Тема 2.4. Дифференциал.

1. Дифференциал и его геометрический смысл.

2. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

3. Производные и дифференциалы различных порядков.

1. Дифференциал и его геометрический смысл.

1. Понятие дифференциала.

,

- главная часть приращения функции,- б.м.ф. большего порядка малости, чем главная часть приращения функции.

Дифференциалом функции у = у(х)называется главная часть приращения функцииdy=x (2.4.1.)

Дифференциал аргумента равен приращению аргумента

dx =x (2.4.2.)

2. Геометрический смысл дифференциала.

y f(x)

K

y dy

M L



x x + x x

Из треугольника MKL: KL = dy = tgx = yx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

dy=x=(2.4.3.)

3. Свойства дифференциала.

Если u = u(x) и v = v(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

1. d(u  v) = (u  v)dx = udx  vdx = du  dv

2. d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv

3. d(Cu) = Cdu

4. 

4)Дифференциал сложной функции.

Инвариантная форма записи дифференциала.

Пусть y = f(x), x = g(t),т.е у- сложная функция.

Тогда dy = f(x)g(t)dt = f(x)dx.

Видно, что форма записи дифференциала dyне зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

Однако, если х- независимая переменная, то

dx=x, но если х зависит отt, тохdx.

Таким образом форма записи dy=f(x)xне является инвариантной.

Пример. Найти производную функции.

Решение.

Сначала преобразуем данную функцию:

Пример. Найти производную функции .

Решение.

Пример. Найти производную функции

Решение.

Пример. Найти производную функции

Решение.

Пример. Найти производную функции

Решение.

2. Приближенные вычисления с помощью дифференциалов.

(2.4.4.)

Пример

Решение

х = 16, х+х = 17,х = 1

у(х +х)у(х) +=

=

2. Производные и дифференциалы различных порядков.

1. Производные различных порядков.

Производной n-го порядка от функцииу = у(х)называется1-я производная от(n-1)-й производной от функцииу = у(х)

у⁽ⁿ⁾ = (y^(n-1))’ (2.4.5.)

Некоторые высшие производные.

1)) (СU) ⁽ⁿ⁾ = C U ⁽ⁿ⁾ (2.4.6.)

2)) (UV) ⁽ⁿ⁾ = U ⁽ⁿ⁾  V ⁽ⁿ⁾ (2.4.7.)

3)) Формула Лейбница: (2.4.8.)

2) Производные различных порядков от функций заданных неявно.

Пример

2. Производные различных порядков от функций заданных параметрически.

(2.4.9.)

(2.4.10.)

3. Дифференциалы различных порядков.

Дифференциалом n-го порядка от функцииу = у(х)называется дифференциал1-го порядка от дифференциала(n -1)-го порядка от функцииу = у(х).

(2.4.11.)

(2.4.12.)

Лекция 13.