Дискретная математика и математическая логика

1. Отношения. Специальные бинарные отношения. Операции над бинарными отношениями. Графы бинарных отношении. Отношение эквивалентности и теорема о разбиении.

2. Основные принципы комбинаторики. Перестановки, размещения и сочетания. Бином Ньютона.

3. Кольцо целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики. Взаимно простые числа и их свойства.

4. Сравнения и их свойства. Теорема Эйлера. Малая теорема Ферма. Китайская теорема об остатках.

5. Производящие функций. Основные элементарные производящие функций и опреации над ними.

6. Функции алгебры логики(булевы функции). Полиномы Жегалкина. Полные системы функций. Основные классы функций.

7. Логика высказываний. Формулы. Таблицы истинности. МДНФ и МКНФ. Законы логики.

8. Исчиление высказываний. Аксиомы и правила вывода. Теорема дедукции и ее следствия.

9. Логика предикатов. Понятия терма и формулы. Интерпретация. Основное определение об значений терма и выполнимости формулы в алгебраической системе.

10. Исчисление предикатов. Схемы аксиом и правила вывода. Теорема дедукции (без доказательства) и ее следствия.

Математический анализ

1. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.

2. Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной.

3. Формула Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора. Использование формулы Тейлора в приближенном вычислении.

4. Правило Лопиталя и его использование при вычислении пределов функции.

5. Локальный экстремум функции. Возрастание и убывание функции.

6. Глобальный экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на отрезке.

7. Точки перегиба функции. Исследование функции на выпуклость.

8. Основные методы интегрирования. Интегрирование методом замены переменной. Метод интегрирования по частям.

9. Геометрические и физические (механические) приложения определенного интеграла.

10. Признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами: сравнения, Коши, Даламбера, Рабе, интегральный признак Коши.

11. Признаки равномерной сходимости функциональных рядов: Вейерштрасса, Дирихле, Абеля.

12. Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.

13. Условный экстремум. Множители Лагранжа. Метод множителей Лагранжа в задаче нахождения условного экстремума.

14. Геометрические и физические приложения кратных интегралов.

15. Теорема Фубини о сведении кратного интеграла к повторным. Вычисление двойного, тройного интеграла.

Функциональный анализ

1. Метрическое пространство, его полнота. Примеры полных и неполных пространств.

2. Пополнение неполного метрического пространства.

3. Линейное нормированное пространство. Примеры.

4. Евклидово и гильбертово пространства. Примеры.

5. Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве.

6. Общий вид линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве. Примеры.

7. Сопряженный оператор в гильбертовом пространстве.

8. Свойства сопряженных операторов. Примеры.

9. Пространство, сопряженное к линейному нормированному пространству. Примеры.

10. Спектр оператора. Резольвента