Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

Особого внимания требует вопрос о том,насколько сильно нужно сглаживать спектральную плотность.Для корреляци онных окон степень гладкости зависит от того,насколько быстро убывают понижающие веса.При фиксированной функции m(á) все будетзависеть отпараметра K Ñчем меньше K ,тем болеегладкой будет оценка.

Для спектральных окон степень гладкости зависит от того,насколько близко ÇмассаÈкоэффициентов µk лежитктойчастоте,длякоторойвычисляетсяошибка. При этом принято говорить о ширине окна,или ширине полосы.

Еслиширинаокнаслишкомбольшая,топроизойдетÇпересглаживаниеÈ,оценка будет сильно смещенной,и пики спектральной плотности станут незаметными. (В предельном случае оценка будет ровной,похожей на спектр белого шума.)Если ширина окна слишком малая,то произойд етÇнедосглаживаниеÈ,и оценка будет похожа на исходную несглаженную оценку и иметь слишком большую дисперсию. Такимобразом,ширинаокнавыбирается наосновекомпромиссамеждусмещением и дисперсией.

13.6.Упражнения и задачи

Упражнение1

Сгенерируйте ряд длиной200по модели:

xt = 10 + 0.1t + 4 sin(πt/2) − 3 cos(πt/2) + εt ,

где εt Ñнормально распределенный белый шум с дисперсией3.Предположим, что параметры модели неизвестны,а имеется только сгенерированный ряд xt .

1.1.Оцените модель линейного тренда и н айдите остатки.Постройте график ряда остатков,а также графики автокорреляционной функции и выборочного спектра.

1.2.Выделите тренд и гармоническую составляющую,сравните их параметры с истинными значениями.

Упражнение2

Для временного ряда,представленного в таблице12.2 (с. 403),выполните следующие задания.

2.1.Исключите из временного ряда тренд.

2.2.Остатки ряда,получившиеся после исключения тренда,разложите в ряд Фурье.

2.3.Найдите коэффициенты αj и βj разложения этого ряда по гармоникам.

2.4.Постройте периодограмму ряда ост атков и выделите наиболее существенные гармоники.

2.5.Постройте модель исходного временного ряда как линейную комбинацию модели тренда и совокупности наиболее значимых гармоник.

2.6.Вычислите выборочные коэффициенты автоковариации и автокорреляции для ряда остатков после исключения тренда.

2.7.Найдитезначениепериодограммыдлячастоты 0.5 разнымиспособами(втом числе через автоковариационную функцию).

Упражнение3

окна ТьюкиÑХэннинга.

3.2.Рассчитайте автокорреляционную функцию rj , j = 1, . . . , 4.Оцените спектр с помощью корреляционного окна ТьюкиÑХэннинга при K = 4. Сравните с предыдущим результатом.

3.3.Оцените спектр с помощью корреляционного окна Парзена при K = 4.

3.4.Постройте график оценки спектра для корреляционного окна ТьюкиÑ Хэннинга в точках fj = 40j , j = 0, . . . , 20.

Задачи

1.Записать гармонику для ряда x = (1, −1, 1, −1, 1, −1, . . . ).

2.Пусть временной ряд xt имеет гармонический тренд: τt = 3 cos(πt) + + 4 sin(πt).Найти значения амплитуды,фазы и периода.

3.Записать ортогональный базис,по которому разлагается исследуемый процесс xt в ряд Фурье для T = 6, T = 7.

4.Записать ковариационную матрицу для гармонических переменных,составляющих ортогональный базис,если T = 6, T = 7.

5.Привести формулу расчета коэффициентов гармонических составляющих временного ряда.

7.Каксоотносятсяпонятияинтенсивностииамплитуды,периодограммыиспектра?

8.Вывести формулу для определения периодограммы на нулевой частоте.

9.Как связаны выборочный спектр и автокорреляционная функция для чисто случайного процесса?Записать формулу с расшифровкой обозначений.

11.Как соотносится выборочный спектр с автоковариационной функцией,спектральными и корреляционными окнами?

Найти оценки спектральной плотности для тех же частот с использованием окна ТьюкиÑХэннинга.

14.Записать уравнение процесса с одной периодической составляющей для частоты 0.33,амплитуды 2 и фазы 0.

15.Изобразитьграфикиспектрадлястационарныхинестационарныхпроцессов.

Рекомендуемая литература

1.Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. ÑМ.: ÇМирÈ, 1976. (Гл. 4, 9).

2.Бокс Дж.,Дженкинс Г. Анализ временных рядов.Прогноз и управление.

Вып. 1. ÑМ.: ÇМирÈ, 1974. (Гл. 2).

3.Гренджер К.,Хатанака М. Спектральный анализ временных рядов в экономике. ÑМ.: ÇСтатистикаÈ, 1972.

4.Дженкинс Г.,Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. ÑМ.: ÇМирÈ, 1971.

5.Кендалл М.Дж.,Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. ÑМ.: ÇНаукаÈ, 1976. (Гл. 49).

6.Маленво Э. Статистические методы эконометрии.Вып. 2. ÑМ.: ÇСтати-

стикаÈ, 1976. (Гл. 11, 12).

7.Бриллинджер Д. Временные ряды.Обработка данных и теория. ÑМ.:Мир, 1980. (Гл. 5).

