Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

404 Глава12.Сглаживание временного ряда

а)Проведите сглаживание сгенерир ованных рядов с помощью полинома первой степени с длиной отрезка скольжения 5 и 9.

б)Выполните то же задание,испол ьзуя полином третьей степени.

в)Найдите отклонения исходных рядов от сглаженных рядов,полученных в пунктах(а)и(б).По каждому ряду отклонений вычислите среднеквадратическую ошибку.Сделайте вывод о том,какой метод дает наименьшую среднеквадратическую ошибку.

1.2.Имеются данные о производстве природного газа в СССР(табл. 12.2).

а)Постройте графики ряда и логарифмов этого ряда.Чем они различаются?Выделите основные компоненты временного ряда.Какой характер носитсезонность:аддитивныйилимультипликативный?Сделайтевывод о целесообразности перехода к логарифмам.

б)Примените к исходному ряду метод экспоненциального сглаживания, подобрав параметр сглаживания.

в)Проведите сглаживание временного ряда с использованием адаптивной сезонной модели.

Задачи

1.Сгладить временной ряд x = (3, 4, 5, 6, 7, 11),используя полином первого порядка с длиной отрезка скольжения,равной трем.

2.Записать формулу расчета вектора коэффициентов для полинома третьей степени с помощью метода скользящей средней в матричной форме с расшифровкой обозначений.

3.Вчемспецификааппроксимациипервых m ипоследних m точеквременного ряда при использовании метода скользящих средних?

4.Найти параметры адаптивной сезонной модели для временного ряда x = (1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, . . . ).

5.Изобразить график временного ряда с аддитивным ростом и мультипликативным сезонным эффектом.

6.Изобразить график временного ряда с экспоненциальным ростом и аддитивным сезонным эффектом.

7.Записать модель с экспоненциальным ростом и мультипликативным сезонным эффектом,а также формулу прогноза на5шагов вперед.

Рекомендуемая литература

1.Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. ÑМ.: ÇМирÈ, 1976. (Гл. 3).

2.Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. Ñ

М.: ÇСтатистикаÈ, 1979. (Гл. 1, 2).

3.Кендалл М.Дж.,Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. ÑМ.: ÇНаукаÈ, 1976. (Гл. 46).

4.Маленво Э. Статистическиеметоды эконометрии.Вып.2. ÑМ.:ÇСтатисти-

каÈ, 1976. (Гл. 11, 12).

5.Mills Terence C. Time Series Techniques for Economists, Cambridge University Press, 1990 (Ch. 9).

Глава13

Спектральный и гармонический анализ

13.1.Ортогональность тригонометрических функций и преобразование Фурье временного ряда

Как известно,тригонометрические функции cos t и sin t являются периодическими с периодом 2π:

cos(t + 2π) = cos t, sin(t + 2π) = sin t.

Функции cos(λt − θ) и sin(λt − θ) периодичны с периодом 2π/λ.Действительно,

cos(λt − θ) = cos(λt + 2π − θ) = cos (λ(t + 2π/λ) − θ) , sin(λt − θ) = sin(λt + 2π − θ) = sin(λ(t + 2π/λ) − θ).

Величина λ/2π,обратная периоду,называется линейной частотой, λ называют угловой частотой.Линейная частота равна числу периодов(не обязательно целому),содержащемуся в единичном и нтервале,то есть именно такое число раз функция повторяет свои значения в промежутке [0, 1].

Рассмотрим функцию:

R cos(λt − θ) = R(cos λt cos θ + sin λt sin θ) = α cos(λt) + β sin(λt),

где предпоследнее равенство получено из формулы суммы геометрической прогрессии,а последнееÑиз формулы(13.7),т.к.

e±i2πj = cos(2πj) ± i sin(2πj) = 1.

Мы доказали выполнение(13.2Ð13.4)для указанного набора функций,получив одновременно некоторые количественные их характеристики.Таким образом,

Величину 2πj/T = λj называют частотой Фурье,а набор скаляров αj и βj

( j = 0, 1, . . . , [T /2]) Ñ коэффициентами Фурье.

Если cj t и sj t Ñэлементы векторов cj и sj ,стоящие на t-ом месте,то,переходя к векторным обозначениям, (13.13)можно переписать в матричном виде:

Перепишемвматричной форме свойства ортогональности тригонометрических функций,которые потребуются при вычислении коэффициентов Фурье:

где 1T = (1, . . . , 1)! Ñ T -компонентный вектор.

Для нахождения коэффициентов Фурье скалярно умножим c!j на вектор x и, воспользовавшись изложенными свойствами ортогональности(13.15),получим:

13.2.Теорема Парсеваля

СутьтеоремыПарсевалясостоит втом,чтодисперсия процесса xt разлагается по частотам соответствующих гармоник следующим образом: