданного показателя качества. Наиболее простой с точки зрения привлекаемой теории является параметрический син-

тез. Он выполняется посредством анализа и отбора вариантов с помощью известных в математическом программировании алгоритмов оптимизации. Здесь, правда, следует учитывать, что объем работ при анализе может оказаться недопустимо большим для его мно-

157

гократного выполнения. Кроме того, важно правильно построить функцию качества системы, которая бы адекватно отражала характерную для практики многокритериальность

при формализации задачи. Поэтому при параметрическом синтезе имеют большое значение и теоретические исследования.

Синтез при свободной структуре регулятора. Вид закона управления не задан

идолжен быть получен в результате синтеза. При такой постановке задачи используются методы перечисленных в п. 18.1 направлений теории систем (оптимальное, адаптивное и экстремальное управление, методы нелинейной коррекции, систем с переменной структурой

ит.д.). Вопрос об использовании того, или иного, метода решается на основе предъявленных к системе требований и сведений об условиях ее работы.

Несмотря на то что синтез при свободной структуре регулятора кажется еще более

сложным, чем параметрический синтез, надо заметить, что в теории известны некоторые подходы, при которых структура, а иногда и параметры закона управления, получаются

«автоматически» исходя из цели управления. Это относится, например, к решению ряда оптимизационных задач [33,39], к синтезу адаптивных законов управления [47,48] и регуля-

торов с переменной структурой на скользящих режимах [46]. Некоторые из перечисленных методов рассматриваются ниже.

Теория нелинейных систем прошла длительный путь становления и продолжает интен-

сивно развиваться в настоящее время. Эта теория постоянно обогащается результатами, в ее рамках появляются новые направления.

Методы теории нелинейных систем можно разбить на аналитические и численные. Аналитические методы в свою очередь можно разделить на точные и приближенные. Среди численных методов исследования основную роль играют сейчас машинные методы, связанные с изучением свойств нелинейных систем на ЭВМ, хотя находят применение и графические, или графо-аналитические, методы.

Точные методы в отличие от приближенных имеют строгое теоретическое обоснование, ясна область их применения, полученные с помощью этих методов результаты дают точные (с учетом выполненных предварительных допущений) сведения о системе. К недостаткам этих методов относится обычно сравнительно узкая область применения – некоторые усложнения модели системы могут привести к невозможности найти подходящий точный метод. Другим их недостатком могут оказаться высокие требования к теоретической подго-

товке исследователя. Приближенные методы менее зависят от сложности рассматриваемой задачи и, кроме того, ориентированы на использование инженерных методик проектирования.

Аналитические методы в принципе позволяют получить результат в общем виде – в

158

форме соотношений, связывающих параметры системы с ее характеристиками. Это упрощает процедуру параметрического синтеза. Но аналитические методы обладают меньшей универсальностью, чем численные. Это связано с известной сложностью аналитического исследования нелинейных систем. Другой проблемой, возникающей при использовании аналитических методов, может стать сложность полученных выражений для последую-

щего использования. В этом случае может оказаться, что непосредственное применение численных методов позволяет с меньшими предварительными затратами и допущениями

получить требуемый результат.

Ниже будут рассмотрены некоторые известные методы исследования нелинейных систем.

19.2Методы фазового пространства

Методы фазового пространства относятся к наиболее ранним точным аналитическим методам теории нелинейных систем. К ним относится метод фазовой плоскости (Леоте, 1885) и метод точечных отображений (Пуанкаре, Биркгоф) [36].

19.2.1 Метод фазовой плоскости

Метод фазовой плоскости используется для исследования автономных систем второго порядка и заключается в построении фазовых портретов. Для этого из уравнений состояния исключается время и определяются уравнения фазовых кривых. При использовании этого метода целесообразно приведение уравнений системы к канонической форме.

Задача становится достаточно простой, если рассматривается система с кусочно-линей- ной характеристикой. Тогда в разных областях пространства состояний система описывается линейными уравнениями, в соответствии с которыми строятся фазовые траектории. Далее выполняется «сшивание» траекторий по линиям переключения, определяемым видом нелинейной зависимости. Это позволяет построить фазовый портрет исследуемой нелинейной системы.1 Далее, поскольку состояния на границах интервалов определены, можно получить и вид переходных процессов в системе (метод припасовывания).

Хотя этот метод имеет ограниченное применение, он остается удобным средством ис-

следования нелинейных систем невысокого порядка с «простыми» нелинейными характеристиками.

1 Здесь используется свойство, согласно которому конечные значения состояния системы на некотором интервале могут использоваться в качестве начальных для следующего интервала, см. 1

159

19.2.2 Метод точечных отображений

Метод точечных отображений, или отображений Пуанкаре, состоит в построении некоторой секущей поверхности L и траекторий, выпущенных из L. Одно из основных применений метода – анализ устойчивости и определение параметров (частоты и амплитуды) предельных циклов при n = 2. Изложим вкратце основные положения данного метода, следуя [36].

Пусть G есть некоторый предельный цикл. Выберем кривую L – секущую, без касания пересекающую G. Пусть точка x0 G, x0 L – точка пересечения кривых G и L. Выберем близкую к ней точку x L. Пусть соответствующая x траектория пересекает в следующий раз кривую L в некоторой точке x L. Зависимость x = Ψ(x ) есть точечное отображение, переводящее исходную точку пространства состояний в другую в соответствии с уравнениями системы. Точка x0, находящаяся на траектории предельного цикла, является

неподвижной точкой отображения Ψ(·), т.е. выполнено равенство x0 = Ψ(x0).

Введем ρ(x) – расстояние вдоль линии L от начальной точки O этой кривой до точки x. Обозначим g = ρ(x ), h = ρ(x ). Используя точечное отображение, получаем функцию

последования h = ϕ(g). Очевидно, что если g0 = ρ(x0), то неподвижная точка, принадлежащая предельному циклу, находится из решения уравнения

Графически решение этого уравнения можно представить как отыскание точек пересечения биссектрисы координатной плоскости (g, h) с функцией последования h = ϕ(g). Изучение поведения функции последования в точках пересечения дает возможность определить

зовании метода точечных отображений вызывает определение функции последования. Пример использования метода точечных отображений для исследования генератора

колебаний рассмотрен в п. 19.3.4 с. 169.

В последнее время появились публикации, в которых метод точечных отображений используется для исследования хаотических процессов, см. [8, 9, 32].

160