ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

14.5Подстановочные формулы для вычисления передаточной функции дискретной модели

Выше, в 12.2 приведена формула (12.6), позволяющая вычислить передаточную функцию дискретной системы по разностному уравнению (12.2), полученному преобразованием уравнений состояния непрерывной системы (12.1). Если исходная система задана передаточной функцией W(s), то такой подход предполагает предварительное приведение W(s) к уравнениям состояния. Для этого можно использовать описанные в 9 процедуры. Однако можно получить приближенное решение задачи, при котором искомая функция WD(z) определяется непосредственной заменой аргумента s в W(s). Эти формулы основаны на «линейных» аппроксимациях Паде (μ, ν ), в которых значения μ и ν не превосходят единицы.

Вначале используем формулу (13.2). В соответствии с ней в (12.6) следует подставить

P =In +AT0 и, как отмечено в п. 13.3 Q=BT0. Отсюда получим

WD(z) = C (zIn −P )−1Q = C (zIn −In −AT0)−1BT0 =

− −1

= C zT01In −A B.

Сравнивая полученное выражение с известной формулой

W(s) = C (sIn −A)−1B, убеждаемся, что WD(z) можно приближенно получить из W(s)

Если теперь применить формулу неявного метода Эйлера (13.5), то аналогично полу-

Точность этих методов зависит от соотношения между интервалом T0 и наименьшей постоянной времени непрерывной системы W(s). При разумном выборе T0 точность может

101

оказаться достаточно высокой. Кроме того, формулы (14.9) и (14.10) сохраняют свойство устойчивости модели при любом (а не только при достаточно малом) T0 > 0 [4, 8].

Интересно рассмотреть псевдочастотные характеристики полученных таким способом передаточных функций дискретных систем. Как известно, эти характеристики получаются

*+

Таким образом, псевдочастотные характеристики дискретной системы приближенно могут быть построены непосредственно по частотным характеристикам исходной непрерывной системы с введением дополнительного отрицательного фазового сдвига ϕ(λ) =

является приближенным, позволяет учесть влияние квантования по времени в дискретной системе и вместе с тем использовать хорошо разработанные процедуры синтеза непрерывных систем управления для получения «непрерывных моделей» цифровых регуляторов. Точность данного метода определяется соотношением между частотой среза ω непрерывной модели (найденной с учетом указанной поправки) и интервалом квантования сигнала управления T0. На этапе предварительного синтеза можно рекомендовать выполнение соотношения T0 ≤ 0.3ω−1.

З а м е ч а н и е. К подстановочным методам приближенного перехода от W(s) к

WD(z) относятся также методы, основанные на соотношении zi = esiT0 между полюсами

непрерывной системы si и ее дискретной модели zi. Действительно, сравнивая формулы для фундаментальных составляющих решений однородного дифференциального и разн-

функции W(s) и WD(z) должны иметь указанную связь между полюсами si и zi. Для числителей передаточных функций это соотношение не выполняется. Однако при достаточно малом T0 его можно приближенно распространить и на нули передаточных функций. Тогда

102

получаем подстановочную формулу WD(z) = W(s) 1 . Чтобы WD(z) была отноше- s = T0 ln z

нием многочленов от z, используется приближенное представление ln z. Например, можно

Тастина . Полученная на с. 101 формула (14.10) отличается от указанной множителем

2 , позволяющем учесть характерное для дискретных систем фазовое запаздывание. z+1

103

Лекция 15

15 Управляемость и наблюдаемость линейных систем

15.1Основные определения

Понятия управляемости и наблюдаемости являются одними из основных понятий теории управления. На содержательном уровне управляемость означает принципиальную возможность приведения системы в любое заданное состояние, а наблюдаемость – возможность определения состояния системы по результатам измерений. Эти свойства весьма существенны для построения работоспособных систем автоматического управления. Приведем некоторые определения [4, 17, 20, 22, 37].

