ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

t → ∞. Однако, никакое решение (20.6) с начальным условием x2(0) = a = 0 не стремится к множеству S = {(x1, x2): h(x1, x2) = 0} = {(x1, x2): x2 = 0}. Это легко видно из (20.7).

При исследовании систем, подверженных ограниченным возмущениям, оказываются полезными следующие два определения [8, 18, 30].

Определение 9. Система называется устойчивой по Лагранжу, если каждое ее решение неограниченно продолжаемо вправо, т.е. имеет смысл при 0 ≤ t < ∞ и все фазовые траектории ограничены на [0, ∞) (рис. 20.5).

Рисунок 20.5 – Устойчивость по Лагранжу.

Определение 10. Система называется предельно ограниченной (диссипативной по Левинсону), если существуют области S , Sδ такие, что S Sδ и для всех x0 S существует момент времени t < ∞ (возможно, зависящий от x0), что при всех t ≥ t выполнено x(t) Sδ.

В данном определении S называют иногда областью диссипации, а Sδ – предельным множеством.

Если S – все пространство, то система называется предельно ограниченной в целом

(рис. 20.6).

Данные определения являются наиболее распространенными, хотя представляют собой малую часть определений устойчивости, используемых в теории систем.

181

тонно убывает, стремясь при t → ∞ к нулю. Следовательно, величина |x(t)| также будет монотонно убывать (что следует из вида функции V (x)) и x(t) → 0 при t → ∞) Поэтому можно сделать вывод, что система (20.8) асимптотически устойчива в целом. 1 Следует обратить внимание на то, что вывод об устойчивости состояния равновесия получен без решения уравнения (20.8), более того, – при самых общих предположениях о виде функции f(x).

Данный пример относился к системе первого порядка. Излагаемые ниже теоремы ляпуновского типа применимы для произвольного n.

Рассмотренная в данном примере функция является представителем функций Ляпунова. Имеется несколько определений этих функций. Поэтому уместно обратиться к разъяснению, данному самим А.М. Ляпуновым в его основополагающем труде 1892 г. [25].

«К другому [методу] мы причислим все те, которые основываются на принципах, не зависящих от разыскания каких-либо решений дифференциальных уравнений возмущенного движения. ... ; и вообще в основании всех тех из них, с которыми встретимся далее, всегда будет лежать разыскание функций переменных x1, x2, . . . , xn, t по некоторым данным условиям, которым должны удовлетворять их полные производные по t, составленные в предположении, что x1, x2, . . . , xn суть функции t, удовлетворяющие уравнениям.»

Сам А.М. Ляпунов применял разработанный им метод к задачам исследования устойчивости систем. Однако во второй половине XX в. выяснилось, что этот подход с успехом работает и для анализа качества систем, устойчивости множеств, колебательности и других динамических свойств нелинейных систем, а также для решения задач синтеза. Это приве-

ло к пониманию метода функций Ляпунова как ведущего метода исследования нелинейных систем.

В данной главе мы рассмотрим лишь основные теоремы метода функций Ляпунова, а также типичные примеры их применения для анализа устойчивости систем.

20.4Устойчивость непрерывных систем

Будем рассматривать функции V (x), удовлетворяющие следующим требованиям: 1) V (x)

непрерывна и непрерывно-дифференцируема по x в некоторой области Ω X , содержащей начало координат; 2) V (x) обращается в ноль в начале координат: V (0) = 0; 3) V (x)

положительно определена, т.е. положительна всюду, кроме начала координат: V (x) > 0

при x = 0.

1 Мы здесь описываем схему использования метода Ляпунова. Доказательства приведенных положений содержатся, например, в [10, 18, 36, 43].

183

Функция W (x) называется отрицательно определенной, если −W (x) положительно определена.

Если неотрицательная функция может обращаться в ноль не только при x = 0, то она называется неотрицательно определенной (знакоположительной).

Для формулировки дальнейших результатов понадобится производная по времени функции Ляпунова в силу сиcтемы (18.11) (уравнения которой при n=1 совпадают с (20.1)).

