ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

Адаптивные (самонастраивающиеся) системы управления. Эти системы предназначены для работы в условиях значительной априорной неопределенности параметров объекта и условий среды. Недостающая информация об объекте получается автоматически в процессе работы системы на основе текущих измерений. В подавляющем большинстве случаев адаптивные системы являются существенно нелинейными [6,33,38,47,48].

Экстремальные системы управления. Экстремальные системы должны обеспечить в процессе работы минимальное (или максимальное) значение некоторого функционала качества, зависящего от значений процесса в системе. В таких системах, следовательно, цель управления задана не в виде требуемого значения выхода объекта, а через функционал качества. В процессе работы должна быть обеспечена автоматическая настройка на экстремум данного функционала, положение которого может меняться в зависимости от разных условий и быть неизвестным до начала работы системы [6, 38].

Системы с переменной структурой. Такие системы включают в себя несколько, как правило, линейных регуляторов («структур«), между которыми происходит переключение при формировании управляющего воздействия, причем выбор структуры выполняется на основе текущей информации о состоянии объекта (а не программно во времени). Это приводит к тому, что закон управления в целом оказывается существенно нелинейным [6, 17, 38, 46].

Системы с нелинейными корректирующими устройствами (НКУ). При разработке нелинейных корректирующих устройств обычно ставится задача «развязать» зависимость между амплитудной и фазовой частотными характеристиками, свойственную для всех линейных звеньев. Достижение этого эффекта позволяет, например, осуществить амплитудное подавление влияния колебаний, вызванных упругими свойствами конструкций без внесения нежелательного фазового запаздывания. НКУ могут оказаться эффективными и для повышения точности систем управления [50].

Имеются и другие классы систем с преднамеренно вводимыми нелинейностями. Изучение всех возможных вариантов использования нелинейных законов управления, как и разработанных методов теории нелинейных систем, конечно же выходит за рамки этой книги, поэтому в дальнейшем кратко ознакомимся лишь с некоторыми из них.

18.2Уравнения нелинейных звеньев и систем

Как и для линейных систем, можно выделить статические (безынерционные) и динамические (инерционные) нелинейные звенья. Напомним, что поведение статических звеньев

141

полностью определяется их статической характеристикой, то есть зависимостью выходной величины от входной в тот же момент времени:

y(t)=F (u(t)), −для стационарных звеньев; y(t)=F (u(t), t), −для нестационарных звеньев.

Статическим описанием пользуются, когда можно пренебречь инерционностью звена для данной задачи (более подробно см. [32]).

Для конечномерных дифференциальных систем (непрерывного времени) динамические звенья можно описать уравнениями состояния

x˙(t) = f(x, u, t), −уравнение состояния,

(18.1)

y(t) = g(x, u, t). − уравнение выхода.

Здесь x(t) Rn, u(t) Rm, y(t) Rl – векторы состояния, входа и выхода системы; f(·)

Rn, g(·) Rl – вектор-функции векторных аргументов. Для стационарных систем функции f(·), g(·) не зависят явно от времени.

Данное описание применимо к MIMO-системам. Для SISO-систем (m = l = 1) использ-

уется запись в виде одного дифференциального уравнения n-го порядка

Это уравнение во многих случаях разрешимо относительно старшей производной и может быть записано в виде

Из этого уравнения естественным образом может быть получена нормальная форма Коши

гда, учитывая, что введенные переменные являются последовательными производными и принимая во внимание уравнение (18.2), получим систему уравнений

142

y(t)=x1(t).

Обратимся теперь к некоторым «типовым» статическим звеньям, уравнения которых часто встречаются при описании нелинейных зависимостей. Рассматриваем стационарные звенья y =F (x) с одним входом и одним выходом.

1. Насыщение. Функция F (x) ограничена значениями F−, F+, т.е. для всех x R

выполнено F− ≤ F (x) ≤ F+. Часто рассматриваются кусочно-линейные функции, которые

в соответствующем масштабе могут быть выражены зависимостью y(x)=sat(x), где

−1, x < 1.

2.Нечувствительность. Функция F (x) обращается в ноль для всех x, лежащих в некоторой окрестности нуля, F (x) = 0 при x [x−, x+], x− < 0 < x+. Обычно рассматри-

ваются кусочно-линейные симметричные зависимости, которые можно задать выражением

где > 0 – порог чувствительности (зона нечувствительности).

3. Нечувствительность с насыщением. Сочетание характеристик указанных в пп. 1,

2 типов. При кусочно-линейной аппроксимации эта характеристика может быть задана в виде

Группа релейных («разрывных«) характеристик:

4. «Идеальное» двухпозиционное реле, сигнум-функция. y(x)=c · sign(x), где сигнум-

функция (функция знака) sign(x) описывается выражением

где параметр c > 0 – величина «полки реле» . 4

4 Вообще говоря, значение sign(0) необязательно должно быть нулевым. По некоторым соображениям, удобнее использовать включение и считать, что sign(0) является отрезком [−1, 1]; тогда y(x) csign (x), см. [17, 46].