Определение 1. Состояние x достижимо из состояния x0, если существует допустимое (кусочно-непрерывное) управление u[t0,t1], определенное на конечном промежутке

[t0, t1], 0 < t1 −t0 < ∞ такое, что система под действием управления u[t0,t1] переводится из начального состояния x(t0)=x0 в конечное x(t1)=x .

Определение 2. Система называется сильносвязной (вполне достижимой), если у нее каждое состояние достижимо из любого другого. Другими словами, у подобных систем нет таких областей в пространстве состояний, в которые за конечное время нельзя попасть из любых других областей под действием допустимого управления.

Для линейных систем понятие сильносвязности переходит в понятие полной управляемости.

В качестве примера системы, для которой это свойство отсутствует, можно рассмотреть объект, состоящий из звена с насыщением, последовательно соединенного с апериодическим звеном: u1(t) = sat(u(t)), T x˙(t)+x(t) = u1(t) (u – управление, sat(·) – функция насыщения; рис. 15.1). Очевидно, что не существует функции u(t) такой, что из начальных состояний

{x0 : |x0| < 1} система переводится в область {x0 : |x0| > 1}.

Рисунок 15.1 – Система с недостижимыми состояниями.

Как указано в п. 1 состояние детерминированной системы характеризуется тем, что при

104

заданном начальном состоянии x(t0) = x0 выход системы y(t1) однозначно определяется ее входом u(t) на промежутке [t0, t1]. Однако по отношению к x0, эта связь может быть не взаимно-однозначной: может оказаться, что имеется множество различных состояний такое, что при любом начальном состоянии из этого множества и для любого входного воздействия получаются одинаковые реакции.

Определение 3. Состояния x0 и x0 называются эквивалентными, x0 x0 , если при любом входном процессе u(t) выходы системы при начальном состоянии x(t0)=x0 и x(t0)= x0 совпадают (рис. 15.2).

Рисунок 15.2 – Эквивалентные состояния, x0 x0 .

Определение 4. Система называется редуцированной, если у нее нет различных эквивалентных состояний, т.е. каждое состояние эквивалентно только самому себе. Иными

словами, для редуцированных систем при любом входе и любом начальном состоянии отображение вход–состояние–выход не только однозначно, но и взаимно – однозначно.

Определение 5 (управляемости). Линейная система (ЛС) полностью управляема

(управляема), тогда и только тогда, когда для любых x и t0 существуют 0 < T < ∞ и

кусочно-непрерывное управление u[t0,t1], t1 = t0 + T, такое, что при x(t0) = 0 и управлении u[t0,t1] имеет место x(t1)=x .

За м е ч а н и е 1. Для линейных систем это означает, что каждое состояние достижимо из любого другого, т.е. управляемость для них эквивалентна сильносвязности.

За м е ч а н и е 2. Если управляемая линейная система стационарна, то попадание в

105

x можно обеспечить за любое заданное T > 0.

В некоторых приложениях также представляет интерес управляемость по выходам,

которая означает возможность приведения выхода объекта в заданную точку. В работе [38] приводится группа различных понятий управляемости, куда кроме указанного понятия относится также возможность приведения объекта из любой точки некоторой замкнутой области в произвольную точку этой области без выхода за ее границы, перехода из заданной области в область меньшей размерности и т. д.

Определение 6 (наблюдаемости). ЛС полностью наблюдаема (наблюдаема) тогда и только тогда, когда существует 0 < T < ∞ такое, что при всех t0, x(t0), u[t0,t1], (t1 =t0+T )

можно по y[t0,t1] и u[t0,t1] однозначно определить x(t0).

За м е ч а н и е 3. Для стационарной наблюдаемой ЛС значение x(t0) можно определить за любое заданное T > 0.

За м е ч а н и е 4. Так как наблюдаемость, если она есть, должна быть и при нулевом входе, можно считать, что система наблюдаема, если для нее по y[t0,t1] можно однозначно

определить x(t0) при u(t) ≡ 0. Можно показать: это условие эквивалентно тому, что из y(t)=0 при u(t)=0 для всех t [t0, t1] следует: x(t0)=0.

