Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

Исследованияпоказывают,чтоналичиенепериодическоготренда(трендасбесконечным периодом)дает скачок на нулевой частоте,т.е.в начале координат спектральной функции.При наличии циклических составляющих в соответствующих частотах имеется всплеск;если ряд слишкомÇзазубренÈ,мощность спектра перемещается в высокие частоты.

Типичнымдлябольшинстваэкономическихпроцессовявляетсяубываниеспектральной плотности по мере того,как возрастает частота.

Процесс выделения существенных гармоникÑитеративный.При изучении периодограммы выделяется две-три гармоники с максимальной интенсивностью. Находятся оценкипараметров этих наиболее существенных гармоник,и они удаляются из временного ряда с соответствующими весами.Затем остатки временного ряда,получающиеся после исключения значимых гармоник,снова изучаются в той жепоследовательности,т.е.строится периодограмма для этих остатков,ипроявляются те гармоники,которые на начальном этапе былинезаметны,и т.д.Количество итераций определяется задаваемой точностью аппроксимации модели процесса, которая представляется в виде линейной комбинации основных гармоник.

Понятие спектра,являясь основополагающим в спектральном анализе,для экономистов играет важную роль еще и потому,что существует функциональная связь выборочного спектра и оценок автоковариационной функции.

13.4.Связь выборочного спектра с автоковариационной функцией

Покажем,чтовыборочныйспектрпредставляетсобойкосинус-преобразование Фурье выборочной автоковариационной функции.

Теорема ВинераÑХинчина:

где df комплексно сопряжено с df .

Теперь допустим,что выборочный спек тр,характеризующийся эмпирическими значениями частоты,амплитуды и фазы,вычислен для ряда из T наблюдений и мы можем неоднократно повторить этот эксперимент,соответственно собрав множество значений αj , βj и p (f ) по повторным реализациям.Тогда среднее значение p (f ) будет равно:

при больших T стремится к теоретической автоковариации γk ,получим,переходя

где ρk = γk /γ0 = γk /σ2 Ñтеоретические автокорреляции.

Итак,это соотношение связывает функцию спектральной плотности с теоретическими автоковариациями.

Иногда более удобно использовать автокорреляции:разделим обе части p(f ) на дисперсию процесса, σ2,и получим нормированный спектр g(f ):

Если процесс представляет собой белый шум,то,согласно приведенным формулам, p(f ) = 2σ2,т.е.спектральная плотность белого шума постоянна.Этим объясняется терминÇбелый шумÈ.Подобно тому,как в белом цвете смешаны в одинаковых объемах все цвета,так и белый шум содержит все частоты,и ни одна из них не выделяется.

13.5.Оценка функции спектральной плотности

На первый взгляд,выборочный спектр,определенный как

является естественной и правильной оценкой функции спектральной плотности:

Известно,что выборочная автоковариация ck Ñэто асимптотически несмещенная оценка параметра γk ,так как

lim E(ck ) = γk ,

T →∞

и поэтому выборочный спектр есть также асимптотически несмещенная оценка функции спектральной плотности.

Однакодисперсияоценки(выборочногоспектра)неуменьшаетсяпомерероста размера выборки.Это означает,что рассмат риваемая оценка несостоятельна.В то время как график функции теоретической спектральной плотности стационарного стохастического процессаÇгладкийÈ, Ñ график выборочного спектра,построенный на основе эмпирических данных, ÇнеровныйÈ.Использование данной оценки в качестве оценки функции спектральной плотности может привести к ложным выводам.

Поведение выборочного спектраиллюстрируютспектрограммы нарис. 13.1а), б),в).Гладкая жирная линия соответствует теоретической спектральной плотности случайного процесса,а неровная тонкая линияÑоценке по формуле(13.24). Видно,что с увеличением длины ряда оценка не становится более точной,а только увеличивает частоту флуктуаций.

Существует два подхода к решению проблемы несостоятельности выборочного спектра как оценки теоретического спектра.Оба заключаются в том,что выборочный спектр сглаживается,так что за счет некоторого увеличения смещения этой оценки достигается существенное снижение дисперсии(см.рис. 13.1г) ).Один подход сглаживает оценку спектра вÇчастотной областиÈ,видоизменяя формулу (13.24),другой же подход видоизменяет формулу(13.25).

Рис. 13.1

1)Взвешивание ординат периодограммы.

