ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

коммутирует с любой квадратной матрицей, можем записать 1

Теперь, используя приведенные в пп. 1,2 результаты, окончательно получаем

Следовательно, ряд (11.5) точно выражается конечным числом слагаемых и

Если теперь рассмотреть более общий случай кратных вещественных собственных зна-

α1 0

4.Матрица A имеет кратные мнимые собственные значения.

1Следует обратить внимание на то, что выражение eA+B = eA · eB справедливо только для коммутативных квадратных матриц, т.е. таких, что AB = BA.

2Квадратные матрицы, обладающие таким свойством, называются нильпотентными [23,51]. Известно,

что все их собственные числа равны нулю.

91

α β

−β α . Матрица A имеет кратные собственные числа s1,2 = s3,4 = α ± jβ и имеет

вещественную форму Жордана. Поступая аналогично пункту 2, представим ее в виде

ричная экспонента находится произведением экспонент соответствующих матриц. Окончательно получаем

Приведенные здесь примеры показывают, что выражения для матричной экспоненты

при жордановой форме матрицы имеют достаточно простой вид. В общем случае, когда

где J1, . . . , Jl – клетки Жордана.

Если исходная матрица A имеет произвольный вид, то всегда существует невырожден-

˜ −1

ное преобразование с матрицей T такое, что подобная ей матрица A=T AT – жорданова.

Тогда, по свойству 8 переходной матрицы (см. 11.3), получаем e =T −1e ˜ T. Так как имеют-

At At

ся эффективные вычислительные алгоритмы приведения к диагональной форме (особенно, если у матрицы A нет кратных собственных чисел), данный способ получения матричной экспоненты представляется достаточно удобным. Другой способ вычисления опирается на приближенное представление экспоненты и будет рассмотрен в следующем параграфе.

Аналитические формулы для матричной экспоненты могут быть получены также на основе преобразования Лапласа [4, 22, 39]. Этот метод основан на том, что резольвента

R(s) постоянной матрицы A является изображением по Лапласу ее матричной экспоненты:

L(eAt) = sIn −A −1 (см. сноску 11 на с. 20). Поэтому элементы переходной матрицы можно найти с помощью таблиц обратного преобразования Лапласа [11, 29, 33, 39, 42].

92

13.2Приближенные методы

Приближенные методы основаны на различных аппроксимациях ряда (11.5) выражениями,

содержащими конечное число слагаемых. Наиболее очевидной является аппроксимация

Тейлора порядка k, согласно которой ряд (11.5) приближенно заменяется конечной суммой

Например, при k =1 получаем линейное приближение

которое будем называть аппроксимацией Эйлера 3.

Аппроксимация (13.1) не является наилучшей. Во многих отношениях более предпочти-

тельна более общая аппроксимация Паде. При такой аппроксимации экспонента ex пред-

ставляется рациональной функцией ex ≈ Fμν (x) с числителем Fμν степени μ и знаменате-

Gμν (x)

лем Gμν степени ν, определяемыми формулами

Приведем некоторые частные случаи (13.4). Прежде всего отметим, что аппроксимация Тейлора (13.1) является частным случаем (13.4) при ν =0. Следовательно, формула метода

3 Обоснование такого названия следует из аналогии с численным решением дифференциальных уравнений [8].

93

Эйлера (13.2) совпадает с аппроксимацией Паде (1, 0). Аппроксимация Паде (0, 1) имеет вид

и в дальнейшем будет называться неявным методом Эйлера.

Аппроксимация Паде (1, 1) соответствует методу Тастина (см. также с. 103) и определяется формулой

Одним из преимуществ аппроксимаций Паде является их более высокая точность, чем соответствующих (при k = max(μ, ν)) аппроксимаций Тейлора. Ошибка аппроксимации (13.1) имеет порядок малости O(τk), а ошибка «диагональных» аппроксимаций (13.4) (μ, ν) при μ=ν – порядок малости O(τ2μ+1). Другим достоинством формулы Паде при ν = 0 яв-

ляется сохранение свойства устойчивости непрерывной системы при переходе к дискретной модели.