Используя правило дифференцирования сложной функции и операцию вычисления производной скалярной функции по векторному аргументу получим 2

Приведем теперь формулировки некоторых теорем.

Теорема 1. Об устойчивости (А.М. Ляпунов).

Если при x Ω существует положительно-определенная функция V (x) такая, что ее

производная в силу системы (18.11) знакоотрицательна, то состояние равновесия устойчиво по Ляпунову.

Теорема 2. Об асимптотической устойчивости (А.М.Ляпунов).

Если при x Ω существует положительно-определенная функция V (x) такая, что ее

производная в силу системы (18.11) отрицательно определена, то состояние равновесия асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Теорема 3. Об асимптотической устойчивости в области S (асимптотической устой-

чивости «в большом» ) [8, 38, 39].

Если при выполнении условий теоремы 2 для некоторого C > 0 неравенство V (x) ≤ C

2 Полезно иметь в виду следующие правила дифференцирования [14]: производная скалярной функции V (x) по вектору x Rn является 1×n-матрицей частных производных (т.е. транспонированной к вектору-

столбцу градиента V по x): ∂V = ( xV (x))T ; производная вектор-функции f(x) Rm по вектору x Rn

∂xi

является m×n-матрицей, элементами которой являются частные производные ∂fj ; производная скалярной

∂xi

функции V по m×n-матрице A = {aij} является m×n-матрицей, элементами которой являются частные

производные ∂V ; производная квадратичной формы xT Hx по вектору x Rn равна 2xT H. ∂aij

184

Рисунок 20.7 – Функция Ляпунова асимптотически устойчивой системы.

Красовского).

Если в условиях Теоремы 2 множество Ω совпадает со всем пространством, т.е. Ω = X , а V (x) → ∞ при x → ∞, то система асимптотически устойчива в целом.

Функция Ляпунова, удовлетворяющая приведенному в данной теореме условию роста, иногда называется радиально неограниченной [30,38]. Про функцию V (x, t), зависящую явно от времени и удовлетворяющую для всех t неравенству V (x, t) > W (x), где W (x) → ∞ при

x → ∞, говорят, что она допускает бесконечно большой нижний предел.

Теорема 5. О неустойчивости (А.М.Ляпунов).

˙

Если V (x) положительно определенная функция и сколь угодно близко от начала координат есть точки, где V (x) > 0, то начало координат неустойчиво по Ляпунову.

˙ ≤ → ∞

Заметим также, что устойчивость по Лагранжу имеет место, если V (x) 0 и V (x)

при x → ∞, а предельная ограниченность в целом – если V (x) → ∞ при x → ∞ и

˙ S

V (x) < 0 при всех x / δ.

Приведенные условия имеют достаточно наглядную геометрическую интерпретацию.

˙

Согласно выражению (20.9), значение V представляет собой скалярное произведение гра-

˙

диента функции V на вектор фазовой скорости в данной точке. Поэтому V (x) есть скорость прохождения изображающей точки по нормали к линиям равного уровня функции V (x)

˙

(рис. 20.7). Если вследствие отрицательной определенности функции V движение по всем траекториям (в области S ) направлено внутрь поверхностей V = const, то состояние равновесия устойчиво асимптотически.

185

где Q(x) – некоторая знакоположительная или положительно определенная функция. Уравнение (20.10) часто называют, аналогично соответствующему матричному уравнению,

уравнением Ляпунова [38]. В более общем случае, когда функции V (·), f(·) зависят явно от времени, V = V (x, t), f = f(x, t) получается дифференциальное уравнение Ляпунова

Эти уравнения находят различные применения в теории систем (см. [4,14,22,34,38], а также с. 131).

Использование приведенного выше (с. 178, п. 6) понятие инвариантного множества позволяет обобщить метод функций Ляпунова и расширить область его применения [39, 53]. Прежде всего это относится к возможности определения предельных циклов и анализа их устойчивости а также к доказательству асимптотической устойчивости если не удается по-

˙

казать, что V (x) является отрицательно определенной (а не только знакоотрицательной).

