ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

10.3Виды фазовых портретов для систем второго порядка

Рассмотрим линейные системы второго порядка, X = R2. Их состояние можно изобразить в виде точки на плоскости 7.

Рассмотрим некоторые случаи.

Пусть собственные числа s1, s2 матрицы A действительны и отличны от нуля, s1 = s2.

Тогда имеются единственное состояние равновесия в точке {0} и две несовпадающие собственные прямые G1, G2. Если si < 0, то движение изображающей точки по прямой Gi

направлено к состоянию равновесия, если si > 0 – от этого состояния. При si = 0 изображающая точка на прямой Gi неподвижна. Отметим также, что точка, расположенная между некоторыми лучами собственных прямых, в процессе движения всегда остается между ни-

ми, так как по этим лучам проходят фазовые траектории, а различные фазовые траектории пересекаться не могут.

Более детальное описание фазового портрета системы зависит от знаков s1,s2.

1. Устойчивый узел. Если s1 < 0, s2 < 0, все фазовые траектории направлены к состоянию равновесия – точке {0} – и асимптотически к нему приближаются (см. рис. 10.2, а). Система асимптотически устойчива. Такой фазовый портрет свойственен собственным

движениям апериодического звена второго порядка, имеющего передаточную функцию

же имеет вид узла, но направление движения меняется на противоположное. Такой тип поведения свойственен неустойчивым системам. Пример – собственные движения звена с передаточной функцией

K

W(s) = (T1s−1)(T2s−1), (T1 > 0, T2 > 0).

3. Седло. Если знаки собственных чисел противоположны между собой, например, s1 > 0, s2 < 0, то по прямой G1 движение происходит от состояния равновесия, а по прямой G2 – к этому состоянию (см. рис. 10.2, б). Несмотря на то, что здесь имеются

7 Несмотря на то, что обычно исследуются системы более высокого порядка, изучение движений на плоскости оказывается полезным. Действительно, при простых собственных числах матрицы A система «распадается» на ряд подсистем не выше второго порядка. Кроме того, часто при исследовании можно

пренебречь малыми постоянными времени. Тогда поведение системы с достаточной для практики точностью описывается уравнениями второго порядка.

71

имеет размер два, то фазовые траектории представляют собой множество прямых, параллельных собственной прямой. По этой прямой движения не происходит (она образует множество состояний равновесия), а по разные стороны от нее изображающие точки движутся в противоположных направлениях. Такой характер фазовых траекторий свойствен

K

двойному интегрирующему звену W(s) = s2 . Заметим, что если в первом случае система нейтрально-устойчива, то во втором – неустойчива.

6. Кратные ненулевые вещественные корни. Если у системы имеются кратные ненулевые вещественные собственные числа s1 = s2, то также возможны два существенно различных случая. Если каноническая жорданова форма матрицы состоит из двух клеток порядка один, то общее решение уравнения (10.1) имеет вид x(t) = es1t и описывает совокупность лучей, выходящих из начала координат. При s1 = s2 < 0 движение происходит в направлении к началу координат, а при s1 = s2 > 0 – в противоположную сторону. При-

мером системы с таким типом фазовых траекторий является система, состоящая из двух независимых апериодических звеньев с равными постоянными времени.

Если каноническая жорданова форма матрицы состоит из одной клетки порядка два, то

имеется одна собственная прямая, на которой лежат фазовые траектории при соответствующих начальных условиях и множество кривых, заполняющие полуплоскости, разделенные

данной прямой (рис. 10.2, в). Такой вид фазового портрета в окрестности состояния равновесия называется устойчивым вырожденным узлом – при s1 = s2 < 0 и неустойчивым

вырожденным узлом – при s1 =s2 > 0. Этот фазовых траекторий характерен для последовательно соединенных апериодических звеньев с одинаковыми постоянными времени, т.е.

системе с передаточной функцией

Рассмотрим теперь систему с мнимыми комплексно-сопряженными собственными числами s1,2 =α ± jβ, β > 0. В этом случае также имеется единственное состояние равновесия

вточке {0}. Вид фазовых портретов зависит от значения α.

7.Фокус. При α = 0 получаем систему кривых, имеющих вид афинно-искаженных логарифмических спиралей. При α < 0 движение происходит к состоянию равновесия (устойчивый фокус), а при α > 0 – от этого состояния (неустойчивый фокус) (см. рис. 10.2, в).

73

Устойчивый фокус свойственен колебательным звеньям с передаточной функцией

а неустойчивый – звеньям

K

W(s)= T 2s2 −2ξT s+1

(с теми же диапазонами значений параметров).

