ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

Таким образом, мы нашли матричный множитель, связывающий изображения по Лапласу входного и выходного процессов при нулевом начальном состоянии – передаточную функцию данной системы (3.18).

Для дискретных систем (3.17) аналогичный результат получается с помощью z-

преобразования [8, 29, 33].

Для строго реализуемых систем передаточная функция имеет более простой вид

−1

W(λ)=C λIn −A B, который обычно и будем использовать в дальнейшем.

Размер матрицы W(λ) определяется размерностями входа и выхода системы. Для си-

3.2Алгоритмы вычисления передаточных функций

Остановимся на вычислительной стороне получения W(λ). Наибольшую сложность пред-

ставляет вычисление резольвенты R(λ) = λIn− A −1 матрицы A. По правилу обращения

матриц выполнено

R(λ)= adj λIn −A , det(λIn −A)

где через adj(·) обозначена матрица алгебраических дополнений к λIn−A T , или присоединенная (к λIn−A) матрица [23]. Знаменатель этого выражения есть скалярный многочлен степени n, det(λIn−A) = A(λ)=λn+a1λn−1+a2λn−2+· · ·+an. Он называется характеристическим многочленом матрицы A. Таким образом, все передаточные функции Wi,j(λ), вычисленные по формуле (3.18), имеют (с точностью до возможных сокращений) одинаковые знаменатели Ai,j (λ) ≡ A(λ). Поэтому характеристический многочлен матрицы A совпадает со знаменателем передаточной функции системы. Вид переходного процесса в системе, ее устойчивость определяются корнями λi данного многочлена. Значения λi называются соб-

21

ственными числами матрицы A. Множество собственных чисел {λi} известно как спектр

данной матрицы [23]. Поэтому условие асимптотической устойчивости системы (3.16) можно сформулировать, как требование того, чтобы спектр матрицы A целиком располагался в левой полуплоскости комплексной плоскости C. Для асимптотической устойчивости дискретных систем (3.17) спектр матрицы A должен лежать внутри окружности единичного радиуса плоскости C с центром в начале координат.

Вычисление резольвенты R(λ) осложняется тем, что характеристическая матрица

λIn −A не числовая, а функциональная – зависит от переменной λ. Поэтому стандартные алгоритмы обращения матриц (например, алгоритм Гаусса) здесь не применимы. Для решения этой задачи разработан ряд специальных алгоритмов: Леверье–Фаддеева, Данилевского, Сурье [22,39], дающие хороший результат при невысоком порядке системы. Для матриц высокой размерности при вычислении по этим алгоритмам происходит быстрое накопление ошибок округления, связанных с ограниченностью разрядной сетки ЭВМ. Для устранения этого явления разработаны более устойчивые вычислительные алгоритмы, основанные на приведении матриц с помощью элементарных преобразований к так называемой канонической форме Хессенберга [3, 44]. 12

При «ручном» вычислении передаточной функции оказывается более удобной запись уравнений состояния в операторной форме [29] с последующим определением выходной переменной через решение систем линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим этот

каждое из которых является системой n линейных уравнений относительно n неизвестных компонент вектор-функций wj (λ)= [w1j (λ), w2j (λ), . . . , wmj (λ)]T . Находя решения (3.19) по

12 Матрица A порядка n имеет верхнюю каноническую форму Хессенберга, если ее элементы aij удовлетворяют условию aij = 0 для i − j ≥ 2 (i, j = 1, 2, . . . n).

22

формулам Крамера [4, 23, 29], получим

где Δ(λ) = det(λIn −A) есть главный определитель системы (3.20), совпадающий с характеристическим многочленом матрицы A, а ij (λ) есть определители, полученные заменой i-го столбца характеристической матрицы λIn −A на столбец bj . Найдя все определители, получим матричную передаточную функцию Wx(λ) к состоянию системы. После умножения на матрицу C и суммирования полученного выражения с матрицей D находим искомую передаточную функцию.

Данный прием вычислений удобен и для уравнений более общего вида, например

Главный определитель системы (3.22) Δ(λ)=det(λA0 −A1) будет (с точностью до постоянного множителя) совпадать с характеристическим многочленом матрицы A.

Рассмотрим некоторые примеры.

