ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

виду;

–вычисление элементарных делителей матрицы sIn −A;

–построение клеток Жордана по каждому элементарному делителю.

Этот процесс достаточно трудоемок и здесь не рассматривается. Более подробные сведения о жордановой форме содержатся в [23, 29, 51].

41

Лекция 6

6Управляемая и наблюдаемая канонические формы

6.1Управляемое каноническое представление

Рассмотрим другую каноническую форму – управляемое каноническое представление

(УКП) [4], которая иногда называется также канонической формой «с общим выходом», канонической формой фазовой переменной [22, 46] либо управляемой формой Луенбергера [3, 53]. 1

где a1, a2, . . . , an – некоторые коэффициенты. 2 Вычислим ее характеристический многочлен. Как нетрудно убедиться, A(s)=sn+a1sn−1+a2sn−2+· · ·+an−1s+an. Таким образом, коэффициенты характеристического многочлена располагаются в последней строке матрицы

A. Матрицы такого вида называются сопровождающими для своего характеристического многочлена, или матрицами Фробениуса. 3 Данные матрицы обладают рядом интересных свойств (см. [23, 51] и п. 8.1 с. 50). В частности, коэффициенты характеристического многочлена таких матриц определяются без вычислений.

Матрица B для данной канонической формы также имеет специальный вид. Остановимся на частном случае систем со скалярным входным воздействием u(t) R, т.е. m=1.

4

Для таких систем матрица B имеет размер n×1 и может рассматриваться как вектор-

1В отличие от формы Жордана для этой канонической формы в литературе встречаются разные названия.

2Такое представление выполнимо не всегда, см. п. 8 с. 50.

4 Мы здесь не рассматриваем форму УКП для систем с векторным входным процессом. В последнем случае матрица A может иметь более общий вид, чем (6.1), см. [3, 4, 53]. Аналогичное замечание относится и к рассмотренной в следующем параграфе форме НКП при векторном выходе.

42

Следовательно, уравнения состояния системы в данной канонической форме имеют вид

где через ci,j обозначены элементы l×n-матрицы C, вид которой не оговаривается. Видно, что переменные состояния системы (6.3) связаны друг с другом как последовательные производные. 5 Такая форма уравнений обычно используется в математике при приведении дифференциального уравнения n-го порядка к системе уравнений первого порядка, т.е. к так называемой нормальной форме Коши [29]. Структурная схема системы с одним выходом, уравнения которой имеют вид (6.3), показана на рис. 6.1.

Рисунок 6.1 – Структурная схема системы (6.3) (форма УКП).

Получим передаточную функцию системы (6.3), считая для простоты записи, что

Таким образом, в данной канонической форме как коэффициенты знаменателя A(s), так и коэффициенты числителя B(s) передаточной функции находятся без вычислений. Они

5 Заметим, что переменные состояния xj являются последовательными производными от выхода yi(t) только в том случае, когда все элементы i-й строки матрицы C, начиная с ci,2, равны нулю.

43

Рисунок 6.2 – Структурная схема системы (6.6) (форма НКП).

C = 0, . . . , 0, 1 . Ниже, в главе 15 с. 104, будут приведены также каноническая форма управляемости и каноническая форма наблюдаемости [4, 22].

45

Лекция 7

7Преобразование уравнений состояния к каноническому виду.

Преобразование к диагональной и блочно-диагональной формам

Обратимся теперь к задаче перехода от исходных уравнений состояния к уравнениям в заданной канонической форме. Решение этой задачи сводится к определению невырожденной n×n-матрицы T такой, что для заданных матриц A, B , C получаются уравнения с

˜ −1 ˜ ˜ −1 1

матрицами A =T AT , B =T B, C =CT , имеющими требуемый канонический вид.

Заметим, что столбцы матрицы T −1 содержат координаты новых базисных векторов

относительно старого базиса [4, 8, 23, 29, 51]. Это означает, что если в пространстве Rn

Уравнение (7.1) приводится к однородной системе n2 линейных уравнений. Сведения о существовании ее решений содержатся, например, в [23]. Как отмечено выше, не всякие матрицы с одинаковым спектром являются подобными. Поэтому не каждая матрица может быть приведена к заданной канонической форме. Возможность такого преобразования к соответствующим каноническим формам обсуждается ниже.

