Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

ρk = A1Gk1 + A2Gk2 = eiβ − e−iβ á dk eikα − eiβ − e−iβ á dk e−ikα =

= dk ei(kα+β) − e−i(kα+β) .

eiβ − e−iβ

Таким образом,подтверждается,что автокорреляционную функцию можно записать в форме

dk sin(kα + β) ρk = sin β .

Нахождение автокорреляционной функцииAR( p)

с помощью решения конечно-разностного уравнения

Аналогичным образом можно изучать автокорреляционную функцию процесса AR(p) при произвольном p.Запишем уравнение(14.18)с помощью лагового оператора,действующего на k:

где ϕ(L) = 1 − ϕ1L − ϕ2L2 − . . . − ϕp Lp .

Рассмотрим характеристическое уравнение:

ϕ(z) = 1 − ϕ1z − ϕ2z2 − . . . − ϕp zp = 0.

Пусть λi (i = 1, . . . , p) Ñкорниэтогоуравнения.Мыбудемпредполагать,чтовсе они различны.Характеристический многочлен ϕ(z) можно разложить следующим образом:

Из теории конечно-разностных уравнений известно,что если все корни λi

где Ai Ñнекоторые константы,в общем случае комплексные. (Обсуждение решений линейных конечно-разностных уравнений см.в ПриложенииA.4.)

Другой способ состоит в том,чтобы вычислить ρ1, . . . ,ρ p−1 из уравнений ЮлаÑ Уокера(14.19),а затем составить на основе(14.30)при k = 0, . . . , p − 1 систему линейных уравнений,откуда и найти A1, . . . , Ap .

щее слагаемое не затухает.Из этих рассужд ений следует условие стационарности AR(p) Ñвсе корни соответствующего характеристического уравнения по модулю должны быть больше единицы.

ты Ai, Aj также будут сопряженными и в составе автокорреляционной функции появится экспоненциально затухающая синусоида(см.вывод автокорреляционной функции процесса Юла).

Такимобразом,изсоотношения(14.30)следует,что вобщемслучаеавтокорреляционная функция стационарного процесса авторегрессии является комбинацией затухающих экспонент и затухающих синусоид.

Итак,мы вывели общий вид автокорреляционной функции стационарного процесса авторегрессии.Теоретически в ыборочная автокорреляционная функция может служить инструментом для распознавания авторегрессионого процесса. На практике же для коротких рядов различительная сила автокорреляционной функции не очень высока.Однако часто изучение автокорреляционной функции является хорошим заделом исследования системы.

Кромеавтокорреляционнойфункцииважныминструментомдляраспознавания типа процесса является его спектр.

Спектр стационарного процесса авторегрессии

В главе13мы определили спектральную плотность стационарного процесса как косинус-преобразование Фурье автоковариационной функции(13.29):

( )

!∞

p(f ) = 2 γ0 + 2 γk cos 2πf k . (14.31)

k=1

Из этой общей формулы найдем спектральную плотность для стационарного процесса Маркова ( |ϕ1| < 1).Автоковариационнаяфункцияэтогопроцессаимеет вид:

σ2ϕk

γk = 1 −ε 12 .

ϕ1

Подставляя эти автоковариации в формулу(14.31),получим

Воспользовавшись представлением косинуса через комплексную экспоненту (формулами Эйлера) Ñ 2 cos 2πf k = ei2πf k + e−i2πf k ,после несложных преобра-

Произведение знаменателей двух дробей можно записать в разных формах:

Ошибку εt авторегрессиипроизвольногопорядкаAR(p) можновыразитьввиде линейного фильтра от yt :

поэтому для вычисления спектра авторегрессионного процесса можно воспользоваться общей формулой(14.4),характеризующей изменение спектра при применении линейного фильтра.

В частном случае процесса Юла формула спектральной плотности имеет вид:

Разложение Вольда и условия стационарности процессов авторегрессии

Как уже говорилось,модель AR(p) можно записать в виде модели линейного фильтра:

xt = !∞ ψiεt−i = ψ(L)εt , i=0

где ψ(L) = ϕ−1(L). Если процесс авторегрессии стационарен,то это разложение Вольда такого процесса.