3.3Примеры перехода к передаточным функциям от уравнений состояния

Пример 1. Электрические цепи. Вернемся к рассмотренным в п. 2.3.1 с. 16, уравнениям RLC-цепей. Непосредственным вычислением получаем, что уравнениям (2.12) при y(t) = x(t) (выход – напряжение на емкости) соответствует передаточная функция

рядка [11,33] ( или фильтром нижних частот). Когда выходом системы является напряже-

23

где s C, w1(s), w2(s) – передаточные функции к переменнным x1, x2. Из (3.23) находим

Δ(s)=LCs2 +RCs+1, 1(s)=Cs, 2(s)=1, поэтому

соответствует комбинации двойного дифференцирующего звена и колебательного (при ξ <

1) или апериодического второго порядка [11, 33] (при ξ ≥ 1) звеньев. В качестве частотноизбирательного фильтра оно является фильтром верхних частот (ВЧ-фильтром).

Отметим, что в рассмотренных случаях размерность пространства состояний системы совпадает со степенью знаменателя передаточной функции. Кроме того, у строго реализуемых систем степень числителя передаточной функции ниже степени знаменателя. При

D = 0 они совпадают. Данная зависимость имеет общий характер и будет наблюдаться в дальнейшем.

Далее для вычисления передаточных функций будем использовать соотношения (3.21), (3.22).

Пример 2. Двигатель постоянного тока. Рассмотрим модель двигателя постоянного тока (2.14), с.18. Уравнения (3.22) принимают вид

swα,e(s)−wω,e(s)=0,

(Ls+R)wi,e(s)+Cewω,e(s)=1, −CM wi,e(s)+Jwω,e(s)=0,

swα,M (s)−wω,M (s)=0,

а(Ls+R)wi,M (s)+Cewω,M (s)=0, −CM wi,M (s)+Jwω,M (s)=−1.

24

Здесь wj,k(s), j {α, i, ω}, k {e, M} являются передаточными функциями от входов e(t), M(t) к переменным состояния α(t), i(t), ω(t). Поскольку в данном примере выхо-

дом считается вектор [α(t), i(t)]T , нас будут интересовать четыре передаточные функции:

wα,e(s), wα,M (s), wi,e(s), wi,M (s). Найдем определители Δ(s) = s(JLs2 + JRs + CeCM ),

Δ(s)α,e = CM , Δ(s)α,M =−(Ls+R), Δ(s)i,e = Js2, Δ(s)i,e = Ces, откуда получим матричную передаточную функцию системы (2.14):

Заметим, что в данном примере сумма степеней знаменателей передаточных функций (даже с учетом сокращения нулей и полюсов) равна десяти, в то время как система описывается уравнениями состояния третьего порядка. Можно сделать вывод, что для многосвязных систем (систем, имеющих несколько входов и выходов) уравнения состояния могут привести к реализации меньшего порядка, чем совокупность передаточных функций. 13

Как видно из полученных выражений, рассматриваемый объект демонстрирует разнообразное поведение в зависимости от того, на какой вход поступает воздействие и какая выходная переменная определяется. По углу вращения ротора двигатель является звеном интегрирующего типа в сочетании с апериодическим звеном второго порядка или с колебательным звеном – в зависимости от соотношения параметров. Если JR2 ≥ 4LCeCM , то процесс имеет апериодический, иначе – колебательный, характер. По якорному току двигатель является звеном дифференцирующего типа (от напряжения источника) либо позиционным звеном (от момента нагрузки). Инерционность токовой цепи имеет тоже апериодический

либо колебательный характер.

Пример 3. Уравнения ИСЗ (2.15) в форме (3.22), имеют вид

представляет собой двойное интегрирующее звено.

13 В литературе встречаются следующие сокращения:

– при l = m= 1 система относится к виду SISO (single input – single output),

– при l > 1, m > 1 – к виду MIMO (multi input – multi output). Возможны, соответственно, варианты SIMO и MISO.

25

3.4Частотные характеристики

Одной из причин, обусловивших широкое использование передаточных функций, является

их связь с частотными характеристиками. Рассмотрим отдельно непрерывные и дискретные системы.

3.4.1 Частотные характеристики непрерывных систем

Рассмотрим стационарную систему (3.16). Пусть u(t)=ue¯ s0t, где постоянные u¯ Rm, s0 C. Будем искать решение (3.16) в виде x(t) = xe¯ s0t, где x¯ Cn – подлежащая определению константа. Подстановка выражений для u(t), x(t) в (3.16) дает s0xe¯ s0t = Axe¯ s0t + Bue¯ s0t,

(s0I−A)¯xes0t = Bue¯ s0t, (s0I−A)¯x = Bu¯. Полагаем, что имеет место нерезонансный случай: s0 не совпадает ни с одним собственным числом матрицы A и поэтому det(s0I−A) = 0.

