Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казахский национальный университет им. аль-Фараби

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

5.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 7440 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

392	Глава12.Сглаживание временного ряда

которые могут быть определены раз и навсегда и зависят только от длины отрезка скольжения и степени полинома.

Для определения коэффициентов a0, a1, . . . , ap полинома(12.1)с помощью МНК по первым (2m + 1) точкам минимизируется функционал:

	m
ε =	!	(xt − a0 − a1t − . . . − ap tp )2.	(12.2)

t=−m

Заметим,что t принимает условные значения от −m до m.Это весьма удобныйприем,существенноупрощающийрасчеты.Дифференцированиефункционала по a0, a1, . . . , ap дает систему из p + 1 уравнения типа:

m	m	m		m	m
!	!	!	tj +2 + ááá + ap	!	!
a0	tj + a1	tj +1 + a2	tj +2 + ááá + ap	tj +p =	xttj ,
t=−m	t=−m	t=−m		t=−m	t=−m

j = 0, 1, . . . , p. (12.3)

Решение этой системы уравнений относительно неизвестных параметров

a0, a1, . . . , ap (i = 0, 1, . . . , 2p) облегчается тем,что все суммы	m	ti при
	t=−m
нечетных i равны нулю.Кроме того,т.к.полином,подобранный по	%2m + 1 точ-

кам,используется для определения значения тренда в средней точке,а в этой точке t = 0,то,положив в уравнении(12.1) t = 0,получаем значение тренда,равное a0. Стало быть,задача сглаживания временного ряда сводится к поиску a0.

Система нормальных уравнений(12.3),которую нужно разрешить относительно a0, разбивается на две подсистемы:однуÑсодержащую коэффициенты с четными индексами a0, a2, a4, . . .,другуюÑвключающую коэффициенты с нечетнымииндексами a1, a3, a5, . . ..Решениесистемыотносительно a0 зависитотчис-

m	m
ленных значений %t=−m ti и линейных функций от x типа	%t=−m xt tj .

В итоге,значением тренда в центральной точке отрезка будет средняя арифметическая,взвешенная из значений временного ряда от x−m до xm cвесовыми коэффициентами βt , которые зависят от значений m и p:

a0 = !m βt xt .

t=−m

Указаннаяформулаприменяетсядлявсехпоследующихотрезковскольжения,свычислением значений тренда в их средних точках.

Продемонстрируем рассматриваемый метод на примере полинома второй степени и длины отрезка скольжения,равной пяти точкам.Здесь надо свести к минимуму сумму:

ε = !2 (xt − a0 − a1t − a2t2)2.

t=−2

12.1.Метод скользящих средних

393

Получается система уравнений:

t=2 2 a0

a1 t=2 2 t

a2 t=2 2 t2

= t=2 2 xt ,

−

t + a

+ a

x t,

−

xt t2.

2%t2

= %2

−

Для конкретных значений сумм при ap система уравнений приобретает вид:

				5a0 + 10a2				%2
				5a0 + 10a2			= t=2 2 xt ,


						1				t
						1				t
									−
									−
				10a			=		−
				10a			=			x t,
								t=		2
								t=	−	2
									−
								%
				10a0 + 34a2			=	%		xt t2.
				10a0 + 34a2			=	%2		xt t2.



								t=		2
Решение этой системы относительно a0 дает следующий результат:
		2	2
	1	!	!	1
a0 =	35	,17	xt − 5	xt t2. =	35		(−3x−2 + 12x−1 + 17x0 + 12x1 − 3x2) .
		t=−2	t=−2

Весовые коэффициенты для полиномов2Ð5степени и длины отрезка скольжения от5до9представлены в таблице12.1.

Таблица12.1.Фрагмент таблицы Каудена для весов βt

Длина					Степени полинома
отрезка
скольже-
ния

2m + 1	m				p = 2, p = 3			p = 4, p = 5

5	2	1		(−3, 12, 17, 12, −3)

		35
7	3		1	(−2, 3, 6, 7, 6, 3, −2)			1	(5, −30, 75, 131, 75, −30, 5)
7	3	21		(−2, 3, 6, 7, 6, 3, −2)		231		(5, −30, 75, 131, 75, −30, 5)
9	4		1		(−21, 14, 39, 54, 59, 54,		1	(15, −55, 30, 135, 179, 135,
9	4		231		(−21, 14, 39, 54, 59, 54,	429		(15, −55, 30, 135, 179, 135,
					39, 14, −21)			30, −55, 15)

394	Глава12.Сглаживание временного ряда

Метод скользящих средних в матричной форме

Введем следующие обозначения:

1. cj = 12 %m xt tj .

t=−m

Так как xt и tj известны,то cj также известно для каждого

j= 0, 1, . . . , p.