8. Центр. При α = 0 получаем систему замкнутых эллиптических траекторий с центром в начале координат. Этим траекториям соответствуют периодические процессы с периодом 2π/β – незатухающие гармонические колебания. Примером может служить консер-

K

вативное звено с передаточной функцией W(s)= T 2s2 +1.

Обратимся теперь к характерным особенностям фазовых портретов на плоскости при каноническом представлении уравнений состояния. Рассмотрим диагональную (веществен-

ную жорданову) форму и каноническую форму фазовой переменной (см. 6), как наиболее распространенные.

10.3.1Фазовые портреты при диагональной (жордановой) форме матрицы A

Втом случае, когда матрица A представлена в собственном базисе, построение фазовых портретов несколько упрощается. Например, можно получить достаточно простые форму-

лы для фазовых кривых. Рассмотрим отдельно случаи вещественных и мнимых собственных чисел.

1. Вещественные различные корни. Узел и седло.Выше, в п. 10.3 рассмотрены харак-

терные виды фазовых портретов, в том числе – и при s1, s2 R, s1 = 0, s2 = 0, s1 = s2.

Уточним вид фазовых кривых при диагональной матрице A=diag{s1, s2} для этого случая. Как отмечено выше (см. 7.1), при вещественных различных корнях характеристического многочлена матрицы ее собственные векторы направлены вдоль ортогональных коорди-

74

Исключая из (10.3) время (это можно сделать, формально «поделив» второе уравнение на первое с учетом s1 = 0), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Принимая в качестве аргумента x1, получим выражение для x2 :

ln|x2|= s2 ln|x1| + C1, откуда окончательно получаем выражение s1

Выражение (10.4) описывает линии, на которых расположены фазовые кривые в указанных случаях. Заметим, что при совпадающих знаках собственных чисел эти кривые имеют вид «парабол», а при разных знаках – «гипербол». Первый вид фазового портрета соответствует узлу (устойчивому или неустойчивому), а второй – седлу.

− s2

Значение константы C в (10.4) определяется из начальных условий C = |x2,0| · |x1,0| s1 .

При построении фазового портрета эту связь можно не рассматривать, а использовать набор различных значений C.

Выражение (10.4) применимо также, если один из корней (для определенности – s2) обращается в ноль. Тогда (10.4) описывает множество параллельных оси абсцисс прямых. Движение по этим прямым направлено либо к оси ординат (s1 < 0), либо от нее. По выражению (10.4) можно найти вид траекторий при кратных корнях, если A = diag{s1, s1}.

Получается «пучок» прямых, проходящих через начало координат. Ось ординат представ-

ляет множество состояний равновесия. Для вещественной жордановой клетки A= s1 1 0 s1

вид траекторий более сложный [36] и формула (10.4) не применима.

2. Нулевые кратные корни. Представляет интерес второй из рассмотренных в пункте 5 п. 10.3 случаев двойного интегрирующего звена, уравнения которого в жордановой форме

75

Перечислим некоторые особенности фазовых траекторий в указанном базисе.

•Поскольку переменная x2(t) совпадает с производной по времени от x1(t), изображающая точка будет двигаться только «по часовой стрелке», т.е. в сторону возрастания x1

вверхней полуплоскости (где x2 > 0) и в сторону убывания x1 в нижней полуплоскости (где x2 < 0).

•Фазовые кривые, пересекающие ось абсцисс (ось x1), имеют в точках пересечения перпендикулярные к ней касательные.

•Состояния равновесия системы могут располагаться только на оси абсцисс.

•Точкам пересечения фазовой траекторией оси абсцисс соответствуют экстремумы переходного процесса x1(t).

Рассмотрим более подробно случай простых вещественных собственных чисел. Пусть s1 = s2, s1, s2 R. Как отмечено выше, при вещественных корнях характеристического многочлена имеются собственные векторы x01 = col{1, s1}, x02 = col{1, s2}, линейно независимые при s1 = s2. Соответствующие им собственные прямые лежат в первом и третьем квадрантах (si > 0 – процесс расходится) или во втором и четвертом квадрантах (si < 0

– решение вдоль прямой затухает). Соответственно, получаем устойчивый или неустойчивый узел, или седло. На рис. 10.3 показаны фазовые портреты и переходные процессы типа «седло» (а), s1 = 1, s2 = −3 и «устойчивый фокус» (б), s1,2 = α ± jβ, α = −0.2, β = 1,

для системы (10.8). Одинаковыми буквами отмечены соответствующие точки на фазовой плоскости и на графике переходного процесса.