143

5. Двухпозиционное реле с нечувствительностью. Сочетание характеристик пп. 2,

−c+Δ, x <− .

6.Ступенчатая характеристика. Такой вид нелинейности свойственен аналого-циф- ровым преобразователям, выполняющим операции округления или усечения, вызванные

ограниченностью разрядной сетки управляющей ЦВМ, а также свойственное некоторым видам датчиков систем управления.

Группа неоднозначных характеристик:

7.Гистерезис (положительный или отрицательный),

8.Люфт, консервативный люфт,

атакже комбинации этих характеристик релейными зависимостями и нечувствительностью. Сюда относятся характеристики двухпозиционного и трехпозиционного реле.

З а м е ч а н и е 1 . Строго говоря, нелинейности с неоднозначными характеристиками относятся не к статическим, а к динамическим звеньям со специфичными уравнениями и пространством состояний. Выход этих звеньев зависит не только от текущего значения входа, но и от его предыстории и начального состояния. Поэтому для них правильнее исп-

ользовать запись y(t)=F (u[t0, t], t) [39].

З а м е ч а н и е 2 . В некоторых случаях рассматриваются характеристики ви-

да y(t) = F (u(t), u˙ (t), t). Звенья с такими характеристиками не описываются уравнениями состояния (18.1), но фактически являются динамическими. Выход y(t) таких звеньев определяется поведением входного процесса на некотором (бесконечно малом) интервале времени [20]. Исходя из этого, нелинейности указанного вида называют динамическими нелинейностями.

Рассмотрим замкнутую динамическую систему, состоящую из динамического объекта

в которых через xp(t) Rnp , xc(t) Rnc обозначены векторы состояния объекта управления и регулятора, через y(t) Rl – выход объекта, который считается выходом замкнутой системы, а через u(t) Rm – управляющее воздействие, которое поступает с выхода регу-

144

лятора. Задающее (командное) воздействие и возмущения отражены зависимостью векторфункций f(·), g(·) от времени. Подстановкой выражений для u(t) и y(t) из уравнений выхода в соответствующие уравнения состояния получаем уравнения состояния замкнутой системы относительно общего вектора состояния x¯(t) = col{xp(t), xc(t)} Rn, n=np +nc, в виде

З а м е ч а н и е 1 . Далеко не во всех случаях и объект, и регулятор являются динамическими звеньями. Распространены ситуации, в которых регулятор – статическое (например, релейное, или линейное) звено. Тогда векторы состояния расширенной и ис-

ходной систем совпадают, а для статической подсистемы записываются только уравнения выхода.

З а м е ч а н и е 2 . Если оба уравнения выхода содержат «прямую связь« между входом и выходом соответствующей подсистемы, т.е. если и объект, и регулятор не являются строго реализуемыми звеньями, то при указанной подстановке возникает «замкнутый контур«, появление которого приводит к необходимости разрешения системы алгебраических уравнений

gp (xp(t), u(t), t) = 0, gc (xc(t), y(t), t) = 0.

При моделировании таких систем можно использовать процедуры решения алгебро-диф- ференциальных уравнений [32].

Такое представление уравнений замкнутой нелинейной системы соответствует делению по функциональному признаку (на объект управления и регулятор). Это естественно при составлении уравнений системы, однако для дальнейших исследований более удобной бывает запись уравнений замкнутой системы в форме так называемой системы Лурье, в которой выделяются линейная и нелинейная части, причем вся динамика системы сосредоточена в линейной части, а нелинейность является статической (с учетом приведенного выше замечания относительно неоднозначных нелинейных характеристик). Рассмотрим эту форму записи более подробно.

Пусть линейная часть системы задается уравнениями состояния

145

Здесь x(t) Rn – вектор состояния линейной части системы (18.7), одновремено служащий вектором состояния системы в целом; σ(t) Rl – вектор выхода линейной части системы;

ξ(t) Rm – вектор выхода нелинейной части системы (18.8). Вектор-функция r(t) Rn и

зависимость ϕ(·) от t в уравнениях (18.7), (18.8) позволяют учесть внешние воздействия на систему (рис. 18.1).

Рисунок 18.1 – Структура нелинейной системы в виде взаимосвязанных линейной и нелинейной подсистем.

При кажущейся ограниченности такой формы записи уравнений замкнутой системы она является достаточно общей. Действительно, если положить в (18.7), (18.8) A(t) ≡ 0n ×n, B(t) ≡ C(t) ≡ In, D(t) ≡ 0n ×n, т.е. если принять, что линейная часть – совокупность независимых интеграторов, все выходы которых образуют вектор σ(t), а на входы каждого из них поступают соответствующие компоненты вектора ξ(t), получим x˙ (t) = ξ(t), σ(t) = x(t). Положив ϕ(x, t) ≡ f(x, t), получаем, что к системе Лурье приводятся общие уравнения нелинейной и нестационарной системы x˙ (t)=f(x, t).