˙ ≤

Для этого заметим, что из неравенства V (x) 0, выполненного для всех x, принадлежащих некоторой ограниченной области ΩC , следует, что в области ΩC функция V (x(t))

не может возрастать (а только убывать или оставаться постоянной). Отсюда следует, что

˙

при ограниченной снизу функции V (x) точки, в которых V (x) < 0 не могут служить предельными точками для решений системы. Следовательно, представляют интерес точки, в

˙

которых V (x) = 0. Этот путь рассуждений отражен следующей теоремой [24].

Теорема 6. О сходимости к множеству (Ла-Салль).

Пусть V (x) – скалярная функция, непрерывно дифференцируемая по x, и область ΩC

определяется как ΩC ={x:V (x)< C}. Пусть ΩC ограничена и Ω ΩC есть множество точек,

˙ M

для которых V (x) = 0. Пусть также Ω есть наибольшее инвариантное множество в

Ω. Тогда с ростом t каждое решение ΩC стремится к M.

Можно заметить, что теорема 3 об асимптотической устойчивости вытекает из данной как частный случай при Ω = {0}, но теорема 6 позволяет получить и дополнительные результаты (см. 20.6).

186

При исследовании устойчивости используется понятие ω-предельного множества Γ+

решения x(t) уравнения (20.8), как множества точек, к которым это решение стремится при t → ∞. Если x(t) ограничено, то оно при t → ∞ всегда стремится к Γ+. Известно, что если x(t) ограничено (для всех t ≥ 0), то его ω-предельное множество Γ+ непусто, компактно и является инвариантным множеством. 3

Основной проблемой при использовании данного метода является выбор подходящей функции Ляпунова: если функция данного вида «не подходит» , то это еще не означает неустойчивости системы – возможно, другой выбор функции Ляпунова позволит доказать устойчивость (или неустойчивость) системы. Хотя общего аналитического метода построения функций Ляпунова не существует, для их конструирования имеются некоторые рекомендации [29, 33, 38, 39].

Часто функции Ляпунова берут в виде квадратичных форм, т.е. выражений вида

V (x)=xT Hx,

где матрица H симметрична и положительно определена (в смысле положительной определенности полученной функции), H = HT > 0. Такие функции удовлетворяют сформулированным выше (пп. 1-3 на с. 183) требованиям и, кроме того, условию роста V (x) → ∞ при

x → ∞, что важно при доказательстве глобальной устойчивости. Для проверки положительной определенности матрицы

H =HT можно использовать критерий Сильвестра, согласно которому (аналогично критерию Гурвица) требуется положительность главных угловых миноров матрицы H. Известно

также, что матрица H положительно определена, если все ее собственные числа положительны.

Если рассматриваемая система линейная, f(x, t) = A(t)x, и функция Ляпунова выбрана

в виде некоторой квадратичной формы V (x, t) = xT H(t)x, то уравнение Ляпунова (20.11) принимает вид

где Q(t) = Q(t)T ≥ 0 (> 0) – некоторая симметричная матрица. 4 В стационарном случае,

V = V (x), A(t) ≡ A, Q(t) ≡ Q, представляет интерес установившееся решение (20.12),

3 Множество M, лежащее в пространстве Rn компактно, если оно замкнуто (содержит все свои пре-

дельные точки) и ограничено. Для целей данной книги это свойство компактных множеств можно рассматривать в качестве определения.

4 Использованы правила дифференцирования, приведенные в сноске 2 на с. 184.

187

ским) уравнениями Ляпунова. Как известно из теории матриц [23], существование единственной положительно определенной матрицы H, являющейся решением (20.13), эквивалентно гурвицевости (устойчивости) матрицы A. Более подробно [4, 17], если матрица A

- гурвицева, то уравнение (20.13) относительно n×n-матрицы H = HT имеет решение и притом – единственное которое выражается формулой

'∞

H = eAT tQeAtdt.

0

Если Q = QT ≥ 0, то H = HT ≥ 0 и нуль-пространство матрицы H инвариантно относительно A : из Hx0 = 0 следует HAx0 = 0.

Изучение устойчивости линейных стационарных систем через построение функций Ля-

пунова не представляет практического интереса, но, как отмечено выше, уравнения Ляпунова находят применение при решении многих задач теории управления.