1 %m

2.ωi = 2 t=−m ti, i = 0, 1, . . . , 2p. Тогда


		0,		если i Ñнечетно,
		0,		если i Ñнечетно,

ω	=	2m + 1
i			,	если i = 0,
		2	,	если i = 0,
		2


		1 + 2 + . . . + m ,		если i Ñчетно.






		i i	i
		i i	i

В таких обозначениях система(12.3)принимает вид:

ω0

ω1

ωp

ω1	ááá
ω2	ááá
.	.	.
.			.
.
ωp+1	ááá

ωp

ωp+1

...

ω2p

a0a1...

	c0
=	c1
=		.
	.
	..






	cp

В краткой записи эта система выглядит как

M a = c,

где матрица M Ñизвестна,кроме того,ее элементы с нечетными индексами равны нулю,вектор c также известен.

Из полученной системы следует

a = M −1c.

Теперь можно использовать формулу Крамера для нахождения ak :

a = det Mk+1		,
k	det M
	det M

ωi = 5 ,

1i + 2i,

12.1.Метод скользящих средних

395

где матрица Mk+1 получается из матрицы M заменой (k + 1)-го столбца вектором c.

Таким образом,

a =	# det M ,		det M2	, . . . ,	det M	$ .
		det M1	det M		det Mp+1	!

Рассмотрим частный случай,когда m = 2 и p = 2,т.е.временной ряд аппроксимируется полиномом второй степени:

τt = a0 + a1t + a2t2.

Система уравнений,которую нужно решить относительно ak ,имеет вид:

2	2	2		2
!	!	!		!
a0	tj + a1	tj+1 + a2 tj+2	=	xttj ,
t=−2	t=−2	t=−2		t=−2

где x−2

Тогда

, x−1, x0, x1, x2 Ñизвестны, j = 0, . . . , p.Находим ωi :

если i Ñнечетно, если i = 0,

если i Ñчетно.

				M =			ω0			ω1		ω2				=		5/2 0 5				.
				M =			ω1			ω2		ω3				=			0	5 0		.

							ω	2		ω	3	ω	4						5	0	17
								2			3		4
Находим определители:
Находим определители:
det M		=	25 á 7
			2	2					2
			2	c0	0		5		2										5		2			2
	1		2	c1	5 0				2					0	−		2			,		t	−		t
	1		2	c1	5 0				2					0			2		2			t			t
			2						2										2		t= 2			t= 2 .
			2	c	0		17		2												!			!
det M		=	2	c	0		17		2	= 5(17c						5c ) =				17		x		5 x t2 ,
det M		=	2	2					2	= 5(17c						5c ) =				17		x		5 x t2 ,
			2	2					2
			2						2												−			−
			2						2
			2						2	2
	2		2	0		c1			0	2					1					t
			2	5/2		c0			5	2		35					35	2
			2							2		2					4 t= 2
			2							2								!
det M		=	2							2	=			c	=					x t,
			2							2
			2							2								−
			2							2
			2	5		c2		17		2
			2	5		c2		17		2

396															Глава12.Сглаживание временного ряда
		2	5/2 0 c0									2						c2											25 1						2						2
	3	2	0	5						c1		2												0																t			t
	3	2	0	5						c1		2						2 −						0						2 ,2 t=									2	t	− t=		t
		2										2					(	2 −							)					2 ,2 t=							−		2		− t=	−	2 .
		2	5	0						c		2																							!						!
det M =		2	5	0						c		2		= 25									c		=														x t2				x .
det M =		2									2	2		= 25									c		=														x t2				x .
		2									2	2
		2										2
		2										2
Отсюда:		2										2
																					2								2
						det M									1			!											!
			a0 =			1						=				,17								xt − 5										xt t2				.,
			a0 =			det M						=			35	,17								xt − 5										xt t2				.,
																	2		t=−2											t=−2
																	2
			a1 =			det M2						=			1	!			xt t,
			a1 =									=			10				xt t,
						det M									10	t=−2
																t=−2
																	2												2
			a2 =			det M3						=			1	!			xt t2						1				!
																								−								xt.
						det M									14									−			7	t=−2				xt.
																t=−2												t=−2
Таким образом,
		a0 =		3								+			12	x−1 +					17			x0 +					12						3
				−					x−2																						x1 −								x2	,
				−				35	x−2						35							35								35	x1 −					35			x2	,
		a1 = −0, 2x−2 − 0, 1x−1 + 0, 1x1 + 0, 2x2,
		a2 =		1								1						1							1			x1 +				1
							x−2			−					x−1		−			x0 −														x2	,
					7		x−2			−			14		x−1		−		7	x0 −						14							7	x2	,

