Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

Этожепредставлениеможнополучитьсиспользованиемоператоралага.Уравнение(14.8)запишется в виде

(1 − ϕL)xt = εt .

Применив к обеим частям уравнения (1 − ϕL)−1,получим

xt = (1 − ϕL)−1εt = (1 + ϕL + ϕ2L2 + . . . )εt = εt + ϕεt−1 + ϕ2εt−2 + . . . .

В терминах модели линейного фильтра(14.1)для марковского процесса ψi = ϕi .Поэтому

т.е.условие стационарности модели линейного фильтра(14.2)выполняется при |ϕ| < 1.

Можно сделать вывод,что условие стационарности процесса Маркова имеет следующий вид:

|ϕ| < 1.

Свойства стационарного процесса AR(1):

1)Если процесс xt слабо стационарен,то его математическое ожидание неизменно,поэтому,беря математическое ожидание от обеих частей(14.8),получим E(xt ) = ϕE(xt ),откуда

E(xt) = 0.

Если добавить в уравнение(14.8)константу:

xt = µ + ϕxt−1 + εt ,

то E(xt ) = µ + ϕE(xt ) и

µ

E(xt) = 1 − ϕ .

2)Найдем дисперсию процесса Маркова,используя полученное выше уравне-

ние σx2 = ϕ2σx2 + σε2:

434 Глава14.Линейные стохастические модели ARIMA

Можно также применить общую формулу для автоковариаций в модели линей-

При |ϕ| " 1 дисперсия процесса {xt },вычисляемая по этой формуле,неограниченно растет.

3)Коэффициент автоковариации k-го порядка по формуле(14.3)равен

Можно вывести ту же формулу иным способом.Ошибка εt некоррелирована не только с xt−1, но и с xt−2, xt−3 и т.д.Поэтому,умножая уравнение процесса (14.8)на xt−k при k > 0 и беря математическое ожидание от обеих частей, получим

E(xt xt−k ) = ϕE(xt−1xt−k )

или

γk = ϕγk−1, k > 0.

Таким образом,учитывая(14.10),получим

4)Коэффициент автокорреляции,исходя из(14.11),равен:

ρk = γk = ϕk . γ0

При 0 <ϕ< 1 автокорреляционная функция имеет форму затухающей экспоненты(рис. 14.1а),при −1 <ϕ< 0 Ñформу затухающей знакопеременной экспоненты(рис. 14.1б).

Если ϕ > 1,процесс Маркова превращается во ÇвзрывнойÈ процесс.

В случае ϕ = 1 имеет место так называемый процесс случайного блуждания, который относится к разряду нестационарных.

k k

Процесс Юла

или,через лаговый оператор:

(1 − ϕ1L − ϕ2L2)xt = εt .

Для стационарности процесса авторегрессии AR(2) необходимо,чтобы корни λ1, λ2 характеристического уравнения

1 − ϕ1z − ϕ2z2 = 0,

которые,вообще говоря,могут быть комплексными,находились вне единичного круга на комплексной плоскости,т.е. |λ1| > 1, |λ2| > 1.

Неформально обоснуем условия стационарности AR(2),разложив"характеристический полином ϕ(z) на множители(по теореме Виета λ1λ2 = −1 ϕ2 ):

ность xt .)Кроме того,корни λ1, λ2 могут быть,вообще говоря,комплексными, что требует изучения свойств комплексного марковского процесса.Более корректное обоснование приведенного условия стационарности будет получено ниже для общего случая AR(p).

УсловиястационарностипроцессаAR(2), |λ1| > 1, |λ2| > 1,можнопереписать в эквивалентном виде как ограничения на параметры уравнения авторегрессии:

Проверим эти условия.Для этого рассмотрим два случая.