Естественно, что для стационарных ЛС проверку условий управляемости и наблюдаемости можно выполнять не для всех t0, а только для одного (например, t0 =0). 1

Наиболее сильной формой управляемости является нормализуемость (нормальность). Говорят, что система нормальна, если управляемость имеется по каждой компоненте век-

тора управления. Для систем со скалярным входным процессом управляемость и нормализуемость совпадают.

Возможен случай частично управляемой системы, у которой не все состояния дости-

жимы из нулевого за конечное время. Пространство состояний таких систем может быть представлено как прямая сумма подпространств управляемых и неуправляемых состоя-

ний. Аналогично пространство состояний частично наблюдаемой системы можно разбить на подпространства наблюдаемых и ненаблюдаемых состояний.

Определение 7. ЛС называется стабилизируемой, если у нее подпространство управляемых состояний принадлежит подпространству устойчивых состояний.

Стабилизируемость означает принципиальную возможность получения устойчивой замкнутой системы: собственные движения неуправляемой части системы в этом случае

1 Для нестационарных систем рассматриваются также достижимость и восстанавливаемость [22], ко-

торые в стационарном случае совпадают соответственно с управляемостью и наблюдаемостью. Поскольку далее рассматриваются, в основном стационарные системы указанные понятия здесь не уточняются.

106

устойчивы, а на неустойчивую подсистему можно воздействовать соответствующим управлением. Очевидно, что полностью управляемая система стабилизируема (так как у нее нет неуправляемых состояний). Устойчивая система тоже стабилизируема, так как у нее все пространство состояний является подпространством устойчивых состояний.

Определение 8. ЛС называется обнаруживаемой, если у нее подпространство неуправляемых состояний принадлежит подпространству устойчивых состояний.

Полностью наблюдаемые, а также устойчивые системы обнаруживаемы. Определение 9. Полностью наблюдаемая и полностью упраляемая линейная система

называется невырожденной.

15.2Критерии управляемости

Исследование управляемости линейных стационарных систем можно проводить на основе ряда эквивалентных критериев. Ниже даны некоторые критерии управляемости стационарных систем [4, 17, 37].

имеет полный ранг, 1 rankQ =n, где n – размерность пространства состояний системы. Как известно [22], подпространство управляемых состояний порождается столбцами матрицы

Q. Поэтому, если эта матрица имеет n линейно независимых столбцов, все пространство состояний является подпространством управляемых состояний. Для SIMO-систем (со скалярным управлением, u(t) R) матрица Q квадратная порядка n и данный критерий означает требование невырожденности матрицы Q : det Q = 0.

2. Не существует ни одной невырожденной матрицы T, det T = 0, такой, что система,

1 Напомним, что рангом матрицы называется наибольшее число линейно-независимых строк (или столбцов) этой матрицы. Его значение совпадает также с порядком наибольшего отличного от нуля минора данной матрицы [4, 23, 29, 51].

107

причем на компоненты вектора x˜2 входное воздействие ни прямо, ни косвенно (через x˜1)

влиять не может. Следовательно, такая система неуправляема по вектору x˜2. Множество векторов col{0, x˜2} обазует подпространство неуправляемых состояний системы. Если это подпространство принадлежит подпространству устойчивых состояний (т.е. матрица A22 –

гурвицева), 2 то система стабилизируема (неуправляемые движения затухают)

˜˜

Влитературе уравнения с матрицами A и B указанного вида иногда называются канонической формой управляемости [22, 53]. Структурная схема системы указанного вида приведена на рис. 15.3, а).

Рисунок 15.3 – Канонические формы управляемости (а) и наблюдаемости (б).

3. Матрица B не принадлежит инвариантному подпространству матрицы A размерности, меньшей, чем n. 3 Если вектор-столбец B принадлежит инвариантному подпространству X A, dimX A < n, то вектор фазовой скорости v системы x˙(t) = Ax(t) + Bu(t)

будет принадлежать X A при любом входном процессе, если начальное состояние x0 X A.

Следовательно, точки вне этого подпространства недостижимы и система не полностью управляема.

