Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

к структурным сдвигам,но и к автокоррелированности ряда.Поэтому в исходном виде критерий сравнения средних следует считать одним из критериев случайности.

В какой-то степени проблему автокорреляции(а одновременно и гетероскедастичности)можно решить за счет использования устойчивой к автокорреляции

игетероскедастичности оценки НьюиÑУэста(см.п. 8.3).При использовании этой модификации критерий сравнения средних перестает быть критерием случайности

иего можно использовать как критерий стационарности ряда.

Легко распространить этот метод на случай,когда ряд разбивается более чем на две части.В этом случае во вспомогате льной регрессии будет более одной фиктивной переменной и следует применять уже F -статистику,а не t-статистику.Так, разбиение на три части может помочь выявитьU-образную динамику среднего (например,в первой и третьей части среднее велико,а во второй мало).

Ясно,что с помощью подобных регрессий можно также проверять отсутствие неслучайной зависящей от времени t компоненты другого вида.Например,переменная zt может иметь вид линейного тренда zt = t.Можно также дополнительно включить в регрессию t2, t3 и т.д.и тем самымÇуловить Èнелинейную тенденцию. Однако в таком виде по указанным выше причинам следует проявлять осторожность при анализе сильно коррелированных рядов.

11.6.4.Постоянство дисперсии

Сравнение дисперсий

Так же как при сравнении средних,при с равнении дисперсий последовательность xt разбивается на две группы с числом наблюдений T1 и T2 = T − T1,для каждой из них вычисляется несмещенная дисперсия s2i и строится дисперсионное отношение:

s2

F = 2 . (11.17)

s21

Этот критерий представляет собой частный случай критерия ГолдфельдаÑ Квандта(см.п. 8.2).

Если дисперсии однородны и выполнено предположение о нормальности распределения исходного временного ряда(более точноÑряд представляет собой гауссовский белый шум),то F -статистика имеет распределение Фишера FT2−1, T1−1 (см.ПриложениеA.3.2).

Смысл данной статистики состоит в том,что,когда дисперсии сильно отличаются,статистика будет либо существ енно больше единицы,либо существенно

меньше единицы.В данном случае естественно использовать двусторонний критерий(поскольку мы априорно не знаем,раст ет дисперсия или падает).Это,конечно, не совсем обычно для критериев,основанных на F -статистике.Для уровня θ

можно взять в качестве критических границ такие величины,чтобы вероятность

"

попадания и в левый,и в правый хвост была одной и той жеÑ θ 2 .

Нулевая гипотеза состоит в том,что дисперсия однородна.Если дисперсионное отношение попадает в один из двух хвостов,то нулевая гипотеза отклоняется.

Мощность критерия можно увеличить,исключив часть центральных наблюдений.Этот подход оправдан в случае монотонного поведения дисперсии временного ряда,тогда дисперсионное отношение покажет больший разброс значений.

Если же временной ряд не монотонен,например имеетU-образную форму, томощностьтеставрезультатеисключенияцентральныхнаблюденийсущественно уменьшается.

Как и в случае сравнения средних,крит ерий применим только в случае,когда проверяемый процесс является белым шумом.Если же,например,ряд является стационарным,но автокоррелированным,то данный критерий применять не следует.

11.7.Лаговый оператор

Однимизосновныхпонятий,употребляемыхпримоделированиивременныхрядов,является понятие лага.В буквальном смысле в переводе с английского лагÑ запаздывание.Под лагом некоторой переменной понимают ее значение в предыдущие периоды времени.Например,для переменной xt лагом в k периодов будет xt−k .

При работе с временными рядами удобно использовать лаговый оператор L, т.е.оператор запаздывания,сдвига наза д во времени.Хотя часто использование этогооператорасопряженоснекоторойпотерейматематическойстрогости,однако это окупается значительным упрощением вычислений.

Если к переменной применить лаговый оператор,то в результате получится лаг этой переменной:

Lxt = xt−1.

Использование лагового оператора L обеспечивает сжатую запись разностных уравнений и помогает изучать свойства целого ряда процессов.

Удобство использования лагового оператора состоит втом,чтоснимможно обращаться как с обычной переменной,т.е.операторы можно преобразовывать сами по себе,без учета тех временных рядов,к которым они применяются.Основное

выражение α L xt → 0 при n → ∞.

Кроме лагового оператора в теории временных рядов широко используют разностный оператор ,который определяется следующим образом:

=1 − L,

так что xt = (1 − L)xt = xt − xt−1.

Разностный оператор превращает исходный ряд в ряд первых разностей.

Ряд d-х разностей(разностей d-го порядка)получается как степень разностного оператора,то есть применением разностного оператора d раз.

Дляпроизвольного порядка d следуетиспользовать формулу биномаНьютона:

11.8.Модели регрессии с распределенным лагом

Часто при моделировании экономических процессов на изучаемуюпеременную xt влияют не только текущие значения объясняющего фактора zt ,но и его лаги.Типичным примером являются капиталовложения:они всегда дают результат с некоторым лагом.

Модель распределенного лага можно записать следующим образом:

оказывается значимой при некотором наперед заданном уровне,то следует остановиться и выбрать соответствующую величину q.