8.Hamilton James D., Time SeriesAnalysis. Ñ Princeton University Press, 1994. (Ch. 6).

9.Judge G.G., Griffiths W.E., Hill R.C., Luthepohl H., Lee T. Theory and Practice of Econometrics. Ñ New York: John Wiley & Sons, 1985. (Ch. 7).

Глава14

Линейные стохастические модели ARIMA

14.1.Модель линейного фильтра

Стационарный стохастический процесс {xt } с нулевым математическим ожиданием иногда полезно представлять в виде линейной комбинации последовательности возмущений εt , εt−1, εt−2, . . .,т.е.

т.е.ряд абсолютных значений коэффициентов сходится.

Уравнение(14.1)называется моделью линейного фильтра,а линейный оператор:

ψ(L) = 1 + ψ1L + ψ2L2 + ááá = !∞ ψiLi,

i=0

преобразующий εt в xt , Ñ оператором линейного фильтра.

Компактная запись модели линейного фильтра выглядит следующим образом:

xt = ψ(L)εt .

Предполагается,что последовательность{ εt }представляет собой чисто случайный процесс или,другими словами, белый шум (см.стр. 353).Напомним,что автоковариационная и автокорреляционная функции белого шума имеют очень простую форму:

pε (f ) = 2γ0ε = 2σε2 = const.

Такимобразом,белыйшумлегкоидентифицируется с помощью графиков автокорреляционной функции и спектра.Часто предполагается,что последовательность {εt } состоит из независимых одинаково распределенных величин.Упростить анализ помогает дополнительное предположение о том,что {εt } имеет нормальное распределение,т.е.представ ляет собой гауссовский белый шум.

Даннаямодельнеявляетсяпроизвольной.Фактически,согласнотеоремеВольда,любой слабо стационарный ряд допус кает представление в виде модели линейного фильтра,а именно: разложение Вольда ряда xt 1.Следует помнить,однако, что разложение Вольда единственно,в то время как представление(14.1),вообще говоря,неоднозначно 2.Таким образом,разложение Вольда представляет процесс ввиде моделилинейногофильтра,втовремя какмодельлинейногофильтране обязательно задает разложение Вольда.

Как мы увидим в дальнейшем,модель линейного фильтра(14.1)применима не только к стационарным процессам,таким что выполняется(14.2), Ñс соответствующими оговорками она упрощает анализ и многих нестационарных процессов.

Если процесс {xt } подчинен модели(14.1),то при выполнении условия(14.2) он имеет математическое ожидание,равное нулю:

E(xt) = !∞ ψi E(εt−i ) = 0.

i=0

1В разложении Вольда произвольного стационарного процесса может присутствовать также полностью предсказуемая(линейно детерминированная)компонента.Однако такая компонента,если

еесвойства известны,не создает больших дополнительных сложностей для анализа. 2См.ниже в этой главе анализ обратимости процесса скользящего среднего.

Если требуется,чтобы математическое ожидание xt не было равно нулю,то уравнение модели линейного фильтра должно включать константу:

xt = µ + !∞ ψiεt−i = µ + ψ(L)εt .

i=0

Выведем формулы для автоковариаций рассматриваемой модели:

Здесь учитывается,что для белого шума

σ2, j = i + k,

E(εt−i εt+k−j ) = ε

0, j =! i + k.

Заметим,что из(14.2)следует сходимость возникающих здесь рядов.Это говорит о том,что данное условие подразумевает стационарность.

Поскольку оба слагаемых здесь конечны,то

!∞

|ψi ψi+k | < ∞.

i=0

Ясно,что модель линейного фильтра(14.1) в общемвиде представляет восновном теоретический интерес,поскольку содержит бесконечное число параметров. Для прикладного моделирования желательно использовать уравнения с конечным числом параметров.В основе таких моделей может лежать так называемая рациональная аппроксимация для ψ(L),т.е.приближение в виде частного двух лаговых многочленов:

θ(L) ψ(L) ≈ ϕ(L) ,

Поскольку |e−i2πf j | = 1,то ряд здесь сходится и |p(f )| < ∞ .

14.3.Процессы авторегрессии

В модели авторегрессии текущее значение процесса xt представляется в виде линейной комбинации конечного числа предыдущих значений процесса и белого шума εt :

при этом предполагается,что текущее значение εt не коррелировано с лагами xt . Такая модель называется авторегрессией p-го порядка и обозначается AR(p)

(от английского autoregression).

Используя лаговый оператор L,представим уравнение авторегрессии в виде:

(1 − ϕ1L − ϕ2L2 − . . . − ϕp Lp )xt = εt ,

или кратко,через лаговый многочлен ϕ(L) = 1 − ϕ1L − ϕ2L2 − . . . − ϕp Lp :

ϕ(L)xt = εt .

Нетрудно показать,что модель авторегрессии является частным случаем модели линейного фильтра:

xt = ψ(L)εt ,

где ψ(L) = ϕ−1(L), т.е. ψ(L) Ñоператор,обратный оператору ϕ(L).

Удобным и полезным инструментом для изучения процессов авторегрессии является характеристический многочлен (характеристический полином)

ϕ(z) = 1 − ϕ1z − ϕ2z2 − . . . − ϕp zp = 1 − !p ϕj zj

j =1

и связанное с ним характеристическое уравнение

1 − ϕ1z − ϕ2z2 − . . . − ϕp zp = 0.