В данном базисе по виду фазовой траектории можно получить и дополнительную информацию о скорости протекания процесса. Например, время движения точки по отрезку параллельной оси абсцисс прямой равно отношению длины этого отрезка (в соответствующем масштабе) к значению ординаты x2. Далее, если рассматриваются две кривые на участках с одинаковыми абсциссами, то время движения меньше по той из них, которая наиболее удалена от оси абсцисс.

77

Рисунок 10.3 – Фазовые портреты и переходные процессы в (10.8).

Данные рассуждения, вместе с приведенными в п. 10.3 позволяют получить достаточно наглядное представление о фазовых портретах в указанном базисе, но для точного построения траекторий их недостаточно. Здесь может оказаться удобным следующий метод. Вычисляется матрица преобразования T уравнений состояния к канонической жордановой форме, для которой строится фазовый портрет (как указано в 10.3.1). Затем точки на полученных траекториях обратным преобразованием с матрицей T −1 переводятся на исходную плоскость. Заметим, что данный метод можно использовать для построения фазовых портретов в любом базисе, а не только в базисе канонической формы фазовой переменной.

Достаточно просто можно представить вид фазовых траекторий и для систем третьего порядка. При простых корнях характеристического многочлена имеются или три собственные прямые, определяемые векторами x01, x02, x03, либо собственная прямая и плоскость, порожденная векторами h1, h2 (как описано в 9.3). Движение точки в пространстве получается как суперпозиция движений по указанным подпространствам. Более детальные сведения по этому вопросу приведены в [10].

78

Лекция 11

11 Решение уравнений состояния. Формула Коши

Рассмотрим линейную систему, заданную уравнением состояния

где x(t) Rn, u(t) Rm. Нас интересует решение задачи Коши – т.е. определение функции x(t) по заданному начальному состоянию x0 при известном входном процессе u(t). 1

Рассмотрим вначале решение однородного уравнения.

x(t) Rn. Пусть нам известно n решений (11.2) относительно некоторого момента t0 :

xi(t0) = x0,i, i = 1, 2, . . . , n . Объединим эти решения xi(t) в n×n-матричную функцию

дующий результат [10, 36, 43] («альтернатива Вронского»): либо определитель Вронского

W(t) =det X(t)≡0 (для всех t), либо W(t)= 0 (ни при каком t). Поэтому если векторы x0,i,

линейно независимы, то матрица X(t) будет невырожденной при всех t. Полученная таким образом матрица X(t) называется фундаментальной матрицей системы (11.2). Это название связано с тем, что вектор-функции xi(t) образуют фундаментальную систему решений

данного уравнения: решение задачи Коши при произвольных начальных условиях x0 мо-

из уравнения x0 =X0C. Заметим, что матрица-функция X(t) удовлетворяет уравнению

˙

X(t)=A(t)X(t), X(t0)=X0.

1 Отметим, что если процесс x(t) получен, то определение выхода системы y(t) не представляет сложности и выполняется непосредственно по уравнению выхода y(t)= C(t)x(t)+D(t)u(t).

79

Теперь введем матрицу Φ(t, t0) = X(t)X0−1, называемую переходной, или импульсной,

матрицей. Очевидно, что Φ(t0, t0)=In - единичная матрица. Фактически Φ(t, t0) есть фундаментальная матрица, полученная, если в качестве начальных векторов x0,i использовать единичные векторы

ei =[0, . . . , #$1%&, . . . , 0]T .

i

Таким образом, для переходной матрицы выполнено уравнение

С учетом того что решение однородного уравнения определяется через фундаментальную матрицу и что коэффициенты разложения x0 по системе единичных векторов совпадают с

компонентами x(0i) вектора x0, получим решение однородного уравнения (11.2) через переходную матрицу в виде

Чтобы воспользоваться полученным выражением, следует располагать способом вычисления переходной матрицы. К сожалению, в общем случае нет аналитического выражения для определения Φ(t, t0). В некоторых практических задачах можно решить (11.3) численно, а затем использовать (11.4) при различных начальных условиях. Однако такой способ связан с хранением больших объемов данных и имеет ограниченное применение. В некоторых случаях целесообразно выражать решение в виде рядов. Существенное упрощение получается в стационарном случае, т.е. при постоянной матрице A(t) ≡ A. Для таких систем матрица Φ(t, t0) зависит только от одного аргумента τ =t−t0 и совпадает с матричной экспонентой Φ(t, t0)=eAτ , τ =t − t0, определяемой в виде ряда

Таким образом, для стационарных однородных линейных систем решение задачи Коши определяется формулой

Заметим, что поведение таких систем не зависит от начального момента времени t0 (а только от временн´ого промежутка τ =t−t0), поэтому в стационарном случае удобно считать

80