3)Для всех q от q = 0 до q = Q рассчитывается величина информационного критерия,а затем выбирается модель с наименьшим значением этого информационного критерия.Приведем наиболее часто используемые информационные критерии.

Информационный критерий Акаике:

AI C = ln(RSS ) + 2(n + 1) , T T

где RSS суммаквадратов остатков в модели, T Ñфактически использовавшееся количество наблюдений, n Ñколичество факторов в регрессии(не считая константу).В рассматриваемом случае n = q + 1, а T = T0 −q,где T0 Ñколичество наблюдений при q = 0.

Байесовский информационный критерий(информационный критерий Шварца):

BI C = ln(RSS ) + (n + 1) ln T . T T

Как видно из формул,критерий Акаике благоприятствует выбору более короткого лага,чем критерий Шварца.

11.9.Условные распределения

Условные распределения играютважную роль в анализе временных рядов,особенно при прогнозировании.Мы не будем вдаваться в теорию условных распределений,это предмет теории вероятностей(определения и свойства условных распределений см.в ПриложенииA.3.1).З десь мы рассмотрим лишь основные правила,по которым можно проводить преобразования.При этом будем использовать следующее стандартное обозначение:если речь идет о распределении случайной величины X ,условном по случайной величине Y (условном относительно Y ), то это записывается в виде X |Y .

Основное правило работы с условными распределениями,которое следует запомнить,состоит в том,что если рассмат ривается распределение,условное относительно случайной величины Y ,то с Y и ее функциямиследует поступать так же, как с детерминированными величинами.Например,для условных математических ожиданий и дисперсий выполняется

E (α(Y ) + β(Y )X |Y ) = α(Y ) + β(Y )E(X |Y ), var (α(Y ) + β(Y )X |Y ) = β2(Y )var(X |Y ).

Как и обычное безусловное математическое ожидание,условное ожидание представляет собой линейный оператор.В частности,ожидание суммы есть сумма ожиданий:

E (X1 + X2|Y ) = E(X1|Y ) + E(X2|Y ).

Условное математическое ожидание E(X |Y ) в общем случае не является детерминированной величиной,т.е.оно является случайной величиной,которая может иметь свое математическое ожидание,характеризоваться положительной дисперсией и т.п.

Если от условного математического ожидания случайной величины X еще раз взять обычное(безусловное)математ ическое ожидание,то получится обычное (безусловное)математическое ожидание случайной величины X .Таким образом,

действует следующее правило повторного взятия ожидания:

E (E(X |Y )) = E(X ).

В более общей форме это правило имеет следующий вид:

E (E(X |Y, Z )|Y ) = E(X |Y ),

что позволяет применять его и тогда,когда второй раз ожидание берется не полностью,т.е.небезусловное,алишьусловноеотносительноинформации,являющейся частью информации,относительно которой ожидание бралось первый раз.

Если случайные величины X и Y статистически независимы,то распределение X ,условное по Y ,совпадает с безуслов ным распределением X .Следовательно,для независимых случайных величин X и Y выполнено,в частности,

E(X |Y ) = E(X ), var(X |Y ) = var(X ).

11.10.Оптимальное в среднеквадратическом смысле прогнозирование:общая теория

11.10.1.Условное математическое ожидание как оптимальный прогноз

Докажем в абстрактном виде,безотносительно к моделям временных рядов, общее свойство условного математического ожидания,заключающееся в том,что оно минимизирует средний квадрат ошибки прогноза.

Предположим,что строится прогноз некоторой случайной величины x на основе другой случайной величины, z,и что точность прогноза при этом оценивается

Другими словами,средний квадрат ошибки прогноза достигает минимума при xp (z) = xø(z) = E (x|z).

Оптимальный прогноз xp(z) = xø(z) = E (x|z) является несмещенным.Действительно,по правилу повторного взятия ожидания

E (E (x|z)) = E (x) .

Поэтому

Eη = E (x − xp (z)) = E (x) − E (E (x|z)) = 0.

11.10.2.Оптимальное линейное прогнозирование

Получимтеперьформулудляоптимального(всмыслеминимумасреднегоквадрата ошибки)линейного прогноза.Пусть случайная переменная z,на основе которой делается прогноз x,представляет собой n-мерный вектор: z = (z1, . . . , zn )!. Без потери общности можно предположить,что x и z имеют нулевое математическое ожидание.Будем искать прогноз x в виде линейной комбинации zj :

xp (z) = α1z1 + . . . + αnzn = z!α,

где α = (α1, . . . ,α n )! Ñвектор коэффициентов.Любой прогноз такого вида является несмещенным,поскольку,как мы предположили, Ex = 0 и Ez = 0.

Требуется решить задачу минимизации среднего квадрата ошибки(в данном случае это эквивалентно минимизации дисперсии ошибки):

67

zj и x, а Mzz = E [zz!] Ñковариационная матрица z. (Напомним,что мы рассматриваем процессы с нулевым математическим ожиданием.)Дифференцируя по α,получим следующие нормальные уравнения:

−2Mzx + 2Mzz α = 0,

откуда

α = Mzz−1Mzx.