можно вывести формулу автокорреляционной функции.Умножив обе части уравнения на xt−k :

xt−k xt = ϕ1xt−k xt−1 + ϕ2xt−k xt−2 + . . . + ϕp xt−k xt−p + xt−k εt ,

и перейдя к математическим ожиданиям,получим уравнение,связывающее коэффициенты автоковариации различного порядка:

Это выражение является следствием того,что соответствующие кроссковариации между процессом и ошибкой равны нулю: E(xt−k εt ) = 0 при k > 0, т.к. xt−k может включать лишь ошибки εj для j ! t − k.

Делением уравнения(14.17)на γ0 получаем важное рекуррентное соотношение для автокорреляционной функции:

Подставляя в выражение(14.18) k = 1, . . . , p,получаем,с учетом симметричности автокорреляционной функции,так называемые уравнения ЮлаÑУокера

(YuleÑWalker)для AR(p):

ρ1, . . . ,ρ p .Из этой системы при данных параметрах можно найти автокорреляции. Сдругойстороны,приданныхавтокорреляцияхизуравненийЮлаÑУокераможно найти параметры ϕ1, . . . ,ϕ p .Замена теоретических автокорреляций выборочными дает метод оценивания параметров процесса AR(p).

В частности,для процесса Юла получим из(14.19)

Зная ρ1, . . . ,ρ p ,все последующие автокорреляции ρk ( k > p)можем найти по рекуррентной формуле(14.18).

Для нахождения автоковариационной функции требуется знать γ0, дисперсию процесса xt .Если умножить обе части(14.16)на εt и взять математические ожидания,получим,что E(εt xt ) = E(ε2t ) = σε2.Далее,умножая обе части(14.16)

на xt и беря математические ожидания,получим

γ0 = ϕ1γ1 + ϕ2γ2 + . . . + ϕp γp + σε2.

Автоковариации затем можно вычислить как γj = ρj σx2.

С учетом полученного дополнительного уравнения можно записать вариант уравнений ЮлаÑУокера для автоковариаций:

В этой системе имеется p + 1 уравнений,связывающих p + 1 автоковариацию,что позволяет непосредственно вычислять автоковариации при данных параметрах.

Заметим,что14.17и14.18имеют вид линейных однородных конечноразностных уравнений,а для подобных уравнений существует общий метод нахождения решения.Решив уравнение14.1 8,можно получить общий вид автокорреляционной функции процесса авторегрессии.Проведем это рассуждение более подробно для процесса Юла, а затем рассмотрим общий случай AR(p).

Вывод формулы автокорреляционной функции процесса Юла

или,используя лаговый оператор,который в данном случае действует на k, ϕ(L)ρk = 0,где ϕ(z) = 1 − ϕ1z − ϕ2z2 Ñхарактеристический полином процесса Юла.Как мы видели,этот характеристический полином можно представить в виде:

причем A1 + A2 = 1.

В стационарных процессах корни характеристического уравнения лежат вне единичного круга.Следовательно, |G1| < 1 и |G2| < 1,и автокорреляционная функция состоит из совокупности затухающих экспонент,что на рисунке14.3 соответствует областям 1, 2, 3 и 4,лежащим выше параболической границы

ϕ21 + 4ϕ2 " 0.

При этом,если оба корня положительны или доминирует по модулю отрицательный корень(соответственно,положительное G),автокорреляционная функция затухает,асимптотически приближаясь к экспоненте(области1и4на рис. 14.3).Когда же оба корня отрицательны или доминирует по модулю положительный корень(или отрицательное G),автокорреляционная функция затухает по экспоненте знакопеременно(области2и3на рис. 14.3).

Если корни разного знака и совпадают по модулю,то затухание ρk происходит в области положительных значений, но имеет колебательный характер:

G1 = −G2,следовательно A1 = A2 = 0.5 и

0, если k Ñнечетное ,

ρk =

Gk1, если k Ñчетное .

Рассмотрим случай,когда корни λ1 = G−1 1 и λ2 = G−2 1 Ñкомплексные. Тогдаавтокорреляционная функцияпроцессаавторегрессиивторого порядкабудет представлять собой затухающую синусоиду:

dk ásin(kα + β) ρk = sin β ,