Отсюда находим, что x¯ =(s0I−A)−1Bu¯ и, следовательно, выполнено равенство

Прежде чем использовать полученное выражение, исследуем единственность найденного решения. Пусть функция x˜(t) также удовлетворяет (3.16). Подстановкой x(t)=x˜(t)+Δx(t)

в (3.16) непосредственно убеждаемся, что x(t) удовлетворяет однородному уравнению, получающемуся из (3.16) при u(t) ≡ 0. Следовательно, любое решение (3.16) можно представить в виде суммы вынужденной (3.26) и переходной составляющих. Поэтому найденное ре-

шение единственно с точностью до переходной составляющей x(t). При асимптотической

устойчивости системы x(t) → 0 при t → ∞ и каждое решение стремится к вынужденному процессу (3.26).

Подставим теперь полученное выражение для x(t) в уравнение выхода (3.16): y(t) =

Cx(t)+Du(t)=C(s0I−A)−1Bue¯ s0t+Due¯ s0t =(C(s0I−A)−1B+D)¯ues0t =W(s0)¯ues0t =W(s0)u(t).

Таким образом, передаточная функция является множителем (в общем случае – комплексным), связывающим вынужденную составляющую выходного процесса системы со входным сигналом экспоненциального вида. Это свойство позволяет найти и реакцию системы на гармонический входной сигнал, т.е. частотные характеристики системы.

Пусть входной процесс имеет вид гармонических колебаний u(t) = u¯ cos ωt ≡ u¯12(ejωt + e−jωt), где ω – вещественная константа, частота колебаний, j2 =−1. Используя полученную выше формулу при s0 =±jω и очевидное свойство суперпозиции решений линейных систем,

26

получим

Определение. Выражение W(jω) (ω R, j2 =−1) называется частотной передаточной функцией или частотной характеристикой непрерывной системы (3.16).

Каждый элемент Wij(jω) матричной функции W(jω) можно представить в виде 14

W(jω)=A(ω)ejω+ϕ(ω) =U(ω)+jV (ω),

где A(ω) = |W(jω)| – амплитудно-частотная характеристика (АФХ);

ϕ(ω) = argW(jω) – фазо-частотная характеристика (ФЧХ);

U(ω) = ReW(jω), V (ω) = ImW(jω) – вещественная и мнимая частотные характери-

стики (ВЧХ, МЧХ).

Годогаф W(jω) на комплексной плоскости при ω [ω0, ω1] (обычно берут ω0 =0, ω1 =∞

) называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ), или кривой Найквиста. Часто используется и диаграмма Боде (логарифмическая амплитудная характеристика, ЛАХ), которая определяется как L(ω) = 20lgA(ω), измеряется в децибелах и строится в функции

от lg(ω).

Поскольку W(λ) – рациональная функция с вещественными коэффициентами, выпол-

нено U(−ω)=U(ω), V (−ω)=−V (ω), т.е. W(−jω)=conj(W(jω)), A(−ω)=A(ω), ϕ(−ω)=−ϕ(ω).

использовании ϕ(ω) будет иметь нежелательные разрывы. Из соображений непрерывности целесообразно предварительно разлагать числитель и знаменатель W(jω) на множители не более второго порядка (что всегда возможно)

l

W(jω) ≡ Li=1

i=l+1

14 Для краткости записи индексы далее опускаем.

27

Чтобы прояснить смысл частотных характеристик, рассмотрим при указанном входе реакцию (вынужденную составляющую) i-й компоненты вектор-функции y(t) на j-ю компоненту вектора uj (t). Используя выражение (3.27), получим

yi(t)= 12 W(jω)ejωt +W(jω)e−jωt u¯j =

где y¯i =A(ω)¯uj– амплитуда выходного процесса (точнее – его вынужденной составляющей), а ϕ = ϕ(ω) – "фазовый сдвиг"между входным и выходным процессами. Таким образом, зная передаточную функцию системы, нетрудно определить ее реакцию на гармоническое воздействие (или суперпозицию таких воздействий).

Обратимся теперь к системам дискретного времени.

3.4.2 Частотные характеристики дискретных систем

Рассмотрим стационарную дискретную систему (3.17) при u[k] = uz¯ 0k, где u¯ Rm, z0

C, z0 = 0. Ищем решение (3.17) в виде x[k] = xz¯ 0k для некоторого x¯ Cn. Аналогично непрерывному случаю подстановкой u[k], x[k] в (3.17) получаем xz¯ 0k+1 =Axz¯ 0k +Buz¯ 0k, (z0I−

Как и для непрерывных систем, формула (3.29) дает вынужденную составляющую решения. Выходной процесс (с точноcтью до переходной составляющей) описывается выражением y[k] = Cx[k]+Du[k] = C(z0I−A)−1Buz¯ 0k +Duz¯ 0k = (C(z0I−A)−1B +D)¯uz0k = W(z0)¯uz0k =

W(z0)u[k].