и каждый из этих коэффициентов получается как взвешенная средняя из уровней временного ряда,входящих в отрезок.

Оценкипараметров a1, a2, . . . , ap необходимы длявычислениязначенийтренда в первых m и последних m точках временного ряда,поскольку рассмотренный способ сглаживания ряда через a0 сделать это не позволяет.

Размерность матрицы M определяется степенью полинома: (p + 1) × (p + 1), пределы суммирования во всех формулах задаются длиной отрезка скольжения. Следовательно,для выбранных значений p и m можно получить общее решение в виде вектора (a0, a1, . . . , ap )!.

Свойства скользящих средних

1. Сумма весов βt в формуле a0 =

βt xt равна единице.

t=−m

Действительно,пусть все значения временного ряда равны одной и той же

константе c.Тогда

βt xt = c

βt

должна быть равна этой константе

t=−m

c,а это возможно

только в том случае,если

t=−m βt = 1.

,т.е.

βt = β−t

нулевого значения

2. Веса симметричны относительно

12.1.Метод скользящих средних

397

Это следует из того,что весовые коэффициенты при каждом xt зависят от tj ,

аj принимает только четные значения.

3.Для полиномов четного порядка p = 2k формулы расчета a0 будут теми же самыми,что и для полиномов нечетного порядка p = 2k + 1.

Пусть p = 2k + 1,тогда матрица коэффициентов системы(12.3)при неизвест-

ных параметрах a0, a1, . . . , ap

будет выглядеть следующим образом:

t=−m t0

t=−m t

ááá

t=−m t2k

t=−m t2k+1

−

m t

−

m t

ááá

−

m t

−

m t

2k+1

2k+2

−

ááá

−

t2k

t2k+1

t4k

t4k+1

t= m t

t= m

ááá

t= m

−

m 2k+1

2k+2

4k+1

4k+2

Для нахождения a0 используются уравнения с четными степенями t при a0, следовательно,половина строк матрицы ,включая последнюю,в расчетах участвовать не будет.

В этом блоке матрицы,содержащем коэффициенты при a0, a2, a4, . . . , последний столбец состоит из нулей,так как его элементыÑсуммы нечетных степеней t.Таким образом,уравнения для нахождения a0 при нечетном значении p = 2k + 1 в точности совпадают с уравнениями,которые надо решить для нахождения a0 при меньшем на единицу четном значении p = 2k:

	%m					2	%m				4
		m					m
		t=−m t0					t=−m t2
		t=		m t			t=		m t
			−					−
		.					.
	%.						%.
		.					.


			−		t		%	−		t
%		m	−			2k	%	−			2k+2
		m				2k	m				2k+2
		t= m					t= m

ááá				t=−m t2k
				m
ááá				t=	−	m t
ááá				.	−				.
.	.			.
	.		%.					2k+2
		. .
			%m

ááá			%		−		t
				m				4k
				t= m

4. Оценкипараметров a1, . . . , ap тожевыраженыввиделинейнойкомбинации уровней временного ряда,входящих в отрезок,но весовые коэффициенты в этих формулах в сумме равны нулю и не симметричны.

Естественным образом возникает вопрос,какой степени полином следует выбирать и какой должна быть длина отрезка скольжения.Закономерность такова: чем выше степень полинома и короче отрезок скольжения,тем ближе расчетные

398	Глава12.Сглаживание временного ряда

значения к первоначальным данным.При этом,помимо тенденции могут воспроизводиться и случайные колебания,наруш ающие ее смысл.И наоборот,чем ниже степень полинома и чем длиннее отрезок скольжения,тем более гладкой является сглаживающая кривая,тем в большей мере она отвечает свойствам тенденции, хотя ошибка аппроксимации будет при этом выше.