При определении диагональной (в общем случае – вещественной жордановой ) кано-

пары ˜ ˜ ), а остальные матрицы находятся через матрицу путем указанных преобразований

(A, B) T

2 Напомним, что базисом n-мерного линейного пространства называется (любая) упорядоченная система n линейно независимых векторов из этого пространства [4, 8, 23].

46

˜ ˜ −1

B =T B, C =CT . Поэтому нас интересует задача определения матрицы T такой, что вы-

˜ −1 ˜

полнено A = T AT , причем матрица A имеет указанный вид. Естественным требованием

˜

является совпадение характеристических многочленов матриц A и A. Считая его выпол-

˜

ненным, построим матрицу A заданного канонического вида. Затем матрица преобразования T вычисляется из уравнения (7.1) либо исходя из указанного свойства преобразования базисных векторов. Уточним применение данной схемы решения для случая простых собственных чисел матрицы A. Рассмотрим вначале систему, для которой все собственные числа si матрицы A простые и вещественные.

7.1Простые вещественные собственные числа

При решении этой задачи обычно используются собственные векторы матриц. Напомним, что собственным вектором некоторой n×n-матрицы A, отвечающим собственному значению si называется такой вектор x0i = 0, для которого выполнено равенство [8, 23, 51]

Таким образом, собственный вектор – это ненулевой вектор, который при линейном преобразовании с матрицей A остается коллинеарным самому себе. Очевидно, что собственные

векторы определяются с точностью до произвольного ненулевого множителя, т.е. если x0i

– собственный вектор и λ = 0, то λx0i также является собственным вектором матрицы

A. Поэтому каждый вещественный собственный вектор определяет некоторое собственное направление, или собственную прямую в пространстве Rn. 3

рицы. Собственными направлениями, таким образом, здесь являются оси ортогональной системы координат. Нетрудно убедиться, что при простых собственных числах матрицы

˜

A других собственных векторов нет. Покажем, что матрица приведения T к диагональной канонической форме (5.4) при простых вещественных собственных числах определяется из

3 Нетрудно заметить, что мнимым собственным числам матрицы A с вещественными элементами отвечают собственные векторы, имеющие мнимые компоненты. Случай мнимых собственных чисел будет рассмотрен в следующем параграфе.

47

Действительно, пусть si – собственные числа, а x0i – собственные векторы n×n-матрицы

A, т.е. Ax0i = six0i , x0i = 0, (i = 1, 2, . . . , n). Пусть также известно, что данная матрица связа-

санные выше выражения для собственных векторов в одно матричное соотношение, получа-

˜ 0 ˜ −1

ем AP = P A. Отсюда при линейной независимости xi получим A = P AP, следовательно,

T= P −1, что непосредственно дает выражение (7.3).

За м е ч а н и е . Здесь не обсуждался вопрос о линейной независимости собственных векторов {x0i }, что, очевидно, необходимо для существования матрицы T вида (7.3). Как известно [23, 51], при простых собственных числах si матрицы A это условие выполнено, а именно данный случай и рассматривается в настоящем парарафе.

7.2Простые мнимые собственные числа

Рассмотрим теперь более общий случай приведения уравнений состояния системы к блоч- но-диагональному виду (5.4). Считаем, что все корни характеристического многочлена матрицы A попарно различны, но среди них имеются комплексно-сопряженные si,i+1 =αi ± jβi,

(j2 = −1), αi = Resi,i+1, βi = |Imsi,i+1|. В этом случае матрица A также имеет n ли-

нейно независимых собственных векторов и изложенный в п. 7.1 с. 47, алгоритм применим. Однако полученная в результате такого преобразования диагональная матрица

менты, что вызывает трудности при их последующем использовании. Поэтому рассмотрим алгоритм, позволяющий получить вещественную блочно-диагональную форму вида (5.4) [8, 22, 36].