Первый способ сглаживания выборочного спектра применяет метод скользящего среднего,рассмотренный в предыду щей главе,к значениям периодограммы. Сглаживающая оценка определяется в форме

среднего,которые в сумме должны давать единицу,а также должны быть симметричными,в смысле µ−k = µk .Как правило,коэффициент µ0 максимальный, а остальные коэффициенты снижаются в обе стороны.Таким образом,наибольший вес в этой оценке имеют значения выборочного спектра,ближайшие к данной

частоте Tj ,в связи с чем данный набор коэффициентов называют спектральным окном.Через это окно мы как быÇсмотримÈна функцию спектральной плотности.

Формула сглаженной спектральной оценки определяется только для значений j = M, . . . , [T /2] − M .Для гармонических частот с номерами j = 0, . . . , M − 1 и j = [T /2] − M + 1, . . . , [T /2] оценка не определена,поскольку при данных значениях j величина( j − k)может принимать значения −M, . . . , −1; [T /2] + 1, . . . , [T /2] + M .Однако проблема краевых эффектов легко решается,

если доопределить функцию выборочного спектра(и,соответственно,периодограмму),сделав ее периодической.Формула(13.24)дает такую возможность,поскольку основана на синусоидах и косинусоидах.Таким образом,будем считать,что выборочный спектр определен формулой(13.24)для всех частот f (−∞, +∞). При этом ясно,что выборочный спектр будет периодической функцией с периодом 1,зеркально-симметричной относительно нуля(и относительно любой частоты вида i/2,где i Ñцелое число):

p (f − i) = p (f ), i = . . . , −1, 0, 1, . . .

и

p (−f ) = p (f ).

Формулу(13.33)несложнообобщитьтак,чтобыможнобылопроизводитьсглаживание не только в гармонических частотах.Кроме того,в качестве расстояния междуÇусредняемымиÈчастотами можно брать не 1/T ,а произвольное > 0. Таким образом приходим к следующей более общей формуле:

= M

Просматривая поочередно значения выборочного спектра и придавая наибольший вес текущему значению,можно сгладить спектр в каждой интересующей нас точке.

2)Взвешивание автоковариационных функций.

Известно,что при увеличении лага k выборочные автоковариации ck являются все более неточными оценками.Это связано с тем,что k-я автоковариация вычисляетсякаксреднеепо T −k наблюдениям.Отсюдавозникаетидеявформуле (13.25)ослабить влияние дальних авток овариаций за счет применения понижающих весов так,чтобы сростом k происходило уменьшение весового коэффициента при ck .

Если ряд весов,связа нных с автоковариациями c0, c1, . . . , cT −1,обозначить как m0, m1, . . . , mT −1,оценка спектра будет иметь вид:

Набор весов mk ,используемый для получения та кой оценки,получил название

корреляционное,или лаговое окно.

420 Глава13.Спектральный и гармонический анализ

Прииспользованиикорреляционногоокнадляуменьшенияобъемавычислений

Корреляционное окно удобно задавать с помощью функции m(á),заданной на интервале [0; 1],такой,что m(0) = 1, m(1) = 0.Обычно функцию выбирают так, чтобы между нулем и единицей эта функция плавно убывала.Тогда понижающие веса mk при k = 0, . . . , K вычисляются по формуле

mk = m(k/K ).

Ясно,что при этом m0 = 1 (это величина,с помощью которой мы взвешиваем дисперсию в формуле(13.35))и mK = 0.

Наиболее распространенные корреляционные окна,удовлетворяющие перечисленным свойствамÑэто окна Парзе на и ТьюкиÑХэннинга(см.рис. 13.2).

Можно доказать,что сглаживание в частотной области эквивалентно понижающему взвешиванию автоковариаций.Ч тобы это сделать,подставим в(13.34) выборочный спектр,выраженный через комплексные экспоненты(13.30):

ps(f ) = 2 !M µj T!−1 ck e−i2π(f −j )k . j =−M k=−(T −1)

Меняя здесь порядок суммирования,получим

ps (f ) = 2 T!−1 ck e−i2πf k !M µj ei2πj k . k=−(T −1) j =−M

Введя обозначение

придем к формуле

ps (f ) = 2 T!−1 mk ck e−i2πf k = k=−(T −1)

всегдаможемсымитироватьприменениекорреляционногоокна(13.35)спомощью (13.34).Существует бесконечно много способов это сделать.