1.6.2. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

1) Радиус вектор

Определение 1.6.12.

Если М некоторая точка пространства и вектор ОМ соединяет начало координат и эту точку М, то он называется ее радиус-вектором.

Определение 1.6.13.

Если М₁ и М₂ две произвольные точки пространства, то вектор может быть выражен в виде разностии, т.е

=-(1.6.4) ,

где и- радиус векторы соответственного для М₂ и М₁. В координатной форме:

(1.6.4),

тогда длина вектора будет рассчитываться по формуле

(1.6.5)

(формула расстояния между двумя точками с заданными координатами).

2. Скалярное произведение

Определение 1.6.14.

Скалярным произведением двух векторов иназывается число равное произведению длин этих векторов умноженное на косинус угла между ними.

(1.6.6),

где

Свойства скалярного произведения

1. (1.6.7)

2. , (1.6.8)

3. (1.6.9)

4. (1.6.10)

5. (1.6.11)

6. (1.6.12)

Рассмотрим скалярное произведение ортов.

1. i² = j² = k² = 1 (1.6.13)

2. (1.6.14)

Скалярное произведение векторов

Пусть вектора изаданы в координатной форме т.е.

(1.6.15),

(1.6.16),

тогда их скалярное произведение

(1.6.17),

(1.6.18).

2. Векторное произведение

Определение 1.6.15.

Векторным произведением называется векторопределяемый следующим образом

1. построенного на векторах и

2. ,

3. - составляют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения

1. (1.6.19)

2. (1.6.20)

3. (1.6.21)

Рассмотрим векторное произведение ортов

1. (1.6.22)

2. (1.6.23)

3. (1.6.24)

4. (1.6.25)

Векторное произведение векторов в координатной форме.

Пусть вектора изаданы в координатной форме, т.е.

(1.6.26),

(1.6.27),

тогда их векторное произведение

(1.6.28)

Применение векторного произведения векторов.

1)) (1.6.29)

2)) (1.6.30)

2. Смешанное произведение векторов

Определение 1.6.16.

Смешанным произведением векторов называется число полученное в результате скалярного произведения умноженного на

(1.6.31),

Смешанное произведение по абсолютной величине равно Vпараллелепипеда, построенного на этих векторах.

Свойства смешанного произведения

1. (1.6.32)

2. (1.6.33)

3. то два из этих вектора компланарны. (1.6.34)

Смешанное произведение векторов в координатной форме

а_х.a_у a_z

ā b c = b_x b_y b_z (1.6.35)

c_x c_y c_z

Применение смешанного произведения векторов

А))(1.6.36)

В))(1.6.37)

1.4.3 Преобразование координат. Полярная система

координат (ПСК)

1. Преобразование координат

1)) Параллельный перенос осей

y y1

y y` M(xy, x`y`) x = x`+ a (1.6.38)

b x` y = y`+b

x`

0 x

a x

2)) Поворот осей

y` y

y M(xy,x`y`)

y` x`

φ

0 x

x

x = r cos α = r cos (β+φ) = r cos β cos φ - r sin β sin φ = x`cos φ – y`sin φ

y = r sin α = r sin (β+φ) = r sin β cos φ - r cos β sin φ = y`cos φ – x`sin φ

т.е. x = x` cos φ – y` sin φ

y = x` sin φ + y` cos φ (1.6.39)

3)) Параллельный перенос и поворот осей

y y` x`

x = x` cos φ – y` sin φ+a

e y = x` sin φ+ y` cos φ + b (1.6.40)

0 x

2. Полярная система координат (ПСК).

Определение 1.6.14.

Полярной системой координат (ПСК) на плоскости называется система, состоящая из полюса О и исходящего из него луча Х

О Х

Координаты в ПСК

М(r, φ)

r

φ x

r – полярный радиусный вектор

φ – полярный угол