В принципе,если ставится задача выявления тренда,то,с учетом особенностей покомпонентного разложения временного ряда,следует ориентироваться не на минимальнуюостаточнуюдисперсию,анастационарностьостатков,получающихся после исключения тренда.

12.2.Экспоненциальное сглаживание

Кроме метода скользящей средней как способа фильтрации временного ряда известностьюпользуетсяэкспоненциальноесглаживание,восновекотороголежит расчет экспоненциальных средних.

Экспоненциальная средняя рассчитывается по рекуррентной формуле:

st = αxt + βst−1,	(12.4)
где st Ñзначение экспоненциальной средней в момент	t,

α Ñпараметр сглаживания(вес последнего наблюдения), 0 < α< 1,

β = 1 − α.

Экспоненциальную среднюю,используя рекуррентность формулы(12.4),можно выразить через значения временного ряда:

= αx + β(αx

t−1

+ βs

t−2

) = αx + αβx

t−1

+ β2s

t−2

= . . . =

= αxt + αβxt−1 + αβ2xt−2 + . . . + αβj xt−j + . . . + αβt−1x1 + βts0 =

t−1

= α

+ βts

, (12.5)

βj x

t−j

t Ñколичество уровней ряда, s0 Ñнекоторая величина,характеризующая начальные условия для первого применения формулы(12.4)при t = 1.В качестве s0 можно использовать первое значение временного ряда,т.е. x1.

Так как β < 1,то при t → ∞ величина βt → 0,а сумма коэффициентов

αt%−1 βj → 1. j =0

Действительно,

∞		1			1
j!
j!	1	−	β	= (1 − β)1	−	β	= 1.
α βj = α	1		β	= (1 − β)1		β	= 1.
=0

12.2.Экспоненциальное сглаживание			399
Тогда последним слагаемым в формуле(12.5)можно пренебречь и
∞		∞
j!		!	(1 − α)j xt−j .
st = α βj xt−j	= α		(1 − α)j xt−j .
=0		j =0

Таким образом,величина st оказывается взвешенной суммой всех уровней ряда,причем веса уменьшаются экспоне нциально,по мере углубления в историю процесса,отсюда названиеÑ экспоненциальная средняя.

Несложно показать,что экспоненциальная средняя имеет то же математическое ожидание,что и исходный временной ряд,но меньшую дисперсию.

Что касается параметра сглаживания α,то чем ближе α к единице,тем менее ощутимо расхождение между сглаженным рядом и исходным.И наоборот,чем меньше α,тем в большей степени подавляют ся случайные колебания ряда и отчетливее вырисовывается его тенденция.Экспоненциальное сглаживание можно представить в виде фильтра,на вход которого поступают значения исходного временного рядя,а на выходе формируется экспоненциальная средняя.

Использование экспоненциальной средней вкачестве инструмента выравнивания временного ряда оправдано в случае стационарных процессов с незначительным сезонным эффектом.Однако многие процессы содержат тенденцию,сочетающуюся с ярко выраженными сезонными колебаниями.

Довольно эффективный способ описания таких процессовÑ адаптивные сезонные модели,основанные на экспоненциальном сглаживании.Особенность адаптивных сезонных моделей заключается в том,что по мере поступления новой информации происходит корректировка параметров модели,их приспособление, адаптация к изменяющимся во времени условиям развития процесса.

Выделяют два вида моделей,которые можно изобразить схематично:

1.Модель с аддитивным сезонным эффектом ,предложенная Тейлом и Вей-

джем(Theil H., Wage S.):
xt = ft + gt + εt ,	(12.6)

где ft отражает тенденцию развития процесса, gt , gt−1, . . . , gt−k+1 Ñаддитивные коэффициенты сезонности; k Ñколичество опорных временных интервалов (фаз)в полном сезонном цикле; εt Ñбелый шум.

2.Модель с мультипликативным сезонным эффектом ,разработанная Уин-

терсом(Winters P.R.):
xt = ft á mt á εt ,	(12.7)

где mt , mt−1, . . . , mt−k+1 Ñмультипликативные коэффициенты сезонности.

