Лекция 2.

Тема 1.2. Матрицы.

1.2.1. Понятие матрицы.

1.2.2. Операции с матрицами.

3. Ранг матрицы.

1.2.1.Понятие матрицы.

Определение 1.2.1

Матрицей А размерности mxn называется прямоугольная таблица, состоящая из элементов произвольной природы, содержащая m строк и n столбцов, обладающая свойствами, которые будут перечислены ниже.

Обозначение:

(1.2.1.)

где i=1…m, j=1…n.

Определение 1.2.2. (квадратная матрица)

Матрица называется квадратной, n-го порядка, если количество строк в ней равно количеству столбцов и равно n:

(1.2.2.)

Определение 1.2.3.

Квадратная матрица называется диагональной, если у нее по главной диагонали стоят элементы отличные от нуля, а все остальные равны нулю:

(1.2.3.)

Определение 1.2.4. (единичная матрица)

Диагональная матрица называется единичной, если все элементы ее главной диагонали – единицы:

(1.2.4.)

Определение 1.2.5.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца - матрицей-столбцом.

(1.2.5.)

1.2.2.Операции с матрицами.

1. Умножение матрицы на число.

Правило. Для того, что бы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на это число, т.е.:

(1.2.6.)

Пример:

2. Сложение матриц.

Правило. Складывать можно лишь матрицы, имеющие одинаковую размерность. Сложение матриц осуществляется по формуле:

(1.2.7.)

Пример:

3) Свойства линейных операций с матрицами

1. A+B=B+A

2. α(A+B)=αA+αB

4)Умножение матриц.

а) Условие и правило перемножения матриц.

Условие Перемножать можно матрицы в том случае, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Правило: Перемножение матриц осуществляется по формуле:

(1.2.8.)

Пример:

б) Свойства перемножения матриц

1. АВ≠ВА

2. АЕ=ЕА

3. А(В+С)=АВ+АС

Пример:

,

5. Транспонированная матрица и ее свойства.

Определение 1.2.5.

Матрица А^т называется транспонированной к матрице А, если выполняется условие: .

Пример:

6) Детерминант квадратной матрицы.

Определение 1.2.7.

Детерминантом квадратной матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы А.

,

Свойства detА:

1)) det (λA)=λⁿdetA,

2)) detA=det A^T,

3))detC=det(AB)=detA·detB, где А и В - квадратные матрицы одинакового порядка.

7) Минор

Определение 1.2.8.

Минором k-го порядка матрицы А размерности mxn, где k≤min(m,n), называется определитель, состоящий из k строк и k столбцов, составленных из строк и столбцов матрицы А.

Пример:

, ,

3. Ранг матрицы.

1. Понятие ранга матрицы.

Определение 1.2.9.

Максимальный порядок r отличных от нуля миноров матрицы А называется ее рангом, а любой минор порядка r, отличный от нуля называется базисным минором.

2. Метод элементарных преобразований для определения ранга матрицы.

Замечание Поскольку определение ранга матрицы основано на вычислении определителей, а вычисление определителей возможно методом элементарных преобразований, то и вычисление ранга возможно этим же методом. К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

1)) Перестановка строк (столбцов).

2)) Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля.

3)) Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

Пример: rang A=?

Решение.

rang A=3.

Свойства ранга:

1. rang λA=rang A

2. rang(A+B)≤rang A+rang B

3. rang(AB)≤min{rang A, rang B}.