ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

A имеет вид

где Li, i = 1, 2, . . . , r – блоки вида (6.1). Подобно канонической форме Жордана, данная форма может быть получена для любой матрицы A.

Предполагая возможным преобразование матрицы A к виду (6.1), рассмотрим алгоритмы приведения уравнений состояния к формам УКП и НКП.

8.2Управляемое каноническое представление

Как и в п. 6 с. 42, остановимся на системах с одним входом – u(t) R. Прежде чем перейти непосредственно к данному преобразованию, рассмотрим несколько более общую задачу.

2 Мы здесь предполагаем, что такая матрица существует. Прежде всего это означает, что матрицы A и

˜ имеют одинаковые характеристические многочлены.

A

51

С учетом введенных обозначений уравнения (8.3) принимают вид

Обратимся теперь непосредственно к поставленной задаче преобразования уравнений состояния к форме УКП, ограничиваясь рассмотренными в главе 6 с. 42, SISO и SIMOсистемами. В данной канонической форме матрица A должна иметь вид матрицы Фробе-

˜ ˜

ниуса (6.1), а матрица B = [0, 0, . . . , 0, 1]T . Именно в таком виде запишем матрицы A, B

уравнений состояния в новом базисе. Предварительно следует вычислить коэффициенты ai

˜ −1

соотношение C =CT .

З а м е ч а н и е . Как нетрудно убедиться непосредственным вычислением, для матриц

циентов ai). Поэтому требуется проверить только невырожденность матрицы Q исходной

˜ ˜

системы. Кроме того, специальный вид матриц A, B позволяет получить достаточно про-

˜

стую формулу для Q [4, 22].

8.3Наблюдаемое каноническое представление

Описанный выше прием можно использовать и для перехода к другим формам уравнений состояния, для которых задан вид матриц A и C, например – к описанной в п. 6.2 с. 44, форме НКП. Ограничимся рассмотрением SISO- и MISO-систем (y(t) R, l =1). Предварительно рассмотрим более общую задачу.

3 Приведенные выше рассуждения относятся к вычислению матрицы преобразования T, а не к доказательству ее существования. В частности, предполагалось выполненным соотношение (7.1) при некоторой T, detT = 0. Вопрос о существовании матрицы T связан с рассмотренными ниже в главе 15 с. 104, понятиями управляемости и наблюдаемости систем. Более подробные сведения приведены в [17, 37].

52

c ˜ c˜

т.е. пары матриц (A, ) и (A, ) отвечают приведенным в п. 4 с. 31, соотношениям для преобразования базиса уравнений состояния. 4

c˜ ˜ c˜ ˜ c −1

Умножим выражение для в (8.6) справа на матрицу A. Получим A = AT . Учи-

c˜ ˜ c −1

тывая первую формулу в (8.6), находим, что A = AT . Снова умножив полученное

˜ c ˜2 c 2 −1

выражение на A и учитывая (7.1), получаем ˜A = A T . Как и в пункте 8.2, после ряда итераций, приходим к системе уравнений

одинаковые характеристические многочлены.

53

Рассмотрим теперь непосредственно переход к форме НКП, для SISO-, MISO-систем. В этом базисе матрица A должна иметь вид матрицы Фробениуса (6.1), а матрица C = [1,

˜ ˜

0, . . . , 0, 0]. В таком виде и выберем матрицы A, C уравнений состояния в новом базисе.

Вычислим коэффициенты ai характеристического многочлена A(s) = sn +a1sn−1 +a2sn−2 +

любых коэффициентах ai. Следовательно, требуется проверить только невырожденность матрицы Q исходной системы. Кроме того, это упрощает вычисление матрицы преобразо-

˜

вания T, так как из (8.9) получим T =Q, т.е. B =QB.

54

Лекция 9

9Определение уравнений состояния по передаточной функции

Задача определения уравнений состояния по передаточной функции системы есть, по существу, известная в теории дифференциальных уравнений задача приведения линейных

уравнений n-го порядка к нормальной форме Коши [10, 29, 36]. Некоторое отличие состоит в том, что в теории управления принято рассматривать уравнения, в которые входят производные не только от выхода, но и от входа системы.