Если в системе имеется один нелинейный блок со скалярным выходом ξ(t) R (либо если преобразованием нелинейных звеньев ее можно привести к такому виду), 5 то линей-

5 Такое преобразование выполнимо, если несколько нелинейных статических звеньев связаны непосредственно между собой и между ними нет промежуточных динамических звеньев (более подробно см. [11,33]).

146

ную часть (ЛЧ) системы в стационарном случае можно описать передаточной функцией между входом ЛЧ ξ и выходом σ : Wl(s) = C(sI−A)−1B +D. Получаем распространенный вид системы, замкнутой обратной связью. Особенность состоит в том, что обратная связь нелинейна.

З а м е ч а н и е . Поскольку в теории управления принято обычно рассматривать системы, замкнутые отрицательной обратной связью, можно изменить знак передаточной функции линейной части Wl(s), либо считать, что выход нелинейного блока определяется выражением ξ(t)=−ϕ(σ, t).

18.3 Особенности процессов в нелинейных системах

Как отмечено выше, нелинейные системы отличаются от линейных весьма сложным и разнообразным поведением. Можно считать, что причиной этого является невыполнение принципа суперпозиции для нелинейных систем. Рассмотрим некоторые, наиболее характерные, особенности поведения таких систем.

18.3.1 Принцип суперпозиции

Обратимся теперь к общему определению линейных динамических систем [20].

Как отмечено в п. 1 выход y(t) динамической системы определяется функциональным

уравнением

y(t)=S x(t0); u[t0, t] ,

где x(t0) –начальное состояние системы, u[t0, t] – входное воздействие, заданное на интервале

[t0, t], t > t0.

т.е. при любом начальном состоянии разность между реакциями на произвольные входные воздействия равна реакции на разность этих же воздействий, полученную при нулевом

147

т.е. при нулевом входе реакция на линейную комбинацию начальных состояний равна такой же линейной комбинации реакций при каждом начальном состоянии в отдельности. 6

Из свойства (18.9), в частности при k = 1, v = O, следует S(x0; u[t0, t])− S(x0; O) = S(0; u[t0, t]), откуда

y(t)=S(x0; O)+S(0; u[t0, t]).

Другими словами, справедливо свойство разделения – движение линейной системы при любых начальных условиях и любом входном воздействии можно получить как сумму переходной и вынужденной составляющих. Переходная составляющая S(x0; O) есть процесс,

полученный при нулевом входе и заданных начальных условиях x0, а вынужденная состав-

ляющая S 0; u есть реакция системы на заданное входное воздействие при нулевых начальных условиях.

Свойство (18.10) приводит к тому, что характер собственных движений системы не зависит от размеров области пространства состояний, в которой эти движения рассматриваются. Более точно, полагая в (18.10) x0 =x0, x0 =0, получим для всех k, x0

S(kx0; O)=kS(x0; O).

Следовательно, вид фазовых портретов линейных стационарных систем не зависит от размера окрестности начала координат – эти фазовые портреты можно преобразовать друг к другу изменением масштаба.

Совокупности этих свойств (либо одного из них) лишены нелинейные системы. Это приводит к эффектам, некоторые из которых рассмотрены ниже. Основное внимание уделим собственным движениям в нелинейных системах – характер вынужденных процессов оказывается еще более сложным и разнообразным.

18.3.2 Сепаратрисные поверхности

Как отмечено выше, у нелинейных систем может быть различный характер собственных движений в разных областях пространства состояний. Поэтому при исследовании таких систем недостаточно, вообще говоря, рассматривать лишь некоторую окрестность состояния равновесия – исследование должно охватывать все возможные области пространства состояний. Естественно, это сильно усложняет анализ. При использовании численных методов исследования (например, моделирования на ЭВМ) количество вычислений оказыва-

6 Здесь через 0 обозначен нулевой элемент пространства состояний X , а через O – нулевой элемент пространства функций, u(t) ≡ 0.

148

Рисунок 18.2 – Сепаратрисы и предельный цикл.

ного состояния системы приводит к пропорциональному изменению амплитуды колебаний, как это видно из формулы Коши (11.8) для решений линейных систем (см. [33]). У нелинейных систем возможно существование грубых периодических процессов, характеристики которых не меняются (качественно) при изменении в определенных пределах параметров

Определение [36]. Периодическое решение x(t), а также соответствующая ему траектория G, считается изолированным периодическим решением и называется предельным циклом, если существует такое ρ > 0, что какова бы ни была точка x X , находящаяся от кривой G на положительном расстоянии ρG (x ), 7 меньшем, чем ρ, 0 < ρG (x ) < ρ; проходящее через нее решение уравнения (18.11) не является периодическим.

Это означает, что при n=2 на фазовой плоскости вблизи предельных циклов не проходит других замкнутых траекторий решений уравнения (18.11). Отметим, что у линейных консервативных систем замкнутые траектории лежат «всюду плотно» – на сколь угодно малом расстоянии от данной замкнутой кривой находятся другие замкнутые траектории.

7 Расстояние ρG (x) от точки x до кривой G в пространстве Rn можно определить как ρG (x) = infxG G (||x − xG ||), где || · || – некоторая (например, евклидова) векторная норма в Rn.

150