Для механических, электрических и других систем, не содержащих вносящих дополнительную энергию элементов (такие системы называются пассивными), в качестве функции

Ляпунова целесообразно использовать полную энергию (см. пример в п. 20.6).

Если в рассматриваемой системе реализуется движение в направлении градиента некоторой целевой функции [6, 19, 35, 38] (такие системы называются градиентными), то целе-

сообразно в качестве функции Ляпунова брать саму целевую функцию.

Если система содержит (одну) скалярную нелинейность ϕ(σ) (рис. 18.1, с. 146), функцию Ляпунова удобно брать в виде «квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности»,

– так называемая «функция Ляпунова–Лурье»

Для систем с k нелинейностями аналогично используется функция

!k ' σj

188

Подробнее использование функций этого типа рассмотрено в [27].

Находит также применение аппарат векторных функций Ляпунова [8, 38]. Эти функ-

ции получаются как набор отдельных функций, построенных для подсистем, из которых состоит рассматриваемая система.

20.5Устойчивость дискретных систем

Рассмотрим вкратце некоторые подходы и результаты применения метода Ляпунова для

исследования дискретных систем [19, 35, 49,53]. Основные идеи совпадают с теми, которые изложены выше для систем непрерывного времени.

Пусть стационарная дискретная система описывается нелинейным разностным уравнением

Предполагаем, что точка x = 0 есть состояние равновесия системы (20.14), т.е. f(0) = 0 и x[k] ≡ 0 есть тривиальное решение (20.14). Как и для непрерывных систем, при исследовании устойчивости некоторого другого состояния равновесия x (т.е. такого состояния, для которого выполнено x = f(x )), можно перейти к исследованию устойчивости нулевого состояния через уравнения в отклонениях, которые получаются из (20.14) относительно отклонения x[k] = x[k] − x .

Как и выше (с. 183), введем положительно определенную функцию V (x). Приведем

некоторые теоремы ляпуновского типа для дискретного случая [49].

Теорема 1. Об устойчивости систем дискретного времени.

Если существует положительно определенная функция V (x) такая, что в силу системы

то состояние равновесия устойчиво (асимптотически устойчиво) по Ляпунову.

Теорема 2. Об устойчивости в целом дискретных систем. Если функция V (x) асимптотически устойчивой системы удовлетворяет условию роста V (x) → ∞ при k → ∞, то состояние равновесия асимптотически устойчиво в целом.

Формулировка теоремы об инвариантных множествах для дискретного случая, как и теорем 1, 2, получается из формулировок соответствующих теорем для непрерывных систем

˙ ≤ ≤

заменой условия V 0 на V (x) 0.

189

Рассмотрим применение метода Ляпунова к линейным дискретным системам. Пусть

Асимптотическая устойчивость системы обеспечивается отрицательной определенностью полученной квадратичной формы; другими словами – существованием положительно определенного решения H = HT > 0 алгебраического уравнения Ляпунова для дискретных

Как и в непрерывном случае, этот результат не имеет самостоятельного значения для исследования устойчивости линейных систем, но уравнение (20.17) находит применение в других задачах [22, 34].

Кроме прямого метода Ляпунова, для исследования устойчивости дискретных систем используются и несколько иные подходы. К ним относится применение принципа сжима-

ющих отображений и теоремы о неявной функции [35].

Напомним, что отображение f = f(x), x Rn, f Rn называется сжимающим, если

f(x) − f(y) ≤ L x − y , L < 1. 5

Принцип сжимающих отображений [35] гласит, что если f – сжимающее отображение, то оно имеет единственную неподвижную точку x (т.е. такую, что x = f(x ), см. также

с. 160), к которой сходится процесс (20.14) при любом x0 со скоростью геометрической прогрессии

устойчивости системы (20.14). Например, устойчивость линейной системы (20.16) не обязательно вытекает из данного принципа [35].

Теорема о неявной функции служит для анализа устойчивости неявных дискретных моделей [8, 32, 35].

5 Другими словами, если функция f удовлетворяет глобальному условию Липшица (см. (18.13) на с. 153) с константой L < 1.

190