4. Для любого многочлена D(s)=sn+d1sn−1+. . .+dn, где di R – заданные постоянные числа, найдется такая m×n- матрица K, что det(sIn −A+BK)=D(s).

2Напомним, что гурвицевой называется матрица, все собственные числа которой имеют отрицательные вещественные части.

3В таком виде критерий формулируется для систем со скалярным управлением. При m > 1 по этому критерию не должно существовать инвариантного подпространства матрицы A размерности, меньшей, чем n, которое содержало бы одновременно все столбцы матрицы B.

Определение инвариантного подпространства матрицы дано выше в п. 7.2 сноска на с. 49

108

Это свойство означает, что для полностью управляемой системы всегда имеет решение задача модального управления по состоянию – обеспечения заданных значений коэффициентов характеристического многочлена замкнутой системы с помощью регулятора в цепи обратной связи вида u(t)=−Kx(t). 4

5. Не существует ни одной отличной от нуля матрицы C такой, чтобы передаточная

Функция веса (см. п. 11.4 с. 83) полностью управляемых систем с одним выходом об-

ращается в ноль на конечном интервале только в тривиальном случае C =0.

7. Выполнение соотношений AT z = λ0z и BT z = 0 для некоторого λ0 C и z Rn

возможно лишь при z =0 [17, 37].

Отсюда, в частности, вытекает следующий критерий:

8. Если пара (A, B) управляема, то для любой m×n-матрицы K пара (A+BK, B) также управляема.

Таким образом, замыкание управляемой системы обратной связью по состоянию u(t)=

Kx(t) при любой матрице K приводит также к управляемой системе.

9. Если пара (A, B) управляема и si – произвольное собственное число матрицы A, то дефект d матрицы siIn −A не превосходит ранга матрицы B [17]. 5

В частности, если m=1 (или если при m > 1 rankB =1), то должно выполняться d=1,

т.е. из управляемости пары (A, B) следует, что каждому собственному значению si отвечает

лишь одна клетка канонической жордановой формы матрицы A.

10. Для любых t1 > t0 матрица

называемая грамианом управляемости, положительно определена.

Для доказательства предположим, что указанное условие выполнено [17], W(t0, t1) =

W(t0, t1)T > 0 для всех t1 >t0. Управление, u[t0,t1], переводящее систему из состояния x(t0) =

4Более подробно решение этой задачи для скалярного управления рассматривается ниже в главе 17

5Дефектом матрицы называется разность между ее порядком и рангом. Дефект матрицы siIn − A

равен числу жордановых клеток в канонической форме матрицы A, отвечающих собственному значению si.

109

x0 в состояние x(t1) = x1 будем искать в виде u(t) = BT eAT (t1−t)C, где C – некоторый постоянный n-мерный вектор. Согласно формуле Коши (11.9, с. 81) и в силу стационарности

системы x2 − eA(t1−t0) = tt1 eA(t1−τ)BBT eAT (t0−τ)dτ, или x2 − eAθ = W(θ), где

0

Найденное таким образом управление решает задачу перевода полностью управляемой системы из любого начального состояния x(t0) = x0 в любое заданное x(t1) = x1 за указанный

положительный промежуток времени θ = t1 −t0 для всех t1 > t0; следовательно, пара (A, B) управляема.

Заметим, что здесь приведено только доказательство достаточности положительной определенности W(t0, t1) для полной управляемости системы. Необходимость этого усло-

вия, наряду с другими критериями доказывается [4, 17, 37].

Последний критерий можно использовать и для исследования управляемости нестаци-

онарных систем в следующей формулировке.

Линейная система (с переменными параметрами)

x˙(t) = A(t)x(t)+B(t)u(t) полностью управляема тогда, и только тогда, когда для всех t0

существует t1, (t0 <t1 <∞), что матрица

' t1

W(t0, t1) = Φ(t1, τ)B(τ)BT (τ)ΦT (t1, τ)dτ

t0

невырожденная (здесь Φ(t, τ) – переходная матрица системы, см. п. 11.3).

Для SIMO-систем (u(t) R, m = 1) имеются также следующие критерии полной

˜

B =T B.

110