Найдем коэффициенты модели линейногофильтра ψi процессаавторегрессии. Для этого в уравнении

Общая рекуррентная формула имеет следующий вид:

где ψ0 = 1 и ψi = 0 при i < 0.

Это разностное уравнение,которое фактически совпадает с уравнением для автокорреляций(14.18).Соответственно,если все корни характеристического уравнения различны,то общее решение такого уравнения такое же,как указа-

но в(14.30),т.е.

ψi = B1Gi1 + B2Gi2 + . . . + Bp Gip , i > −p,

где Bi Ñнекоторые константы.Коэффициенты Bi можно вычислить,исходя из известных значений ψi при i ! 0.

Очевидно,что если |Gj | < 1 j, то все слагаемые здесь экспоненциально затухают,и поэтому ряд,составленный из коэффициентов ψi сходится абсолютно:

!∞

|ψi | < ∞.

i=0

Таким образом,указанное условие гарантирует,что процесс авторегрессии является стационарным.Это дополняет вывод,полученный при анализе автокорреляционной функции.

Итак,условием стационарности процесса AR(p) является то,что корни λi характеристического уравнения лежат вне единичного круга на комплексной плоскости.

Для процесса AR(2) имеем два уравнения для коэффициентов B1, B2:

B1 + B2 = ψ−1 = 0, G1 G2

B1 + B2 = ψ0 = 1,

Оценивание авторегрессий

Термин авторегрессия для обозначения модели(14.7)используется потому, что она фактически представляет собой модель регрессии,в которой регрессорами служат лаги изучаемого ряда xt .По определению авторегрессии ошибки εt являются белым шумом и некоррелированы с лагами xt .Таким образом,выполнены все основные предположения регрессионного анализа:ошибки имеют нулевое математическое ожидание,некоррелированы с регрессорами,не автокоррелированы и гомоскедастичны.Следовательно,модель(14.7)можно оценивать с помощью обычного метода наименьших квадратов.

Отметим,чтопри такомоценивании p начальных наблюденийтеряются.Пусть имеется ряд x1, . . . , xT .Тогда регрессия в матричной записи будет иметь следующий вид:

= (ϕ1, ϕ2, . . . ,ϕ p )!,аматрицы M и m,какнетрудно увидеть,фактически состоят из выборочных автоковариаций ряда xt .Отличие от стандартных выборочных автоковариаций состоит в том,что используются не все наблюдения.

Можно рассматривать данную регрессию как решение уравнений ЮлаÑ Уокерадляавтоковариаций(14.21)(или,чтоэквивалентно,уравненийдляавтокорреляций(14.19)),где теоретические ав токовариации заменяются выборочными.

450 Глава14.Линейные стохастические модели ARIMA

Действительно,уравнения ЮлаÑУокера(1 4.21)без первой строки записываются в виде

γ = "ϕ,

где

откуда

ϕ = "−1γ.

Заменатеоретическихзначенийавтоковариаций γk выборочнымиавтоковариациями ck позволяетнайтипараметрыпроцессаавторегрессии.Ясно,чтоприэтом можно использовать и стандартные формулы выборочных автоковариаций.Темсамым,мы получаем еще один из возможны х методов оценивания авторегрессийÑ метод моментов.

Частная автокорреляционная функция

Как мы видели,автокорреляционная фун кция процесса авторегрессии состоит из экспоненциально затухающих компонент.Такая характеристика не очень наглядна,посколькусоседние автокорреляциисильносвязаны другсдругом,и,кроме того,дляполногоописаниясвойстврядаиспользуетсябесконечнаяпоследовательность автокорреляций.

Более наглядными характеристиками авторегрессии являются частные автокорреляции.Частная автокорреляция измеряетÇчистуюÈкорреляцию между уровнями временного ряда xt и xt−k при исключении опосредованного влияния промежуточных уровней ряда.Такой показатель корреляции между элементами ряда более информативен.

Пусть {xt } Ñпроизвольный стационарный ряд(не обязательно авторегрессия)и ρj Ñего автокорреляции.Применим к нему уравнения ЮлаÑУокера (14.19),как если бы процесс пр едставлял собой авторегрессию k-го порядка, и найдем по автокорреляциям коэффициенты.Если обозначить j -й коэффициент уравнения авторегрессии порядка k через ϕkj ,то уравнения ЮлаÑУокера