400	Глава12.Сглаживание временного ряда

Впринципе,эта модель после логарифмирования может быть преобразована

вмодель с аддитивным сезонным эффектом.

Мультипликативные модели целесообразно использовать в тех ситуациях,когда наряду,допустим,с повышением среднего уровня увеличивается амплитуда колебаний,обусловленная сезонным фактором.Если в аддитивных моделях индексы сезонности измеряются в абсолютных величинах,то в мультипликативныхÑ

вотносительных.

Ив том,и в другом случае обновление параметров модели производится по схеме экспоненциального сглаживания.Оба варианта допускают как наличие тенденции(линейной или экспоненциальной),так и ее отсутствие.

Множество комбинаций различных типов тенденций с циклическими эффектами аддитивного и мультипликативного характера можно представить в виде обобщенной формулы:

ft = αf d1 + (1 − αf )d2,

где ft Ñнекоторый усредненный уровень временного ряда в момент t после устранения сезонного эффекта,

αf Ñпараметр сглаживания, 0 < αf < 1, d1 и d2 Ñхарактеристики модели.

	xt ,



d1 =		xt − gt−k ,
	mt−k ,
			xt

Ñесли сезонный эффект отсутствует, Ñв случае аддитивного сезонного эффекта,

Ñв случае мультипликативного сезонного эффекта.

Таким образом, d1 представляет собой текущую оценку процесса xt ,очищенную от сезонных колебаний с помощью коэффициентов сезонности gt−k или mt−k , рассчитанных для аналогичной фазы предшествующего цикла.

ft−1,

d2 = ft−1 + ct−1,ft−1 á rt−1,

Ñпри отсутствии тенденции, Ñв случае аддитивного роста,

Ñв случае экспоненциального роста.

В этой формуле ct−1 Ñабсолютный прирост,характеризующий изменение среднего уровня процесса,или аддитивный коэффициент роста, rt−1 Ñкоэффициент экспоненциального роста.

Например,для модели с аддитивным ростом и мультипликативным сезонным эффектом подойдет график,изображенный на рисунке12.1а,а для модели с экспоненциальным ростом и аддитивным сезонным эффектомÑграфик на рисунке

12.1б.

12.2.Экспоненциальное сглаживание	401
Примеры графиков для некоторых типов адаптивных сезонных моделей
a)б)
xt	xt

t	t
Модель с аддитивным ростом	Модель с экспоненциальным ростом
и мультипликативным сезонным эффектом	и аддитивным сезонным эффектом

Рис. 12.1.Графики некоторых типов временных рядов

Адаптация всех перечисленных параметров осуществляется с помощью экспоненциального сглаживания:

gt = αg (xt − ft) + (1 − αg )gt−k ,

mt = αm xt + (1 − αm )mt−k ,

ct = αc (ft − ft−1) + (1 − αc )ct−1,

rt = αr ft + (1 − αr )rt−1,

ft−1

где 0 < αg , αm, αc , αr < 1.

Первые две формулы представляют собой линейную комбинацию текущей оценки коэффициента сезонности,получ енной путем устранения из исходного уровня процесса значения тренда( xt − ft и xt/ft ),и оценки этого параметра на аналогичной фазе предшествующего цикла( gt−k и mt−k ).Аналогично,две последние формулы являются взвешенной суммой текущей оценки коэффициента роста(соответственно,аддитивного ft − ft−1 и экспоненциального ft/ft−1) и предыдущей его оценки( ct−1 и rt−1).

Очевидно,что в случае отсутствия тенденции и сезонного эффекта получается простая экспоненциальная средняя:

ft = αf xt + (1 − αf )ft−1.

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 7440 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Диплом

#
24.03.201581 б16.~lock.NonParametrics1.pdf#
#
24.03.201581 б19.~lock.suslov_ibragimov_ekonometrika.pdf#
#
24.03.2015247.12 Кб14112_Регрессионный_анализ.docx
#
24.03.20152.49 Mб42Algebra_lineynoy_regressii.docx
#
24.03.2015160.08 Кб25NonParametrics1.pdf
#
24.03.20155.55 Mб42suslov_ibragimov_ekonometrika.pdf
#
24.03.201530.82 Кб29vopros gosy.docx
#
24.03.201559.9 Кб41Лекция 16 регр анализ.doc