Недостатком неявных методов является необходимость обращения матрицы Gμν (Aτ)

и связанная с этим проблема ее вырожденности. Следует, однако, иметь в виду, что существуют достаточно эффективные алгоритмы обращения матриц и возникающие здесь дополнительные вычислительные затраты обычно оправданы. Что же касается возможной вырожденности матрицы G, то заметим, что она имеет место, если у матрицы A есть собственные числа, совпадающие с корнями γj многочлена Gμν (γ). Из (13.3) можно вывести, что при μ = ν выполнено Reγj > 0, j = 1, . . . , ν. Следовательно, для устойчивых непрерывных систем всегда выполнено det Gμν (Aτ) = 0. Если же система неустойчива, то при вырожденности матрицы G следует использовать аппроксимацию с другими параметрами μ, ν, либо несколько изменить значение τ. Заметим что при τ → 0 Gμν (Aτ) → In,

следовательно, выбор достаточно малого τ гарантирует det Gμν (Aτ) = 0.

94

При вычислении матричной экспоненты может оказаться полезным предварительное определение ее на малом интервале τ по формулам (13.1) или (13.4) (что дает высокую точность) с последующим рекуррентным возведением в степень полученного результата (метод Ракитского) [32]. Здесь используется свойство eAT0 = eAτ k при T0 =kτ.

Предлагается также при определении высоких степеней матрицы A пользоваться теоремой Кэли–Гамильтона [23], согласно которой каждая квадратная матрица удовлетворяет

своему характеристическому уравнению. Поэтому

An =− a1An−1 +a2An−2 +· · ·+anIn ,

где ai – коэффициенты характеристического многочлена det(λIn −A)= λn+ a1λn−1+ a2λn−2

Свойства дискретных моделей, основанных на приближенных методах вычислений eAτ ,

а также некоторые применения приведенных соотношений будут рассмотрены в 14. Сейчас более подробно рассмотрим вопрос вычисления матрицы Q в (12.2), обращая внимание на возможность det A=0.

13.3Вычисление матрицы Q в общем случае

Напомним, что формула (12.5) для вычисления матрицы Q применима, если det A = 0 .

Трудностей, связанных с вычислением Q при вырожденной матрице A, можно избежать, если при формальной подстановке выражения для P =eAT0 , полученного из аппроксимаций Тейлора (13.1) или Паде (13.4), в (12.5) произвести «сокращение» матрицы A. Тогда в выражение для Q матрица A−1 входить не будет. Например, аппроксимация по методу Эйлера (13.2) P = In + AT0 приводит к формуле Q = BT0, а аппроксимация Паде (1, 1) (13.6) («метод Тастина») – к формуле Q=(In −AT0/2)−1BT0.

Другой способ состоит в расширении уравнений состояния исходной системы (12.1). Входной процесс u(t) при tk ≤ t < tk+1 рассматривается как решение некоторого однородного дифференциального уравнения. Тогда расширенная система тоже является однородной и в вычислении по (12.5) нет необходимости. Искомые матрицы P и Q получаются как подматрицы «расширенной» матричной экспоненты.

Продемонстрируем этот подход для ступенчатого входного процесса u(t) = u(tk) при tk ≤ t < tk+1. Для указанного промежутка времени уравнение (12.1) запишем в виде

95

Введем расширенный (n+m)-мерный вектор состояния x¯(t)=col{x(t) , u(t)} и (n+m)×(n+m)- матрицу

Отметим также, что при использовании описанных в п. 13.1 аналитических методов, основанных на приведении матрицы A к канонической жордановой форме, в вычислении

Q по формуле (12.5) нет необходимости. В этом случае интеграл от матричной экспоненты в (11.9) может быть найден аналитически и представлен элементарными функциями.

4 Oтметим, что данный метод вычислений реализован в программе c2d тулбокса CONTROL SYSTEMS пакета MATLAB [52].

96

Лекция 14

14 Дискретные модели для различных видов входного процесса

Выше основные результаты по переходу к дискретным моделям получены для систем с экстраполятором нулевого порядка. Для таких систем выполнено (12.3). Рассмотрим некоторые обобщения результатов п. 12.2 для других видов входного процесса. Требование одно-

значности определения процесса u(t) по последовательности {u(ti)} k−1 будем по-прежнему

0

считать выполненным.