Начнем рассмотрение этой задачи с SISO-систем. Полагаем, что система задана передаточной функцией

и является строго реализуемой, т.е. r < n. 1

Как было отмечено в 4, уравнения состояния по передаточной функции определяются с точностью до произвольного невырожденного преобразования. Поэтому данной передаточной функции соответствует множество различных уравнений состояния и поставленная задача решается неоднозначно. Выбор формы уравнений состояния зависит от того, как они будут использоваться в дальнейшем. Рассмотрим некоторые возможные варианты.

В некоторых приложениях желательно, чтобы значения переменных состояния соответствовали определенным физическим переменным (как в рассмотренных в п. 2.3 примерах). Тогда структура матриц A, B, C, D в (4.3) оказывается заданной и задача состоит в нахождении некоторых их элементов. Эта задача может быть решена на основе обратного перехода от уравнений состояния к передаточной функции методом неопределенных коэффициентов. Далее рассмотрим ситуацию, в которой физический смысл переменных состояния не имеет значения и выбор вида уравнений состояния происходит из других соображений.

Прежде всего, если задана только передаточная функция, естественно искать ее минимальную реализацию, т.е. такую форму уравнений состояния, при которой заданная передаточная функция получается при наименьшей размерности пространства X (следовательно,

1 При r = n могут быть получены уравнения состояния вида (4.3), где D = 0. Для r > n получаются нереализуемые системы, передаточные функции которых приводят к более общим уравнениям (2.2). В данной книге ограничимся рассмотрением реализуемых систем.

55

– при минимально возможном порядке уравнений (4.3)). Как известно, минимальная реализация соответствует невырожденным (полностью управляемым и полностью наблюдаемым) системам. 2 Для SISO-систем это эквивалентно тому, что по уравнениям состояния получается несократимая передаточная функция, степень знаменателя которой degA(s)

совпадает с размерностью вектора состояния. Поэтому в дальнейшем будем считать, что в числителе и знаменателе заданной передаточной функции отсутствуют явно (структурно) выраженные общие сомножители. Это условие, впрочем, не исключает того, что передаточная функция задана в общем виде и при определенных сочетаниях параметров найденная реализация не будет минимальной.

Итак, считаем, что степень знаменателя передаточной функции задана и равна n. Поскольку характеристический многочлен матрицы A совпадает со знаменателем передаточной функции, 3 а степень характеристического многочлена равна размерности dimX

пространства состояний X , то искомые уравнения состояния должы быть n-го порядка: x X = Rn.

Теперь можно использовать одну из приведенных выше канонических форм. Проще всего получаются уравнения состояния в форме УКП.

9.1Управляемое каноническое представление

Уравнения состояния в форме УКП (6.3) имеют матрицы A, B вида (6.1), (6.2). Запишем эти уравнения явно для данной передаточной функции (9.1). Получим

y(t)=brx1(t)+br−1x2(t)+· · ·+b0xr+1(t),

2Вопросы управляемости и наблюдаемости рассматриваются ниже в главе 15

3Следует обратить внимание на то, что знаменатель в (9.1) является приведенным многочленом.

56

Данную форму нетрудно использовать и для SIMO-систем, у которых передаточная функция W(s) размера l×1 приведена к виду

в котором A(s) указан в (9.1), а многочлены Bj(s) имеют степени rj < n, j =1, . . . , l. Тогда уравнения состояния имеют вид (9.2), где вместо 1×n-матрицы C используется l×n-матрица

9.2Наблюдаемое каноническое представление

Рассмотрим теперь приведение передаточной функции к виду НКП (6.6), считая сначала, что l =m=1. Поскольку матрица A в данной канонической форме имеет вид (6.1), то ее элементы, аналогично предыдущему случаю, определяются без вычислений. Матрица B при

приведении к НКП вычисляется через коэффициенты многочленов A(s), B(s). Запишем эту матрицу в виде

Элементы βi, i=1, . . . , n, этой матрицы вычисляются методом неопределенных коэффициентов. Можно использовать следующую рекуррентную формулу

57

y(t)=x1(t).

Нетрудно заметить, что при r = 0, B(s) = b0 уравнения вида УКП и НКП фактически совпадают (разница состоит в том, что коэффициент передачи b0 для УКП помещается в матрицу выхода C =[b0, 0, . . . , 0], а для НКП – во входную матрицу B =[0, . . . , 0, b0]T ).

