2.6.2. Теоремы Гаусса и Безу.

1) Теорема Гаусса.

Алгебраическое уравнение вида:

, (2.6.10.)

где a_i – действительные или комплексные числа, имеет, по крайней мере, один действительный или комплексный корень .

Выражение вида:

(2.6.11.)

называется однородным алгебраическим полиномом п-ой степени. Если при подстановке в него вместо х значения он обращается в ноль, тосчитается корнем данного полинома.

2) Теорема Безу.

Если - корень полинома (2.6.11.), то этот полином делится без остатка на выражение ( х -).

2.6.3. Разложение алгебраических многочленов на множители.

Пример.

Разложить на элементарные множители полином вида

Решение

. На основании теоремы Гаусса у этого уравнения имеется по крайней мере один действительный корень, подбором определяем его:

(Проверка: )

Согласно теореме Безу полином должен без остатка разделиться на:

Затем определяются остальные корни

Ответ:

Лекция 15.

Модуль 3. Интегральное исчисление.

Тема 3.1. Неопределенный интеграл.

3.1.1. Первообразная и неопределенный интеграл.

3.1.2. Свойства неопределенного интеграла и таблица интегралов.

3.1.3. Методы интегрирования.

3.1.1. Первообразная и неопределенный интеграл.

1) Первообразная.

Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a,b], если во всех точках этого отрезка F`(x) = f (x) (3.1.1.)

Если F₁(x) и F₂(x)– две первообразные от функции f (x) на отрезке [a,b], то разность между ними равна постоянному числу, т.е.

F1(x) – F2(x) = c = const (3.1.2)

2) Неопределенный интеграл

Если F(x) первообразная для f (x), то F(x) + c называется неопределенным интегралом: ∫ f(x) dx = F( x) + c (3.1.3.)

3.1.2. Свойства неопределенного интеграла и таблица интегралов.

1. Свойства неопределенного интеграла

1. ( ∫ f(x) dx)` = ( F(x) + c)` = f(x)

2. d ∫ f(x) dx = f(x) dx

3. ∫ d F(x) = F(x) + c

4. ∫ (f₁(x) + f₂(x)) dx = ∫ f₁(x) dx + ∫ f₂(x) dx

5. ∫ a f(x) dx = a ∫ f(x) dx

6. ∫ f(ax) dx = F(ax) + c

7. ∫ f (x+b) dx = F (x+b) + c

8. ∫ f (ax+b) dx = F (ax+b) + c

2) Таблица интегралов

1. ∫ dx = x+c, 2. ∫ c f(x) dx = c ∫ f(x) dx, 3. ∫ x dx =+ c, 4. ∫= ln \x\ +c,

5. ∫ a^х dx =+c, 6. ∫ e^х dx = e^х +c,7. ∫ log_а x dx = ,

8. ∫ ln xdx= x(ln x – 1)+c, 9. ∫ sin xdx = -cos x +c, 10. ∫ cos xdx = sin x+c,

11. ∫ tgx dx = - ln+c, 12. ∫ ctgx dx = ln+ c

13. ∫ arc sin xdx = x arcsin x + + c

14. ∫ arc cos xdx = x arc cos x + + c

15. ∫ arc tg xdx = x arc tg x – ln (1+x²) + c,

16. ∫ arc ctg xdx = x arc ctg x – ln (1+x²) + c,

17. ∫ sh xdx = chx + c, 18. ∫ ch xdx = sh x + c,

19. ∫dx = arc sin x + c = -arc cos x + c,

20. ∫dx = arc sin x + c = -arc cos x + c,

21. ∫dx = arc sin+ c = - arc cos+ c,

22. , 23.,

24. 25.

26. 27.

28. 29.30.

31. 32. ∫ (u+v) dx = ∫ udx + ∫ vdx, 33.∫ udv = uv - ∫ vdu

Пример

Пользуясь таблицей основных интегралов, найти неопределенный интеграл

∫(5х+1)²dx = ∫(25х² +10х +1)dх = ∫ 25х²dx +∫ 10х dх +∫ 1dх =25 ∫ х²dx +10 ∫ х dx + ∫ dх =