14.1Смещенное z-преобразование

Вряде приложений представляет интерес получение дискретной модели системы, в которой значения x[k], y[k] соответствуют состоянию и выходу непрерывной системы не в моменты

времени tk =kT0 (как указано в 12.1), а в моменты tk,ε = (k+ε)T0, 0 ≤ ε < 1. 1 Итак, полагая, как и ранее, входное воздействие кусочно-постоянным вида (12.3), получим разностные уравнения, описывающие переход от состояния x(tk,ε) к состоянию x(tk+1,ε) при известном u(t), tk,ε ≤ t < tk+1,ε. Для этого, как и в 12.2, проинтегрируем уравнение (12.1) на интервале

[tk,ε, tk+1,ε] по формуле (11.9). Получим

Вычисляя интегралы, получаем аналогичное (12.4) уравнение x(tk+1,ε)=P x(tk,ε)+Q1u(tk)+Q2u(tk+1),

y(tk,ε)=Cx(tk,ε)+Du(tk),

где по-прежнему P =eAT0 ; матрицы Q1, Q2 при det A = 0 определяются соотношениями

Q1 =A−1 (P − Pε) , Q2 =A−1 (In − Pε) , Pε =eAT0ε.

1 Рассмотренная в 12.1 задача является частным случаем данной при ε = 0. Обычно данная задача называется определением «смещенного z-преобразования».

97

(14.1) не имеет стандартного вида (12.2). Для устранения возникающих при этом неудобств

выполним преобразование (14.1) к виду (12.2). Обозначив x˜[k] = x[k] − Q2u[k], получим x[k]=x˜[k]+Q2u[k] и

x˜[k+1]=P x˜[k]+(P Q2+Q1)u[k], y[k]=Cx˜[k]+(CQ2+D)u[k].

Данное уравнение имеет вид (12.2), где

P =eAT0 , Q=P Q2 +Q1, C =C, D =CQ2 +D.

При вычислении матриц Q1, Q2 можно использовать метод, описанный в п. 13.3 Для этого получим x(tk+1,ε), последовательно интегрируя уравнение (13.9) на интервале [tk,ε, tk+1]

при начальных условиях x(tk,ε)=x[k], u(tk,ε)=u[k] и на интервале [tk+1, tk+1,ε] при начальном

значении x(tk+1), полученном на конце первого интервала, взяв u(tk+1)=u[k+1]. В результате получаем разностное уравнение

x[k+1]=P x[k]+PεQ1−εu[k]+Qεu[k+1],

14.2Прямоугольные импульсы

уравнения состояния системы к виду (13.9). Проинтегрируем их на интервале [tk, tk,γ] при начальных условиях x(tk) = x[k], u(tk,γ) = u[k] и на интервале [tkγ , tk+1], при начальном

2 Входной процесс вида (12.3), рассмотренный в 12.2 является частным случаем (14.2) при γ = 1.

98

значении x(tk,γ), полученном на конце первого интервала и u(tk,γ)=0. Аналогично 13.3 14.1 получаем разностное уравнение

14.3Экспоненциальные импульсы

Получим дискретную модель системы при входном воздействии вида

где α – параметр экстраполятора. Как и в 13.3, получим уравнения расширенной системы, которые в данном случае принимают вид

Приравнивая P =P , Q=Q , получаем искомые матрицы дискретной модели (12.2).

14.4Треугольные импульсы

Рассмотрим теперь входной процесс, имеющий вид прямоугольных треугольников с высо-

той u(tk) и основанием T0γ. Он описывается уравнением

где tk,γ = (k+γ)T0. Значения x(tk) можно вычислить непосредственно, интегрируя (12.1) с

учетом (14.6); однако чтобы избежать обращения матрицы A, воспользуемся описанным в

13.3 приемом.

99

Поступая аналогично п.п. 13.3 14.2 введем расширенный (n + 2m)-мерный вектор со-

стояния x¯(t) = col x(t), u(t), v(t) и (n+2m)×(n+2m)-матрицу

Интерируя расширенное однородное уравнение (14.7) на интервале t [tk, tk,γ], получим

¯

дискретную модель с матрицей P вида

Объединяя полученные выражения, получим разностное уравнение для x[k] вида (12.2), где матрицы

P=eAT0 , Q=P1−γ Qγ.

Вработе [33] показано применение формулы Коши при построении дискретных моделей для систем с произвольно заданной формой импульса. Решение задачи сводится к вычислению матричной экспоненты eAT0 и интеграла

0T 0 eA(T0−τ)φ(τ)dτ, где функция φ(·) определяет вид импульсов, образующих входной процесс.

100