Переход из пск в дск и из дск в пск

y x = r cos φ

y = r sin φ (1.6.41)

y M

r =

x φ = arc tg y/x (1.6.42)

x

Лекция 7

1.7 Аналитическая геометрия

1.7.1. Аналитическая геометрия на плоскости. Уравнение прямой линии на плоскости.

1.7.2. Кривые второго порядка в декартовой системе координат.

1.7.3. Кривые второго порядка в полярной системе координат.

1.7.1 Аналитическая геометрия на плоскости. Уравнение прямой линии на плоскости.

Определение 1.7.1.

Под прямой линией будем понимать луч, продолженный в обе стороны.

1. Общее уравнение прямой линии на плоскости

Ax + By + C = 0 (1.7.1)

2. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом

, если ,, тоy = px + q (1.7.2)

– уравнение с угловым коэффициентом

Пусть p = k, q = b, тогда y = kx + b (1.7.3)

угловой коэффициент k – тангенс угла наклона

k = tg (1.7.4)

3) Уравнение прямой линии в отрезках

; если ,, то(1.7.5)

- уравнение прямой линии в отрезках.

4. Уравнение прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении

, k=tg (1.7.6)

4. Уравнение прямой проходящей через 2-е точки

,

(1.7.7)

4. Нормальное уравнение прямой

, ,

(1.7.8)

– нормальное уравнение прямой.

4. Задача на прямую (расстояние от точки до прямой)

(1.7.9)

8) Деление отрезка на части

;

(1.7.10)

– деление отрезка на части в отношении .

9) Угол между двумя прямыми

(1.7.11)

1.7.2 Кривые второго порядка в декартовой системе координат.

Определение 1.7.2.

Кривые второго порядка считаются кривые, описываемые в ДСК ( Декартова Система Координат) алгебраическими уравнениями второго порядка.

Таких уравнений всего три:

1)) эллипс,

2)) гипербола,

3)) парабола.

1. Эллипс

Определение 1.7.3.

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух других точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

(1.7.12)

В координатной форме уравнение (1.7.12) принимает вид

(1.7.13)

- эксцентриситет (1.7.14)

(1.7.15)

- каноническое уравнение эллипса (1.7.16)

(1.7.17)

Свойство эллипса:

Луч, выпущенный из одного фокуса и отражённый от касательной к эллипсу в точке М, попадёт во второй фокус.

2. Гипербола

Определение 1.7.4.

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух других точек, называемых фокусами, есть величина постоянная равная 2а

r₁ – r₂ = 2(1.7.18)

(1.7.19)

(1.7.20)

(1.7.21)

(1.7.22)

(1.7.22) – каноническое уравнение гиперболы.

Свойство гиперболы

Если поместить зеркало так, чтобы оно было направленно по касательной к гиперболе в т.М, то луч направленный из F₁ и отражённый от зеркала, будет виден наблюдателю выпущенным из F₂.

3. Парабола

Определение 1.7.5

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой точки F, называемой фокусом, и от прямой называемой директрисой.

(1.7.23)

r = d (1.7.24)

Если (1.7.24) расписать в координатной форме, то можно получить (1.7.25)

из которого после упрощения получается y² = 2px (1.7.26) – каноническое уравнение параболы.

Свойство параболы:

луч, выпущенный из фокуса F на зеркало, расположенное по касательной к параболе в т. М, отразившись пойдет по прямой параллельной оси Ох.