Покажем использование этой формы для MISO-систем, у которых передаточная функция W(s) размера 1×m приведена к виду

1

W(s) = B1(s), B2(s), . . . , Bm(s) , A(s)

в котором A(s) указан в (9.1), а многочлены Bj(s) имеют степени rj < n, j =1, . . . , m. Тогда уравнения состояния имеют вид (6.6), где вместо n×1-матрицы B используется n×l-матрица

а коэффициенты βi,j, i = 1, . . . n, j = 1, . . . m вычисляются по формуле (9.4) для каждого многочлена Bj (s).

Следовательно, если имеется система с одним входом, который "разветвляется"на несколько выходов, целесообразно использовать УКП, а если несколько входных сигналов действуют на систему и выходные реакции суммируются, – форму НКП. Общий случай MIMO-систем является существенно более сложным. Прежде чем обсуждать его, рассмотрим приведение передаточных функций к уравнениям состояния, представленным диагональной (жордановой) формой матрицы A.

58

9.3Блочно-диагональная форма

Рассмотрим SISO-систему, заданную передаточной функцией (9.1). Пусть известны корни характеристического многочлена, которые вначале предполагаем простыми. В этом случае всегда имеется возможность разложить W(s) на простейшие слагаемые первого и второго

q+r

Для каждого слагаемого (в произвольно выбранном порядке) заполняются клетки мат-

Элементы n×1-матрицы B и 1×n-матрицы C находятся таким образом, чтобы соответствующая данному входу передаточная функция из (5.5) имела заданные коэффициенты

числителя. 4 Если Wi(s) = s K−isi , то соответствующие элементы должны удовлетворять условию bici =Ki. Для блоков второго порядка с передаточной функцией

djs+dj

Wj (s) = s2 −2αjs+αj2 +βj2 ,

коэффициенты числителя dj, dj связаны с элементами матриц B, C соотношениями

dj =c1b1 +c2b2, dj =c1(b2βj −b1αj )−c2(b1βj +b2αj).

4 Здесь учитывается, что при блочно-диагональной форме матрицы A каждая подсистема может рассматриваться независимо от других.

59

Эти условия дают возможность выбрать искомые элементы, причем задача также решается неоднозначно. Можно, например, рекомендовать использовать следующие значения:

9.4Жорданова форма

Если передаточная функция системы имеет кратные полюса, ее разложение будет содержать слагаемые, степени знаменателей которых отвечают значениям кратности. Для вещественных корней кратности k получаются знаменатели k-й степени, для мнимых корней

– степени 2k. Тогда W(s) имеет вид (5.5), (5.9). Исходя из найденных при разложении передаточной функции W(s) слагаемых Wi(s) указанного вида нетрудно записать матрицу

A в форме Жордана (5.6), в которой вещественным корням соответствуют диагональные блоки вида (5.7), а мнимым – блоки вида (5.8). Элементы матриц B, C можно получить путем обратных вычислений методом неопределенных коэффициентов.

Например, для вещественных корней s1j = s2j = . . .= skj (кратности kj) можно представить Wj(s) в виде

k

Wj (s)=!j Kji .

i=1 (s−skj )i

Если выбрать элементы соответствующих строк матрицы B в виде b1 = b2 = . . . = bkj −1 = 0, bkj = 1, то соответствующие данной клетке элементы матрицы C определяются равенствами ci = Kji . Другой возможный выбор – положить c1 = 1, а остальные элементы подстроки – равными нулю. Тогда значения Kji , взятые в обратном порядке, присваиваются элементам bi. Явный вид уравнений состояния для вещественных корней характеристического многочлена A(s) приведен в [39].

З а м е ч а н и е 1. Процесс преобразования передаточной функции к блочно-ди- агональной и жордановой формам существенно более трудоемок, чем преобразования к виду УКП или НКП, так как связан с разложением передаточной функции на слагаемые и, следовательно, с вычислением корней характеристического многочлена.

За м е ч а н и е 2. Приведенные процедуры применимы и к реализуемым системам,

укоторых degB(s) = degA(s). Для их использования надо сначала преобразовать переда-

60