Пусть имеются собственные значения si,i+1 = αi ± jβi, которым отвечают собственные

x0i+1 =conj(x0i ), где conj(·) – операция комплексного сопряжения. Определим теперь векторы

48

hi, hi+1 формулами

Векторы hi, hi+1 по построению вещественные и, если все собственные числа простые, линейно независимы между собой и с другими собственными векторами. Эти векторы определяют в пространстве Rn некоторую собственную плоскость – инвариантное подпространство матрицы A размерности два. 4

Построим теперь матрицу преобразования

T =[x01, x02, . . . , hj, hj+1, . . . , hq+r−1, hq+r]−1,

где вектор-столбцы x0i отвечают вещественным, а hj, hj+1 – мнимым собственным значе-

± ˜ −1

ниям sj,j+1 = αj jβj . Преобразование A = T AT с найденной таким образом матрицей

T приводит уравнения системы к вещественной блочно-диагональной форме (5.4), в которой порядок следования блоков соответствует порядку расположения столбцов x0i , hj у

матрицы P =T −1.

Приведение уравнений состояния к вещественной жордановой форме при наличии кратных собственных чисел здесь не рассматривается. Заметим, однако, что если вид матрицы Жордана (5.6) определен, то для вычисления матрицы T можно непосредственно использовать формулу (7.1). Для кратных вещественных собственных чисел формулы вычисления

T в явном виде приведены, например, в [22].

Заметим, что если матрица A в исходных уравнениях состояния имеет вид матрицы Фробениуса (6.1), что соответствует формам УКП и НКП, собственные векторы определяются достаточно просто. Непосредственной подстановкой можно установить, что такая матрица имеет собственные векторы x0i = [1, si, s2i , . . . , sni −1]T , (i = 1, 2, . . . , n). Если собственные числа простые, то полученная система векторов линейно независима и определяет матрицу T перехода к диагональной, или блочно-диагональной, форме.

X . Собственные прямые представляют собой нетривиальные инвариантные подпространства единичной размерности.

49

Лекция 8

8Преобразование уравнений состояния к управляемой и наблюдаемой каноническим формам

8.1О возможности преобразования матрицы к форме Фробениуса

Вканонических формах УКП и НКП (см. п.п. 6 6.2) матрица A должна иметь вид матрицы Фробениуса (6.1). Кроме того, в форме УКП задается вид матрицы B, а в форме НКП – матрицы C.

Заметим прежде всего, что не для всякой матрицы имеется преобразование подобия к виду (6.1). Как известно [23, 51], для матрицы вида (6.1) характеристический многочлен

A(s) = det(sIn − A) совпадает с ее минимальным многочленом. 1 Верно также и обратное: каждая матрица, у которой приведенный характеристический многочлен совпадает с минимальным, может быть приведена к виду матрицы Фробениуса. Например, поскольку это выполнено для матриц с простыми собственными числами, то каждая такая матрица может быть приведена невырожденным преобразованием к виду (6.1).

Возможность приведения матрицы к виду (6.1) в общем случае зависит от размера клеток жордановой формы (5.6). Если размер каждой клетки совпадает с кратностью соответствующего вещественного собственного значения или равен удвоенной кратности мнимых (комплексно-сопряженных) собственных значений, то такая матрица может быть приведена и к виду (6.1) [51]. В противном случае такая возможность отсутствует.

З а м е ч а н и е . Помимо жордановой формы матрицы A, известна и другая блочнодиагональная форма (первая естественная нормальная форма [23,51]), в которой матрица

1 Напомним следующие определения [23]. Скалярный многочлен f(s) называется аннулирующим многочленом для квадратной матрицы A, если f(A)= 0. Заметим, что характеристический многочлен A(s), по

теореме Кэли–Гамильтона, является и аннулирующим многочленом. Матрица может иметь аннулирующие многочлены, отличные от характеристического.

Минимальным многочленом χ(s) матрицы A называется приведенный аннулирующий многочлен для A наименьшей степени. Очевидно, что степень минимального многочлена degχ(s) ≤ n. При degχ(s) = n минимальный многочлен совпадает с характеристическим. Такая ситуация имеет место прежде всего, если все собственные числа матрицы A простые. Минимальный многочлен χ(s) можно вычислить из соотношения [23]: A(s) = χ(s)d(s), где A(s) – приведенный характеристический многочлен (A(s) = det(sIn − A) ), а d(s) – наибольший общий делитель элементов присоединенной для sIn − A матрицы adj(sIn − A).

50