28

Рассмотрим далее «гармонический» входной процесс u[k] = u¯ cos ωk¯ ≡ u¯ 12(ejωk¯ +e−jωk¯ ),

где вещественный параметр ω¯ – безразмерная частота. 15 Последовательность u[k] можно

Определение. Выражение W(ejω¯ ) называется частотной передаточной функцией, или частотной характеристикой дискретной системы (3.17) от безразмерной частоты ω¯.

После рассуждений, аналогичных приведенным в п. 3.4.1 с. 26, вводим следующие частотные характеристики дискретных систем [11, 22, 29, 33, 42]

A(¯ω) = |W(ejω¯ )| – амплитудно-частотная характеристика (АФХ), A(−ω¯)=A(¯ω);

ϕ(¯ω) = argW(ejω¯ ) – фазо-частотная характеристика (ФЧХ), ϕ(−ω¯)=−ϕ(¯ω);

U(¯ω) = ReW(ejω¯ ), V (¯ω) = ImW(ejω¯ ) – вещественная и мнимая частотные характеристики (ВЧХ, МЧХ), U(−ω¯)=U(¯ω), V (−ω¯)=−V (¯ω).

Особенностью частотных характеристик дискретных систем является их периодичность с периодом 2π : W(ejω¯+2πN ) = W(ejω¯ ), N = ±1, ±2, ±3, . . . . Формально это связано с тем, что аргумент z дискретной передаточной функции W(z) при подстановке z =ejω¯ принимает периодически повторяющиеся значения, "пробегая"на комплексной плоскости окружность единичного радиуса. С точки зрения "физического"смысла частотных характеристик заметим, что дискретные входные процессы, частоты которых отличаются на 2πN, неразличимы, образуют одну и ту же последовательность (cos ωk¯ ≡ cos(¯ω ± 2πN)k). Поэтому при вычислении частотных характеристик достаточно рассматривать ω¯ [0, 2π), более того, в силу симметрии годографа W(ejω¯ ) относительно вещественной оси брать ω¯ [0, π]. Частота ω¯N = π называется иногда частотой Найквиста дискретной системы. При ω¯ > ω¯N

получаются повторяющиеся (симметрично) значения АЧХ и ФЧХ.

3.4.3 Частотные характеристики цифровых систем реального времени

Остановимся на распространенном и практически важном способе применения дискретных систем, при котором входной процесс u[k] получается, как "дискретная выборка"непрерывного сигнала u(t) с периодом квантования T0: u[k] = u(t)|t=kT0, k = 1, 2, 3, . . . .

Нас интересуют частотные характеристики дискретной системы в функции от реальной

15 Отметим, что гармонические функции дискретного аргумента k могут иметь период, отличающийся от 2πω−1, или вообще не иметь периода; кроме того, наибольшее значение |u[k]| может не достигать |u¯|.

29

частоты ω непрерывного процесса u(t). Полагая u(t)=u¯ cos ωt, находим u[k]=u¯ cos(ωkT0).

Сравнивая с предыдущим пунктом, видим, что эти последовательности совпадают при

ω¯ = ωT0. Поэтому частотные характеристики систем реального времени получаются подстановкой z =ejωT0 в W(z) : A(ω)=|W(ejωT0)|, ϕ(ω)=argW(ejωT0 ), U(ω)=ReW(ejωT0 ), V (ω)= ImW(ejωT0 ), где W(ejωT0 ) есть частотная передаточная функция (частотная характеристика) дискретной системы по реальной частоте ω.

Частота Найквиста дискретной системы реального времени ωN = π/T0. Начиная с ωN

вид частотных характеристик повторяется, их нельзя задавать независимо от значений в "основной"полосе частот |ω| ≤ ωN . Поэтому, если дискретная система реального времени подвержена действию высокочастотных помех или возмущений, то для возможности их фильтрации должно выполняться условие |Ω| ≤ ωN , где Ω – граничная частота спектра входного процесса u(t). Добиться выполнения этого условия можно уменьшая период дискретности T0, однако в силу ряда причин слишком малые значения T0 нежелательны.

16 Наиболее общим решением в этой ситуации является использование предварительного аналогового фильтра нижних частот, который вводится до аналого-цифрового преобразователя. АЧХ такой системы равна произведению амплитудных характеристик пре-фильтра и цифрового устройства и имеет ограниченную полосу пропускания.

16 Например, из-за недостаточной производительности процессора или возрастания влияния ошибок, связанных с конечным числом разрядов ЭВМ.

30